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POINCARÉ, Henri

POINCARÉ, Henri

POINCARÉ, Henri





Né le 29 avril 1854 à Nancy
Décédé le 17 juillet 1912 à Paris

 







Extrait de l’article POINCARÉ (Henri), par René Taton et Jean Ardoino, Dictionnaire des biographies, PUF, 1958

« Illustre mathématicien français né le 29 avril 1854, à Nancy. Fils d'un professeur à la Faculté de Médecine de cette ville, il était le cousin germain du Président de la République Raymond Poincaré et du physicien Lucien Poincaré et devint le beau-frère du philosophe Émile Boutroux.
Henri Poincaré, élève au lycée de Nancy, obtint les premiers prix de mathématiques élémentaires et de mathématiques spéciales au Concours général. Il entra premier à l'École Polytechnique (1873) et, à la sortie de cette école, entra à l'École des Mines où il se prépara au métier d'ingénieur, tout en abordant des recherches mathématiques très élevées.
Nommé ingénieur à Vesoul, il ne conserva ce poste que quelques mois, car une thèse très brillante lui permit d'être nommé, à la fin de 1879, chargé de cours à la Faculté des Sciences de Caen. Ce fut dès lors, une succession ininterrompue de notes, de mémoires, d'articles et d'ouvrages consacrés aux divers domaines des mathématiques et de leurs applications.
Dès 1881, il présente sa première grande découverte, celle des fonctions fuchsiennes. Nommé la même année maître de conférences à la Sorbonne, titularisé en 1886 dans la chaire de physique mathématique et de calcul des probabilités, il opta en 1896 pour celle d'astronomie mathématique et de mécanique céleste qu'il conserva jusqu'à sa mort (Paris, 17 juillet 1912).
Il donna également des cours à l'École Polytechnique et à l'École supérieure des P.T.T. Admis a l"Académie des Sciences dès 1881 et quelques années plus tard au Bureau des Longitudes, il fut appelé à siéger dans une vingtaine d'académies (parmi lesquelles l'Académie française, en 1908) et reçut de son vivant les plus hautes récompenses scientifiques françaises et étrangères.
Henri Poincaré aborda presque tous les domaines des mathématiques : équations différentielles, fonctions analytiques, analysis situs, théorie des groupes, etc., et de la physique mathématique : rayonnement de la chaleur, problème de Dirichlet, élasticité, théorie cinétique, électrodynamique, équations de Maxwell et oscillations hertziennes. Il participa ainsi de la façon la plus directe au renouvellement des méthodes et des théories qui marqua le début du XXe siècle. En mécanique céleste, il s'intéressa au problème des trois corps et créa de nouvelles méthodes d'étude des problèmes fondamentaux.
[...]
Malgré l'immensité d'une telle œuvre, réalisée en une trentaine d'années, Henri Poincaré savait aussi goûter le plaisir des choses et s'intéresser aux siens, à ses collègues, à ses élèves. Mais dès qu'une idée nouvelle surgissait dans son esprit, il pouvait s"abstraire aussitôt du milieu où il se trouvait pour concentrer son attention sur ce nouveau sujet de réflexion.
Comme l'écrivit Paul Painlevé le 17 juillet 1912, le jour même où Poincaré venait d'être foudroyé en pleine force par une embolie : « Henri Poincaré était vraiment le cerveau vivant des sciences universelles. »


Lettre de Pierre BOUTROUX à Gösta MITTAG-LEFFLER, dans Henri POINCARÉ, Œuvres, tome 11, 1956

