SERRET : Cours d'Algèbre supérieure, 4e éd., t. I, 1877 et t. II, 1879


SERRET : Cours d'Algèbre supérieure, 4e éd., t. I, 1877 et t. II, 1879

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Joseph-Alfred SERRET

COURS

D'ALGÈBRE SUPÉRIEURE

Quatrième édition

Tomes I et II

Paris, Gauthier-Villars
1877-1879

Auteur :
Joseph-Alfred SERRET

Cours de la Sorbonne

Thèmes :
MATHÉMATIQUES
Algèbre

Reprint 1992
24,5 x 18 cm, oblong
336 p. et 360 p.
Broché
2 volumes (non vendus séparément)
ISBN : 978-2-87647-031-6

S O M M A I R E

T O M E   I

Section I
LES PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES ET LA RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DES ÉQUATIONS
I - Théorie des fractions continues.

- Définition des fractions continues.
- De la formation des réduites.
- Propriétés des réduites.
- Des fractions convergentes intermédiaires.
- Théorème de Lejeune-Dirichlet.
- Résolution d'une équation du premier degré à deux inconnues, en nombres entiers, par la méthode des fractions continues.
- Théorème relatif à la réduction des fractions rationnelles en fraction continue.
- Condition pour que les fractions continues qui représentent deux irrationnelles soient terminées par les mêmes quotients.

II - Des fractions continues périodiques.
- Développement des irrationnelles du deuxième degré en fraction continue.
- Comparaison des réduites qui répondent à des quotients complets égaux entre eux, dans une fraction continue périodique.
- Cas de la racine carrée d'un nombre entier.
- Sur l'application de la théorie des fractions continues à l'analyse indéterminée du deuxième degré.

III - Propriétés générales des équations algébriques.
- Des expressions imaginaires.
- Des fonctions entières.
- Développement de la fonction entière f(z + h) suivant les puissances de h.
- Principe fondamental de la théorie des équations.
- Limites des modules des racines.
- Détermination du produit des facteurs linéaires communs à deux polynômes donnés.
- Des fonctions entières dans lesquelles plusieurs facteurs linéaires sont égaux.
- Propriété des dérivées des fonctions entières.
- Théorème de Cauchy.
- Transformation des équations.

IV - Des équations simultanées et de l'élimination.
- De l'élimination.
- Sur le nombre des termes que peut contenir une fonction entière d'un degré donné.
- Du nombre des termes d'une fonction entière qui ne sont pas divisibles par des puissances données des variables.
- Réduction d'une fonction entière de plusieurs quantités assujetties à satisfaire à un pareil nombre d'équations données.
- Élimination de n - 1 inconnues entre n équations algébriques. Théorème de Bézout relatif au degré de l'équation finale.
- Sur la résolution des équations algébriques simultanées.
- Remarque sur la méthode d'élimination de Bézout. Méthode d'Euler.
- Cas de trois équations du deuxième degré à trois inconnues.
- Sur les équations simultanées dans lesquelles les coefficients ont des valeurs particulières déterminées.
- Théorème relatif au degré de multiplicité des solutions de deux équations simultanées à deux inconnues.
- Application de la théorie du plus grand commun diviseur à la recherche des solutions communes à deux équations à deux inconnues.
- Théorème de Labatie.
- Application de l'élimination à la transformation des équations.
- Sur la recherche des diviseurs des fonctions entières d'une variable.
- Sur l'abaissement des équations.

V - Propriétés des racines de l'unité.
- Propriétés des racines de l'équation binôme. Des racines primitives et de leur nombre.
- Application de la méthode d'abaissement des équations réciproques à l'équation binôme.

VI - De la séparation des racines des équations numériques.
- De la résolution numérique des équations.
- Limites des racines réelles d'une équation à coefficients réels.
- Théorème relatif aux résultats de la substitution de deux nombres quelconques à l'inconnue.
- Théorème de Descartes.
- Théorème de Budan.
- Théorème de Rolle.
- Théorème de Sturm.
- Des conditions de réalité de toutes les racines d'une équation de degré donné.
- Extension de la méthode de Sturm.
- Application de la méthode de Sturm à la détermination du nombre qui exprime combien une équation quelconque a de racines réelles ou imaginaires dans l'intérieur d'un contour donné.
- Premières recherches sur la séparation des racines réelles des équations numériques. Emploi du théorème de Sturm.
- Méthode de Fourier pour la séparation des racines.
- Séparation des racines imaginaires.

VII - Du calcul des racines des équations numériques.
- Recherche des racines commensurables des équations à coefficients rationnels.
- Théorie des différences.
- Application à un exemple.
- Méthode d'approximation de Newton.
- Complément de la méthode de Newton.
- Méthode d'approximation de Lagrange.
- Du calcul des racines imaginaires.

