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HILBERT, David

HILBERT, David

HILBERT, David

 

Né le 23 janvier 1862 à Königsberg, Allemagne
Décédé le 14 février 1943 à Göttingen, Allemagne

Mathématicien allemand

 

 

Biographie sommaire, par Paul ROSSIER, dans :  David HILBERT, Les fondements de la géométrie, 1971
Hilbert est né le 23 janvier 1862 à Königsberg où il commença ses études. Il les poursuivit à Heidelberg, Leipzig et Paris. Élève de Fuchs, Hermite, Hurwitz, Klein, Lindemann et Weber ; en 1885 il devient Docteur ès sciences ; en 1886, Privat-dozent à Königsberg ; en 1892, Professeur à Königsberg et en 1895 à l'Université de Göttingen et Directeur de l'Institut de Mathématiques. A partir de 1902 il devint éditeur des Mathematische Annalen. Il est décédé le 14 février 1943 à Göttingen.
Les travaux de Hilbert ont porté sur les fondements de la géométrie et des sciences mathématiques, la théorie des nombres, l'algèbre, les invariants, le calcul des variations et les équations intégrales.
En 1891, à Halle, Hilbert assiste à une conférence de Wiener consacrée aux théorèmes de Desargues et de Pascal et aux fondements de la géométrie. Cet exposé a, sur Hilbert, un effet tel que, dans le train en quittant Halle, il se mit à réfléchir à ces problèmes. Son collègue et ami Minkowski l'encourage dans cette voie.
Pour Hilbert, l'intérêt de la géométrie élémentaire est de donner l'exemple le plus simple d'une construction mathématique autre que la théorie des nombres.
En 1898-1899, Hilbert fait un cours sur la géométrie élémentaire et en juin 1899 paraît la première édition de ses Fondements.
L'œuvre géométrique de Hilbert est presque entièrement constituée par cet ouvrage et les appendices qu'il lui ajoute. Dans ses Gesammelte Abhandlungen, deuxième volume, figurent deux mémoires sur des questions de géométrie algébrique. Avec Cohn-Vossen, il publie en 1932 un ouvrage intitulé Anschauliche Geometrie, qui se traduit par Géométrie Intuitive, dont la deuxième édition paraît en 1944.
Avec les Fondements  et la conférence sur « les problèmes mathématiques » (Paris, 1900), c'est le mathématicien célèbre. Alors commence pour lui une période de grande productivité, où dominent les travaux de fondation de la physique mathématique, avec l'élaboration du concept d'espace de Hilbert (1901-12) et des études consacrées à la théorie de la démonstration en vue de sauver toute l'analyse classique menacée par les antinomies et la critique des « intuitionnistes ».
Une bibliographie détaillée a été rédigée par O. Blumenthal pour le 3e vol. des Gesammelte Abhandlungen, où l'on trouvera aussi des analyses sur les contributions de Hilbert à la théorie des équations intégrales, à la métamathématique, ... etc., dues à ses disciples Hellinger, Bernays et Kratzer.


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Qui ne soulèverait volontiers le voile qui nous cache l'avenir afin de jeter un coup d'œil sur les progrès de notre Science et les secrets de son développement ultérieur durant les siècles futurs ? Dans ce champ si fécond et si vaste de la Science mathématique, quels seront les buts particuliers que tenteront d'atteindre les guides de la pensée mathématique des générations futures ? Quelles seront, dans ce champ, les nouvelles vérités et les nouvelles méthodes découvertes par le siècle qui commence ?
L'histoire enseigne la continuité du développement de la Science. Nous savons que chaque époque a ses problèmes que l'époque suivante résout, ou laisse de côté comme stériles, en les remplaçant par d'autres. Si nous désirons nous figurer le développement présumable de la Science mathématique dans un avenir prochain, nous devons repasser dans notre esprit les questions pendantes et porter notre attention sur les problèmes posés actuellement et dont nous attendons de l'avenir la résolution. Le moment présent, au seuil du vingtième siècle, me semble bien choisi pour passer en revue ces problèmes ; en effet, les grandes divisions du temps non seulement permettent de jeter un regard sur le passé, mais encore attirent notre pensée sur l'avenir inconnu.
Le grand rôle joué par des problèmes déterminés dans le progrès général de la Science mathématique est non moins incontestable que l'influence qu'ont ces problèmes sur le travail particulier du chercheur. Tant qu'une branche de la Science jouit d'une abondance de problèmes, elle est pleine de vie ; le manque de problèmes dénote la mort, ou la cessation du développement propre de cette branche. Et de même que dans toute entreprise humaine il faut poursuivre un but, de même dans la recherche mathématique il faut des problèmes. La puissance du chercheur se retrempe dans leur résolution, il y trouve de nouvelles méthodes et de nouveaux points de vue, d'où il découvre un horizon plus vaste et plus libre.
David HILBERT, Introduction