Vous voudriez avoir, cher Monsieur, quelques détails sur la vie intime de mon oncle, sur la façon dont il travaillait, sur ses habitudes et son caractère ? Je n'ai cependant rien d'extraordinaire à vous raconter. Les enquêtes sensationnelles, faites un peu bruyamment par certains psychologues modernes, tendraient à nous faire croire qu'un savant est un être anormal dont tous les actes doivent être étranges. Vous savez pourtant qu'on ne pourrait imaginer une existence plus simple, plus exempte d'événements, plus uniforme en apparence, que celle de Henri Poincaré. L'activité de sa pensée lui suffisait et se suffisait. Point ne lui était besoin de chercher des excitations au dehors, ou d'entretenir chez lui par des moyens artificiels cette exaltation spéciale, cette fièvre intellectuelle, sans laquelle certains inventeurs ne sauraient produire. Il ne fuyait pas, il recherchait même, les distractions, les voyages, les plaisirs artistiques ; mais c'est qu'il y était porté par un intérêt véritable, par une curiosité naturelle très étendue, en même temps que par le besoin de se délasser. C'est chez lui, en famille, c'est dans le calme de son existence journalière, qu'il a accompli la plus grande partie de sa tâche.

 Dans son paisible cabinet de travail, rue Claude Bernard, ou sous les ombrages de son jardin, à Lozère, Henri Poincaré s'asseyait quelques heures par jour devant une main de papier écolier réglé, et l'on voyait alors les feuillets se couyrir, avec une rapidité et une régularité surprenantes, de son écriture fine et anguleuse. Presque jamais une rature, très rarement une hésitation. En quelques jours un long Mémoire se trouvait achevé, prêt à être imprimé, et mon oncle ne s'y intéressait plus désormais que comme à une chose du passé. A peine consentait-il - ses éditeurs en savent quelque chose - à jeter un rapide coup d'oeil sur les épreuves.

 Voilà à quoi se bornait le travail, je veux dire le travail apparent d'Henri Poincaré. A quel labeur sa pensée avait-elle dû se livrer au préalable, lui seul l'a jamais su. Il pensait dans la rue lorsqu'il se rendait à la Sorbonne, lorsqu'il allait assister à quelque réunion scientifique, ou lorsqu'il faisait, après son déjeuner, une de ces grandes marches à pied dont il était coutumier. Il pensait dans son antichambre, où dans la salle des séances de l'Institut, lorsqu'il déambulait à petits pas, la physionomie tendue, en agitant son trousseau de clefs. Il pensait à table, dans les réunions de famille, dans les salons même, s'interrompant souvent brusquement au milieu d'une conservation, et plantant là son interlocuteur, pour saisir au passage une pensée qui lui traversait l'esprit. Tout le travail de découverte se faisait mentalement chez mon oncle, sans qu'il eût besoin, le plus souvent, de contrôler ses calculs par écrit ou de fixer ses démonstrations sur le papier. Il attendait que la vérité fondît sur lui comme le tonnerre, et il comptait sur son excellente mémoire pour la conserver.

 On a souvent remarqué que Henri Poincaré gardait jalousement pour lui ses pensées. A l'inverse de certains savants, il ne croyait pas que les communications orales, l'échange verbal des idées, pussent favoriser la découverte. Cette réserve de mon oncle me frappa spécialement lorsque, passant quelques mois à Göttingen, je fus témoin d'habitudes toutes différentes. On sait quel admirable foyer de pensée en commun et de travail collectif est la célèbre université allemande. Là tout se passe au grand jour. A peine l'étranger est-il débarqué dans la petite cité hanovrienne, qu'il sait déjà quels sont les travaux dont s'occupent les illustrations du lieu, jusqu'où elles sont parvenues et quelles difficultés les arrêtent. Les idées, colportées, confrontées, discutées, au cours des promenades dans la forêt et aux séances de la Société mathématique, mûrissent d'elles-mêmes dans ce milieu fertile, où la curiosité toujours alerte et la néomaïeutique de M. Klein contribuent à entretenir un ferment inépuisable. Le profit que peuvent retirer les jeunes gens d'un contact aussi intime avec leurs maîtres est manifeste. Ce n'est point, cependant, par accident, ou par besoin égoïste de solitude, que mon oncle s'abstenait d'imiter sur ce point ses collègues allemands. Nul n'était plus liant que lui, nul n'était plus porté à la sympathie, pour les jeunes en particulier. Mais mon oncle se faisait de la découverte mathématique une idée qui excluait toute possibilité de collaboration. La recherche telle qu'il la comprenait doit être une lutte à deux. C'est un corps à corps avec la réalité fuyante et rebelle, qu'il s'agit de frapper au coeur. Dans un tel duel il n'y a pas de place pour des témoins. L'intuition, par où s'opère la découverte, est une communion directe, sans intermédiaires possibles, de l'esprit et de la vérité. Il ne convient pas, il faut se garder, de troubler ce tête-à-tête.