Section II
LES FONCTIONS SYMÉTRIQUES
I - Théorie des fonctions symétriques.

- Des fonctions symétriques.
- Formules de Newton pour le calcul des sommes de puissances semblables des racines d'une équation.
- Usage de la division algébrique pour le même objet.
- Détermination des fonctions symétriques doubles, triples, etc., des racines d'une équation.
- Méthode de Waring pour calculer une fonction symétrique rationnelle et entière des racines d'une équation.
- Méthode de Cauchy.
- Application de la méthode de Cauchy.
- Formation de l'équation de laquelle dépend une fonction rationnelle et non symétrique des racines d'une équation donnée.
- Équation aux carrés des différences.
- Sur la forme des fonctions rationnelles d'une ou de plusieurs racines d'une équation.
- Méthode d'élimination fondée sur la théorie des fonctions symétriques.
- Théorème de Lagrange sur les conditions nécessaires pour que deux équations aient plusieurs racines communes.
- Méthode de Tschirnaüs pour faire disparaître autant de termes que l'on veut d'une équation.
- Application de la méthode de Tschirnaüs à l'équation du cinquième degré.

II - Formules générales relatives à la théorie des fonctions symétriques.
- Formule de Lagrange.
- Expression de la somme des puissances semblables des racines d'une équation en fonction des coefficients.
- Application à l'équation du deuxième degré.
- Sur l'expression d'une fonction symétrique d'ordre quelconque des racines d'une équation en fonction des sommes de puissances semblables des racines.
- Méthode nouvelle pour former le dernier terme de l'équation aux carrés des différences.
- Démonstration nouvelle de la formule de Lagrange.
- Applications de la formule de Lagrange.

III - Digression sur la décomposition des fractions rationnelles et sur les séries récurrentes.
- Théorie de la décomposition des fractions rationnelles en fractions simples.
- Cas d'une fraction rationnelle dont le dénominateur n'a que des facteurs simples.
- Méthodes pour effectuer la décomposition d'une fraction rationnelle dans le cas général.
- Forme nouvelle de l'expression d'une fonction rationnelle décomposée en fractions simples.
- Mode particulier de décomposition pour les fractions rationnelles et réelles dont le dénominateur a des facteurs linéaires imaginaires.
- Condition pour que l'intégrale d'une différentielle rationnelle soit algébrique.
- Application à un problème de géométrie.
- Détermination d'une fonction rationnelle par le moyen des valeurs qui répondent à des valeurs données de la variable.
- Des séries récurrentes.

IV - Des fonctions alternées et des déterminants. Application à la théorie des équations.
- Des fonctions alternées.
- Des déterminants.
- Des fonctions entières et homogènes de deuxième degré.
- De la fonction adjointe.
- Remarque sur la réduction à une somme de carrés.
- Théorème relatif aux fonctions entières et homogènes du deuxième degré à coefficients réels.
- Théorème de Sylvester relatif aux fonctions auxquelles conduit l'application du théorème de Sturm.
- Application du théorème de Sturm à une classe remarquable d'équations algébriques.
- Méthode de Hermite pour déterminer le nombre des racines réelles d'une équation qui sont comprises entre deux limites données.
V - Développements relatifs à la théorie de l'élimination.
- Des fonctions symétriques et rationnelles des solutions communes à plusieurs équations.
- Extension de la méthode d'élimination par les fonctions symétriques au cas d'un nombre quelconque d'équations.
- Théorème de Bézout sur le degré de l'équation finale.
- Développement d'une fonction algébrique implicite en série ordonnée suivant les puissances décroissantes de sa variable.
- Formation de l'équation finale qui résulte de l'élimination d'une inconnue entre deux équations à deux inconnues. Nouvelle démonstration du théorème de Bézout. Somme des racines de l'équation finale.
- Développement, en séries ordonnées suivant les puissances décroissantes de la variable, de plusieurs fonctions algébriques définies par autant d'équations.
- Formation de l'équation finale qui résulte de l'élimination de deux, trois, etc., inconnues entre trois, quatre, etc., équations. Nouvelle démonstration du théorème de Bézout. Somme des racines de l'équation finale.
- Démonstration d'une formule de Jacobi.
- Application de la théorie précédente à une question de géométrie.
- Sur l'élimination d'une inconnue entre deux équations dont les coefficients ont des valeurs particulières quelconques.
- Cas particuliers du développement d'une fonction algébrique implicite en série ordonnée suivant les puissances croissantes de sa variable.
- Formation de l'équation finale qui résulte de l'élimination d'une inconnue entre deux équations quelconques à deux inconnues. Détermination du degré de l'équation finale.