16,00 € *
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L'ouvrage de M. Hilbert sur La Théorie des Nombres algébriques est un de ces Rapports que publie la Société des Mathématiciens allemands et qui fixent l'état de la Science à une époque et dans un domaine. M. Hilbert, sans négliger le point de vue historique, y reprend toute la théorie d'une manière didactique, suivie, complète et personnelle. Il fond, dans un exposé nouveau, tous les résultats acquis ; il énonce et enchaîne les propositions avec la plus grand soin, fait ressortir les théorèmes essentiels ; enfin, dans les démonstrations, toujours nettes et précises, s'il laisse parfois de côté les points secondaires et faciles, c'est pour mieux mettre en relief le nœud même du raisonnement.
Bien des géomètres, en rédigeant un Mémoire, ont rêvé certainement d'un mode d'exposition où les lignes essentielles seraient marquées en vigueur, et les détails seulement esquissés : l'habitude, la crainte de l'obscurité les ont généralement ramenés dans la route traditionnelle. M. Hilbert a su en sortir. Aussi nul livre n'est-il, pour les mathématiciens, d'une lecture plus attachante : il conduit, sans effort sensible, des parties les plus élémentaires jusqu'aux sommets de cette belle Science des Nombres, déjà si féconde en résultats et si riche encore en promesses. Qui l'a lu, compris et médité possède les méthodes et sait leurs conséquences.
Georges HUMBERT, Préface

57,00 € *
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Comme l'arithmétique, la géométrie n'exige pour son élaboration qu'un petit nombre de propositions fondamentales simples. Ces propositions sont les axiomes de la géométrie. Depuis Euclide, l'établissement de ces axiomes et l'étude de leurs relations ont fait l'objet de travaux nombreux et excellents. Ce problème est celui de l'analyse de notre intuition de l'espace.
Le présent travail est un nouvel essai de constituer, pour la géométrie, un système complet d'axiomes aussi simples que possible et d'en déduire les théorèmes les plus importants, de façon à mettre en évidence le rôle des divers groupes d'axiomes et la portée de chacun d'eux.
David HILBERT, Introduction

Notre ouvrage est une étude critique des principes de la géométrie ; l'idée directrice a été de rechercher si la réponse à une question donnée est possible, certains moyens étant imposés à l'avance. Cette idée paraît contenir une règle générale et naturelle ; lors de l'étude d'un problème mathématique ou d'un théorème, notre sens de la connaissance est satisfait dans les cas suivants : nous avons trouvé la solution complète du problème ou une démonstration rigoureuse du théorème ; si nous échouons, la raison de la nécessité de l'échec ou de l'impossibilité de la réussite est bien mise en évidence.
Ainsi, dans les mathématiques modernes, les questions posées par l'impossibilité de certaines solutions ou l'impossibilité de quelques problèmes jouent un rôle de premier plan ; le désir de répondre à une telle question a souvent été l'occasion de découvertes importantes. Citons la démonstration par Abel de l'impossibilité de la solution par radicaux de l'équation de degré cinq, la découverte de l'impossibilité de la démonstration de l'axiome des parallèles, et les théorèmes de Hermite et de Lindemann, de l'impossibilité de construire algébriquement les nombres e et π.
Lors de l'examen de la possibilité d'une démonstration, il faut veiller à la « pureté » des méthodes de démonstration ; l'importance de cette idée a souvent été mise en évidence par les mathématiciens. Ce besoin est au fond une forme subjective de l'idée directrice précédente. Notre travail a consisté en une recherche des axiomes, des conventions ou moyens auxiliaires nécessaires à la démonstration d'une vérité du domaine de la géométrie élémentaire ; dès lors, il ne reste plus qu'à choisir quelle méthode doit être préférée.
David HILBERT, Conclusion

48,00 € *
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ARTICLES :

I-15 : PROPOSITIONS ÉLÉMENTAIRES DE LA THÉORIE DES NOMBRES
P. Bachmann - E. Maillet

I-16 : THÉORIE ARITHMÉTIQUE DES FORMES
K. Th. Vahlen - E. Cahen

I-17 : PROPOSITIONS TRANSCENDANTES DE LA THÉORIE DES NOMBRES
P. Bachmann - J. Hadamard - E. Maillet

I-18 : THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGÉBRIQUES
D. Hilbert - H. Vogt

I-19 : MULTIPLICATION COMPLEXE *
H. Weber - E. Cahen

* La fin de l'article n'a pas été publiée en raison de la guerre.

37,00 € *
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