 Sans doute, une fois l'idée conquise, il peut être utile de se mettre à plusieurs pour l'exploiter. Mais c'est là une besogne, en partie mécanique, qui n'avait qu'un intérêt secondaire, il faut bien le dire, aux yeux de Henri Poincaré. - Avez-vous l'idée, demandait-il ? Si vous ne l'avez pas, je ne puis vous être d'aucun secours pour la découvrir. En revanche, je suis prêt à vous faire crédit, Quoi qu'il me semble de la voie où vous vous engagez, je ne vous adresse aucune critique, aucune objection de principe. Je sais trop bien que la vérité surgit souvent aux carrefours où l'on s'attendait le moins à la rencontrer.

 Je m'explique ainsi que mon oncle ait été, à l'égard des débutants, l'un des juges les plus bienveillants, les plus larges d'esprit, que j'aie rencontrés, et, en même temps, l'un des plus sévères. Loin de prétendre entraîner ses élèves à sa suite et de leur dicter leur tâche, il voulait laisser à chacun une initiative complète ; il était toujours disposé à s'intéresser aux recherches les plus inusitées, les plus paradoxales mêmes; aucune nouveauté ne lui faisait peur. Mais, quand venait le moment d'apprécier les résultats, il se montrait extrêmement exigeant. Si vous ne lui apportiez que des propositions qu'il considérait comme acquises - et, dans sa tendance à aller de l'avant, il regardait comme virtuellement acquis tout ce dont nous n'étions plus séparés par des difficultés de principe - si vous ne lui ouvriez pas des aperçus nouveaux pour lui, on devinait qu'il avait aux lèvres l'éternel et décourageant « à quoi bon ? » ; non que vous eussiez, selon lui, perdu votre temps ; mais vous lui aviez appris que votre méthode - sur laquelle il avait jusque-là réservé son jugement -  n'offrait, en réalité, aucun avantage.

 Ceux qui approchèrent mon oncle de près ont été surpris de le voir rarement se servir de livres. Il lisait peu, en effet - je ne parle ici, bien entendu, que de ses lectures scientifiques -, et il lisait d'une façon très particulière. Henri Poincaré ne pouvait s'astreindre à suivre la longue chaîne de déductions, la trame serrée de définitions et de théorèmes, que l'on trouve généralement dans les Mémoires de mathématiques. Mais, allant tout droit au résultat qui lui paraissait le centre du Mémoire, il l'interprétait et le repensait à sa manière ; il le contrôlait par ses propres moyens ; après quoi, seulement, reprenant le livre en mains, il jetait un rapide regard circulaire sur les lemmes, propositions, et corollaires, qui constituaient la garniture du Mémoire.

 Il faut insister sur ces détails, car nous touchons ici peut-être à l'un des caractères distinctifs de la pensée de mon oncle. Au lieu de suivre une marche linéaire, son esprit rayonnait du centre de la question qu'il étudiait vers la périphérie. De là vient que dans l'enseignement et même dans la conversation ordinaire, il était souvent difficile à suivre et parfois semblait obscur. Qu'il exposât une théorie scientifique, ou qu'il contât une anecdote, il ne commençait presque jamais par le commencement. Mais, ex abrupto, il lançait en avant le fait saillant, l'événement caractéristique, ou le personnage central, personnage qu'il n'avait point même pris le temps d'introduire et dont parfois son interlocuteur ignorait jusqu'au nom.

