Federigo ENRIQUES

LEÇONS

DE

GÉOMÉTRIE PROJECTIVE

Traduction de la quatrième édition italienne
par Paul Labérenne

Paris, Gauthier-Villars
1930

Auteur :
Federigo ENRIQUES

Traduction :
Paul LABÉRENNE

Thème :
MATHÉMATIQUES
Géométrie élémentaire et moderne

Reprint 1993
24,5 x 18 cm, oblong
224 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-151-1


S O M M A I R E

I - Propositions fondamentales.
- Formes géométriques fondamentales.
- Éléments impropres.
- Premier groupe de propositions fondamentales de la Géométrie projective.
- Projections et sections.
- La disposition circulaire naturelle des éléments d'une forme de première espèce.
- Caractère projectif de la disposition circulaire naturelle d'une forme de première espèce.

II - Loi de dualité. Théorèmes préliminaires.
- Loi de dualité dans l'espace.
- Exemples de dualité dans l'espace.
- Loi de dualité dans les formes de deuxième espèce. Exemples.
- Théorème des triangles homologiques et théorèmes corrélatifs.
- Théorème des quadrangles perspectifs et homologiques et théorèmes corrélatifs.

III - Groupes harmoniques.
- Groupes harmoniques de quatre points ou de quatre plans.
- Échanges entre les différents éléments d'un groupe harmonique.
- Groupes harmoniques de quatre rayons d'un faisceau.
- Les groupes harmoniques se conservent quand on rapporte deux formes de première espèce l'une à l'autre au moyen de projections et de sections.

IV - Le postulat de la continuité et ses applications.
- Postulat de la continuité.
- Correspondances ordonnées.
- Couple qui en sépare deux autres harmoniquement.

V - Le théorème fondamental de la projectivité.
- Énoncé du théorème.
- Premier point de la démonstration.
- Deuxième point de la démonstration.
- Énoncé de la propriété fondamentale.
- Établissement de la propriété fondamentale.

VI - Projectivité entre formes de première espèce.
- Droites projectives non incidentes.
- Formes perspectives dans le plan.
- Formes projectives dans le plan.
- Ponctuelles semblables et faisceaux égaux de rayons.
- Formes projectives superposées.
- Éléments unis dans une projectivité entre formes de première espèce superposées.
- Congruence directe et congruence inverse entre ponctuelles superposées et entre faisceaux propres d'un plan.
- Groupes projectifs de quatre éléments.
- Birapport de quatre éléments appartenant à une forme de première espèce.
- Transformées projectives d'une projectivité. Invariant absolu.

VII - Involution dans les formes de première espèce.
- Involution.
- Sens d'une involution.
- Éléments doubles. Note sur les imaginaires.
- Théorème du quadrangle.
- Propriétés métriques de l'involution dans la ponctuelle.
- Congruences involutives dans le faisceau.
- Notions sur les projectivités cycliques.

VIII - Projectivité entre formes de deuxième espèce.
- Définition.
- Théorème fondamental.
- Détermination de la projectivité entre formes de deuxième espèce. - Formes perspectives de deuxième espèce.
- Homologie.
- Involution.
- Éléments unis d'une homographie plane.
- Homographies planes particulières au point de vue métrique.
- Polarité dans le plan.
- Involution d'éléments conjugués subordonnés à une polarité dans une forme de première espèce.
- Classification des polarités planes.
- La polarité orthogonale dans l'étoile.
- Extension de la loi de dualité dans les formes de deuxième espèce.

IX - Les coniques.
- Définitions.
- Polarité des pôles et polaires par rapport à une conique.
- Diamètres des coniques.
- Axes des coniques.
- Théorème de Staudt.
- Théorème de Steiner : génération projective des coniques.
- Cas particulier au point de vue métrique de la génération d'une conique. Cercle et hyperbole équilatère.
- Conditions qui déterminent une conique.
- Théorèmes de Pascal et de Brianchon.
- Théorème de Desargues.
- Note sur les imaginaires dans la théorie des coniques.

X - Projectivité entre coniques.
- Définition. Théorème fondamental.
- Projectivité sur une conique. Théorème d'Apollonius.
- Involution.
- Points extérieurs et points intérieurs. Droites sécantes et droites extérieures.
- Diamètres réels et idéaux. Sommets.
- Coniques homologiques. Applications. Aire de l'ellipse.

XI - Problèmes déterminés.
- Généralités. Problèmes du premier degré.
- Problèmes du deuxième degré.
- Problèmes que l'on peut résoudre avec la règle et le compas.
- Intersection de deux coniques ayant deux éléments communs donnés.
- Problèmes du troisième degré. Détermination des éléments unis d'une homographie plane. Axe d'une congruence dans l'étoile.

XII - Propriétés focales des coniques.
- Foyers.
- Directrices. Propriétés focales angulaires.
- Propriétés focales segmentaires.
- Constructions relatives aux foyers.

XIII - Propriétés métriques des cônes.
- Axes des cônes.
- Sections circulaires et droites focales du cône.
- Axes et droites focales du cylindre.
- Sections circulaires du cylindre.

XIV - Notions sur les quadriques réglées et sur les courbes gauches du troisième ordre.
- Les quadriques réglées et leurs divers modes de génération projective.
- Projectivité entre quadriques réglées : polarité par rapport à une quadrique.
- Hyperboloïde et paraboloïde : diamètres et axes.
- La cubique gauche engendrée au moyen de deux étoiles homographiques.
- Cordes de la cubique gauche : génération de la courbe au moyen de faisceaux projectifs de plans.
- Position d'un plan par rapport à une cubique gauche : classification métrique des cubiques.

XV - Projectivité entre formes de troisième espèce.
- Définitions.
- Théorème fondamental.
- Détermination de la projectivité entre formes de troisième espèce.
- Cubiques gauches projectives : réciprocité entre la cubique et la développable des plans osculateurs.
- Homologie.
- Homographie axiale et homographie biaxiale.
- Homographies particulières au point de vue métrique.
- Congruences.
- Extension de la loi de dualité dans l'espace.
- Note sur les homographies biaxiales elliptiques et sur les droites imaginaires de seconde espèce.

Appendice.
- Groupes de projectivités.
- Géométrie abstraite.
- Transformations de l'espace qui changent les sphères en sphères.
- Coordonnées projectives.
- Éléments imaginaires.
- Aperçu historique et critique sur la genèse des concepts fondamentaux de la Géométrie projective.