Carl Friedrich GAUSS

RECHERCHES GÉNÉRALES

SUR

LES SURFACES COURBES

Titre original
DISQUISITIONES GENERALES CIRCA SUPERFICIES CURVAS

Traduit par M. T. A.

Nouvelles Annales de Mathématiques
t. XI, 1852

[suivi de :]

SOLUTION GÉNÉRALE DE CE PROBLÈME
REPRÉSENTER LES PARTIES D'UNE SURFACE DONNÉE
SUR UNE AUTRE SURFACE DONNÉE
DE TELLE SORTE QUE LA REPRÉSENTATION
SOIT SEMBLABLE A L'ORIGINAL
DANS LES PARTIES INFINIMENT PETITES

[REPRÉSENTATION CONFORME]

Traduit par Léonce LAUGEL

Paris, Librairie Scientifique A. Hermann et Fils
1915

Auteur :
Carl Friedrich GAUSS

Traduction :
M. T. A.
Léonce LAUGEL

Thèmes :
MATHÉMATIQUES
Géométrie analytique et différentielle

Reprint 2011
16 x 24 cm
114 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-293-8


D E S C R I P T I O N

Extrait de G. FANO et S. CARRUS, Exposé parallèle du développement de la géométrie synthétique et de la géométrie analytique pendant le 19^e siècle , Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées, t. III, vol. 1, art. III-3, 1915.

Les recherches les plus anciennes relatives à la géométrie infinitésimale des courbes et surfaces remontent au 18^e siècle. À propos des courbes, apparaissent dès l'origine les notions de tangente, de plan osculateur (d'une courbe gauche), de cercle de courbure, de développée, de longueur d'arc. Quant aux surfaces, ce sont surtout les relations de courbure qui ont fait l'objet de recherches ; ces recherches sont dues à L. Euler et à J.-B. M. Meusnier. Mais la géométrie infinitésimale ne reçut son plein essor qu'à la suite de la publication de l'Application de l'analyse à la géométrie par G. Monge et des Disquisitiones generales circa superficies curvas par C. F. Gauss.
C. F. Gauss introduit deux notions essentielles auxquelles son nom est resté attaché :
1) Les coordonnées curvilignes sur une surface.
2) La courbure totale d'une surface en un point quelconque, qu'il définit comme l'inverse du produit des deux rayons de courbure principaux de la surface en ce point.
Dans l'expression de l'élément linéaire de la surface par les coordonnées curvilignes se présentent les coefficients E, F, G, dont il a fait ressortir l'importance fondamentale pour la théorie des surfaces applicables l'une sur l'autre ; on peut exprimer la courbure de Gauss au moyen de ces coefficients et de leurs dérivées par rapport aux coordonnées.
C. F. Gauss étudie en même temps les surfaces en se plaçant à un point de vue tout nouveau ; il les considère comme des corps infiniment minces, des tissus flexibles et inextensibles ; dans leurs déformations la courbure totale en un point quelconque reste invariante, et par suite l'égalité des courbures totales aux points correspondants est une condition nécessaire pour que deux surfaces soient applicables l'une sur l'autre. Mais cette condition n'est suffisante que pour les surfaces à courbure totale constante ; dans les autres cas, il faut encore d'autres conditions, comme l'a fait remarques E. F. A. Minding.
L'équation différentielle des lignes géodésiques sur une surface a été également établie par C. F. Gauss et utilisée par lui pour d'autres problèmes (coordonnées polaires, cercles géodésiques, courbes parallèles).