 Cette tournure d'esprit explique comment la pensée de Henri Poincaré a pu être si agile et s'appliquer à tant d'objets différents, comment, par suite, il lui a été possible de satisfaire une curiosité presque universelle.

 Habitué à négliger les détails et à ne regarder que les cimes, il passait de l'une à l'autre avec une promptitude surprenante; et les faits qu'il découvrait, se groupant d'eux-mêmes autour de leurs centres, étaient instantanément et automatiquement classés dans sa mémoire. D'ailleurs mon oncle n'était pas de ceux qui vivent sur les trésors acquis et qui se complaisent à faire chez eux le tour du propriétaire. Il se contentait de savoir qu'il possédait et, sans regarder en arrière, il travaillait sans relâche à remplir de nouvelles cases de son cerveau.

 Henri Poincaré avait un goût marqué pour la géographie et pour les voyages. Conformément à ses tendances ordinaires, il voulait voir dans chaque pays les sites et les monuments les plus caractéristiques, et il n'éprouvait point le désir de s'écarter des routes traditionnelles. Il était l'opposé de ces romantiques qui voyagent pour donner un cadre à leurs rêveries et qui, souhaitant ce cadre inédit, s'efforcent de s'isoler du flot des touristes. Ses jouissances à lui étaient d'un ordre tout intellectuel. Extrayant d'ailleurs du premier coup, et traduisant immédiatement en concepts, les traits essentiels des impressions qu'il recueillait, il n'avait que rarement besoin de voir deux fois les mêmes contrées. Sans doute, il est possible qu'à la fin de sa vie, mon oncle ait été sensible, lui aussi, à l'attrait qu'exercent sur presque tous les hommes l'évocation de leurs souvenirs et les lieux qui leur sont déjà familiers. Cependant le besoin incessant de voir du nouveau, a bien été, si je ne me trompe, un trait dominant de son caractère.

 Dès sa jeunesse Henri Poincaré lisait avec un intérêt passionné les récits de voyage du Tour du Monde et suivait au jour le jour les progrès de l'exploration du continent africain. C'est, je crois, un sentiment du même genre qui, en toutes circonstances et dans tous les domaines, le lançait vers la poursuite de l'inconnu, et lui faisait assigner à sa vie et à la science un but simple et précis : comme les grands voyageurs de l'Afrique, remplir les espaces blancs de la carte du monde.

 Je me rappelle qu'un jour, parlant devant Henri Poincaré d'un mathématicien qui quittait ses études pour d'autres occupations, quelqu'un laissa échapper cette remarque: « Tout se vaut, après tout ; il sera sans doute aussi heureux que s'il avait continué à faire des mathématiques ». Mon oncle eut un mouvement de protestation qui arrêta la conversation. Venant d'un spécialiste enfermé dans des études étroites, pareille intransigeance n'eût point étonné, et on l'eût mise sur le compte d'une foi un peu naïve. Mais Henri Poincaré n'avait point les défauts des spécialistes ; il avait des goûts très variés et ne prétendait nullement placer ses propres occupations au-dessus de toutes les autres. Que signifiait donc sa protestation ? Très catégoriquement, je crois, mon oncle estimait que si l'on s'est une fois mis au service de la science, on n'a plus le droit de déserter son poste. Tant qu'il reste des blancs sur la carte du monde, il ne nous est pas permis de nous reposer.

 En effet, bien qu'il ait été sensible autant qu'aucun autre à la grandeur et la beauté de la science, mon oncle n'appartenait pas à cette école de dilettantes qui se livrent aux mathématiques parce qu'elles leur procurent des jouissances esthétiques. La recherche était pour lui un devoir, d'autant plus attachant qu'il lui coûtait plus de peine. Je n'ai jamais entendu mon oncle parler du travail scientifique - du sien ou de celui d'autrui - qu'avec le plus grand sérieux et le plus grand respect : lui, si gai à ses heures de délassement, lui qui aimait et pratiquait l'ironie, il n'en avait point lorsque la science était en cause.