 

T O M E   I I

Section III
LES PROPRIÉTÉS DES NOMBRES ENTIERS
I - Des congruences.

- Des nombres congrus ou équivalents.
- Du nombre qui exprime combien il y a de nombres premiers à un nombre donné et non supérieurs à ce nombre.
- Des congruences en général.
- Des congruences du premier degré.
- Théorème de Fermat.
- Théorème de Wilson.
- Théorème de Fermat généralisé.
- Théorème de Wilson généralisé.
- Des congruences dont le module est un nombre premier.
- Nouvelle démonstration du théorème de Wilson.

II - Des résidus des puissances et des congruences binômes.
- Des nombres qui appartiennent à un exposant donné relativement à un module donné.
- Des racines primitives.
- Des racines primitives, dans le cas où le module est un nombre premier impair.
- Autre manière de présenter les résultats qui précèdent.
- Théorème relatif aux résidus des puissances dont le degré est un diviseur de p - 1.
- Recherche des racines primitives d'un nombre premier.
- Des racines primitives dans le cas où le module est égal à une puissance d'un nombre premier impair ou égal au double d'une telle puissance.
- Des indices.
- Usage des indices dans la résolution des congruences binômes.
- Démonstration d'un théorème de Lagrange.
- Théorème de Legendre sur la loi de réciprocité qui existe entre deux nombres premiers.

III - Propriétés des fonctions entières d'une variable, relativement à un module premier.
- Des fonctions entières irréductibles suivant un module premier.
- Remarques sur la décomposition d'une fonction entière en facteurs irréductibles.
- Des fonctions entières d'une variable, réduites suivant un module premier et suivant une fonction entière irréductible.
- Propriétés fondamentales des polynômes irréductibles suivant un module premier.
- Sur la décomposition d'une fonction entière donnée en facteurs irréductibles suivant un module premier.
- Comparaison des fonctions entières irréductibles suivant le module p qui appartiennent à des exposants formés des mêmes facteurs premiers.
- Sur une fonction irréductible du degré p suivant le module p.
- Classification des fonctions réduites suivant un module premier et suivant une fonction irréductible.
- Des congruences suivant un module premier et suivant une fonction modulaire.
- Propriétés des racines d'une congruence dont le premier membre est une fonction irréductible de degré égal au degré de la fonction modulaire ou égal à un sous-multiple de ce degré.
- Du point de vue sous lequel Galois a envisagé les congruences suivant un module premier et une fonction modulaire.
- Application de la théorie précédente au cas du module 7.

IV - Détermination des fonctions entières irréductibles, suivant un module premier, dans le cas où le degré est une puissance du module.
- Sur les fonctions entières irréductibles, suivant un module premier, dans le cas où le degré est égal au module.
- Sur les fonctions entières irréductibles suivant un module premier, dans le cas où le degré est une puissance du module.

V - Sur la totalité des nombres premiers compris entre des limites données.
Sur l'évaluation approchée du produit 1. 2. 3…x, quand x est un grand nombre.
- Extension des formules précédentes au cas où x n'est pas un nombre entier positif.
- Détermination de deux limites entre lesquelles reste comprise la somme des logarithmes népériens de tous les entiers qui ne surpassent pas un nombre donné.
- Sur la totalité des nombres premiers compris entre deux limites données.
- Propriété fondamentale de la fonction θ(z).
- Démonstration de deux inégalités auxquelles satisfait la fonction ψ(z).
- Détermination de deux limites entre lesquelles sont comprises les fonctions ψ(z) et θ(z).
- Détermination de deux limites du nombre qui indique combien il y a de nombres premiers compris entre deux nombres donnés.
- Application des résultats qui précèdent.

Section IV
LES SUBSTITUTIONS
I - Propriétés générales des substitutions.

- Des permutations formées avec des lettres données, et des substitutions par lesquelles on passe d'une permutation à l'autre.
- Des produits de substitutions.
- Ordre d'une substitution.
- Des substitutions circulaires.
- Décomposition d'une substitution quelconque en cycles.
- Décomposition d'une substitution donnée en facteurs primitifs.
- Des substitutions semblables.
- Du nombre des substitutions semblables à une substitution donnée.
- Des substitutions échangeables entre elles.
- Réduction d'une substitution quelconque à un produit de transpositions.

II - Propriétés des systèmes de substitutions conjuguées.
- Des systèmes conjugués.
- Des systèmes semblables et des systèmes échangeables entre eux.
- Du problème général qui fait l'objet principal de la théorie des substitutions.
- Des groupes de permutations.

