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TAIT : Traité élémentaire des quaternions, t. I, 1882 et t. II, 1884

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Peter-Guthrie TAIT

TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

DES

QUATERNIONS

Traduit sur la seconde édition anglaise par Gustave Plarr

I
Théorie
Applications géométriques

II
Géométrie des courbes et des surfaces
Cinématique
Applications à la Physique

Paris, Gauthier-Villars
1882-1884

Auteur :
Peter-Guthrie TAIT

Traduction :
Gustave PLARR

Thèmes :
MATHÉMATIQUES
Analyse
Géométrie analytique et différentielle

MÉCANIQUE
Mécanique des solides et des fluides

Reprint 2008
17 x 24 cm
340 p. et 330 p.
Broché
2 volumes non vendus séparément
ISBN : 978-2-87647-306-5

S O M M A I R E (Extraits)

1 - Des vecteurs et de leur composition.
- Esquisse historique des essais faits pour représenter géométriquement l'imaginaire de l'Algèbre.
- Le théorème de De Moivre interprété par des rotations dans un plan.
- Théorie remarquable de Servois.
- Définitions géométriques élémentaires concernant la notion de position relative.
- Définition d'un VECTEUR. Sa signification comme instrument de translation.
- Expression d'un vecteur par un symbole monôme, dépendant implicitement de trois nombres distincts.
- Extension donnée à la signification du signe de l'égalité =.
- Extension donnée à la signification du signe plus +, de manière à l'adapter à la composition des vecteurs comme instrument de translation.
- Extension correspondante à la définition du signe moins -. Ce signe intervertit le sens de la direction du vecteur.
- Triangles et polygones résultant de la composition des vecteurs, analogues à ceux que l'on forme en composant des forces ou bien des vitesses simultanées.
- La propriété commutative et la propriété associative appartiennent aux combinaisons de vecteurs à l'aide des signes + et -.
- Différentiation d'un vecteur, quand il est donné en fonction d'une quantité numérique.

2 - Produits et quotients de vecteurs.
- C'est dans ce Chapitre que l'on connaîtra la signification d'un quaternion.
- Quand deux vecteurs sont parallèles, leur quotient est un nombre.
- Quand deux vecteurs sont perpendiculaires entre eux, leur quotient est un vecteur perpendiculaire au plan des deux autres.
- Quand deux vecteurs ne sont ni parallèles ni perpendiculaires entre eux, leur quotient dépend, en général, de quatre nombres indépendants les uns des autres ; il est appelé pour cette raison un QUATERNION.
- Un quaternion considéré comme l'opérateur qui transforme un vecteur en un autre vecteur. Sous ce point de vue, l'expression du quaternion est décomposable en deux facteurs, dont le rôle en tant que multiplicateur ou multiplicande est indifférent. L'un des facteurs, le TENSEUR, opère le changement de longueur du vecteur à transformer ; l'autre facteur, le VERSEUR, en opère le changement de direction. La notation de ces deux facteurs relative au quaternion q est Tq et Uq.
- Représentation d'un verseur par un arc de grand cercle de la sphère-unité.
- Multiplication d'un verseur par un autre verseur. Cette opération et son résultat s'effectuent sur la sphère-unité par une composition d'arcs représentant les verseurs, laquelle est analogue à la composition des vecteurs.
- Digression sur les coniques sphériques.
- L'addition et la soustraction appliquées à des quaternions, sont des opérations commutatives
- La multiplication et la division de quaternions les uns par les autres sont des opérations distributives.
- Combinaisons d'un système de verseurs quadrants correspondant à trois plans perpendiculaires les uns aux autres. En les désignant par i, j, k, nous avons les relations :
i2 = j2 = k2 = -1,
ij = -ji = k,
ki = - ik = j,
jk = - kj = i,
ijk = -1.
- Combinaisons d'un système de verseurs quadrants correspondant à trois plans perpendiculaires les uns aux autres.
- Un vecteur-unité, qui joue le rôle de facteur, peut être conçu comme étant un verseur-quadrant dont le plan est perpendiculaire au vecteur-unité en question.
- Le produit et le quotient de deux vecteurs perpendiculaires entre eux est un troisième vecteur perpendiculaire aux deux premiers.
- Un verseur quelconque peut être exprimé par une puissance d'un vecteur-unité.
- Un quaternion quelconque peut être exprimé par une puissance d'un vecteur.
- Un quaternion considéré au point de vue de la somme d'un SCALAR et d'un VECTEUR.
- Expression quadrinomiale d'un quaternion : q = w + ix + jy + kz.
- Une équation en quaternions est équivalente à quatre équations entre scalars.
- Détermination algébrique des parties constituantes d'un produit ou d'un quotient de deux vecteurs.
- En posant la condition fondamentale que le Calcul des quaternions doive s'appliquer de la même manière à tout système, quelle que soit son orientation par rapport à l'espace, Hamilton constate les deux conséquences suivantes : en premier lieu le produit de deux vecteurs parallèles devra être un scalar ; et en second lieu le produit de deux vecteurs perpendiculaires entre eux devra être un vecteur.

3 - Interprétations et transformations d'expressions en quaternions.
- Quelques propositions simples de Trigonométrie.
- Interprétation du produit αβγ, lorsque ce produit est un vecteur.
- Exemples de la multiplicité des transformations dont sont susceptibles les expressions, même les plus simples.
- Établissement des formules de Trigonométrie sphérique.
- Représentation de l'excès sphérique graphiquement et en quaternions.
- Lieux géométriques et leur représentation par des équations. Points, courbes, surfaces, volumes.
- Biquaternions.

4 - Différentiation de quaternions.
- Définition d'une différentielle dans laquelle dq représente un quaternion quelconque.
- Définition de la différentielle d'une fonction de plusieurs quaternions.
- Différentiations successives ; théorème de Taylor.

5 - Résolution des équations du premier degré.
- Différents degrés d'indétermination de la solution d'une équation à quaternion. Exemples de ces degrés.
- Mention de l'équation du quatrième ordre exprimant la solution d'une équation linéaire à quaternion inconnu, par des procédés particuliers.
- Une équation à quaternion inconnu de degré m dépend de la résolution d'une équations à scalars de degré m4.

6 - Géométrie de la ligne droite et du plan.

7 - La sphère et le cône cyclique.

8 - Les surfaces du second ordre.

9 - Géométrie des courbes dans l'espace et des surfaces.

10 - Cinématique.

11 - Applications physiques.

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