III - Des indices des systèmes conjugués.
- Indice d'un système conjugué. Limite inférieure des indices supérieurs à 2.
- Démonstration nouvelle du théorème relatif à la limite inférieure des indices plus grands que 2.
- Du système conjugué d'indice 6 qui comprend 120 substitutions de six lettres et qui n'est pas formé par les 120 substitutions de cinq lettres.
- Des systèmes transitifs de substitutions conjuguées.
- Des expressions susceptibles de représenter l'indice d'un système intransitif.
- Sur la limite des indices supérieurs à 2, dans le cas des systèmes transitifs.

IV - Sur quelques cas particuliers de la théorie des substitutions.
- Sur les fonctions linéaires de la forme ax + b / a'x + b'.
- Des fonctions rationnelles linéaires prises suivant un module premier.
- Des fonctions analytiques propres à représenter les substitutions.
- Des substitutions rationnelles et linéaires.
- De quelques propriétés des substitutions linéaires.
- Sur les substitutions de cinq et de sept lettres.

V - Applications de la théorie des substitutions.
- Des valeurs diverses que prend une fonction de plusieurs variables par les substitutions de ces variables.
- Des fonctions semblables.
- Sur la formation des fonctions de n variables qui admettent des substitutions données.
- Des fonctions doublement transitives de n variables qui ont 1. 2. 3…(n - 2) valeurs, n étant premier.
- Des fonctions triplement transitives de n + 1 variables qui ont 1. 2. 3…(n - 2) valeurs, n étant premier.
- Sur les fonctions triplement transitives de six variables qui ont six valeurs distinctes.
- Méthode de Lagrange pour calculer une fonction des racines d'une équation donnée quand on connaît une autre fonction quelconque des racines.
- Recherches de Galois relatives à la théorie précédente.

Section V
LA RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS
I - Des équations du troisième et du quatrième degré. Considérations générales sur la résolution algébrique des équations.

- Résolution de l'équation générale du troisième degré.
- Des équations du troisième degré dont deux racines peuvent s'exprimer rationnellement en fonction de la troisième racine et des quantités connues.
- Résolution de l'équation générale du quatrième degré.
- Sur la résolution algébrique des équations.
- Des équations dont le degré est un nombre premier.
- Des équations dont le degré est un nombre composé.

II - De l'impossibilité de la résolution algébrique des équations générales au delà du quatrième degré.
- Des fonctions algébriques.
- Des fonctions entières.
- Des fonctions rationnelles.
- Classification des fonctions algébriques non rationnelles.
- Forme générale des fonctions algébriques.
- Propriété des fonctions algébriques qui satisfont à une équation donnée.
- Démonstration de l'impossibilité de résoudre algébriquement les équations générales de degré supérieur au quatrième.

III - Des équations abéliennes.
- Des équations irréductibles dont deux racines sont tellement liées entre elles, que l'une puisse s'exprimer rationnellement par l'autre.
- Résolution algébrique des équations dont toutes les racines peuvent être représentées par θx, θ2x, ..., θμx, θx étant une fonction rationnelle de x et des quantités connues telles que θμx = x.
- Cas où les quantités connues sont réelles.
- Première méthode particulière relative aux équations abéliennes dont le degré est un nombre composé.
- Deuxième méthode.
- Des équations irréductibles dont deux racines x et x' sont liées par la relation linéaire x' = ax + b / a'x + b', où a, b, a', b' sont des constantes données.
- Des équations irréductibles à coefficients numériques dont plusieurs racines se développent en des fractions continues terminées par les mêmes quotients.
- Des équations dont toutes les racines sont exprimables rationnellement par l'une d'entre elles.
- Résolution algébrique des équations binômes.
- Résolution algébrique des équations dont dépend la division de la circonférence du cercle en un nombre premier de parties égales.
- Division de la circonférence en dix-sept parties égales.
- Construction géométrique.
- Sur une propriété remarquable de la fonction xp - 1 / x - 1, p étant un nombre premier.
- Sur quelques propriétés de la fonction résolvante qui se rapporte à l'équation xp - 1 / x - 1 = 0.
- Démonstration nouvelle de la loi de réciprocité de Legendre.

IV - Sur une classe d'équations du neuvième degré résolubles algébriquement.
- Du déterminant d'une fonction entière et homogène de trois variables.
- Sur les points d'inflexion des courbes du troisième degré.
- Sur un théorème de Steiner relatif aux courbes du troisième degré.
- Propriété de l'équation du neuvième degré qui a pour racines les abscisses des points d'inflexion d'une courbe du troisième degré.
- Sur la résolution algébrique d'une classe d'équations du neuvième degré.

V - Sur les équations résolubles algébriquement.
- Recherches d'Évariste Galois. Théorèmes généraux.
- Suite des recherches d'Évariste Galois. Applications aux équations irréductibles de degré premier.
- Recherches de Charles Hermite.
- Recherches de Léopold Kronecker.

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