 Voilà, cher Monsieur, quelques-unes des réflexions qui me venaient à l'esprit, voilà ce que je sentais ou croyais deviner quand j'avais le bonheur de converser avec mon oncle. Henri Poincaré, je vous l'ai dit, ne parlait guère de ses travaux; encore moins se fût-il complu à décrire ses sentiments intimes et les ressorts de son intelligence ; mais il aimait faire causer les autres, et, lorsqu'on se trouvait exprimer une idée qui lui était chère, lorsqu'on découvrait une pensée conforme à la sienne, son sourire et son regard révélaient le plaisir qu'il éprouvait. C'est par de tels signes à peine perceptibles qu'Henri Poincaré manifestait sa sympathie et sa bienveillance. Lui qui, par discrétion, n'a pas voulu se faire des disciples, lui que sa réserve naturelle faisait passer pour froid, il avait un coeur chaud, un grand désir de se sentir entouré, un profond besoin d'affection.

Paris, le 18 juin 1913. 

 

 

                        


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Cette étude, comme tout ce qu'on pourrait écrire sur l'invention en mathématiques, fut tout d'abord inspirée par la célèbre conférence d'Henri Poincaré à la Société de Psychologie à Paris.
Je suis revenu pour la première fois sur le sujet au cours d'une réunion du Centre de Synthèse à Paris, en 1937. Mais je l'ai traité plus à fond dans une série de cours que j'ai faits en 1943 à l'École Libre des Hautes Études, à New-York.
L'Université de Princeton en a reçu le manuscrit juste au moment où je quittais les États-Unis pour revenir vers l'Europe (21 août 1944).
Jacques HADAMARD, Préface

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Dans l'histoire de l'Astronomie, Poincaré restera toujours au premier rang des explorateurs les plus éminents qui par la force irrésistible de leur génie ont réussi à étendre les limites de la science de l'Univers. Au premier coup d'œil, cette opinion peut paraître étrange, puisque Poincaré n'était ni observateur ni calculateur. Mais pour justifier notre sentiment, il suffit de rappeler que l'Astronomie – dans ses efforts pour connaître les lois du mouvement et l'état physique des corps célestes et de l'Univers – doit nécessairement rester en coopération intime avec l'Analyse mathématique, la Mécanique et la Physique. C'est l'honneur impérissable de Poincaré d'avoir renforcé les liens qui doivent rattacher l'Astronomie à ces autres branches de la Science. 
Hugo von ZEIPEL : L'œuvre astronomique d'Henri Poincaré, Acta Mathematica 38, 1921, dans POINCARÉ, Œuvres, tome 11, 1955-1956

178,00 € *
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Nous commencerons par la théorie des petits mouvements dans un milieu élastique ; nous établirons les lois générales du mouvement vibratoire et de la propagation des ondes planes ; nous aborderons successivement l'étude de la diffraction, des diverses théories de la dispersion, de celles de la double réfraction, ainsi que de la réflexion et de la réfraction à la surface des corps transparents et isotropes, puis des corps cristallisés et enfin des surfaces métalliques ; nous terminerons par l'étude de l'aberration et de la propagation de la lumière dans un milieu en mouvement.
Henri POINCARÉ, tome I

En revenant, après quatre ans, à l'étude de l'Optique, j'ai eu à traiter un grand nombre de matières nouvelles que le défaut de temps m'avait autrefois contraint à laisser de côté. Je ne citerai que la théorie de Helmholtz, sur la dispersion dont je n'avais pu dire qu'un mot en passant.
D'autre part, dans cet intervalle, la science a progressé, et bien des points de vue se sont modifiés. C'est ainsi, par exemple, que la théorie électromagnétique de Maxwell a conquis une place qu'on lui contestait encore il y a quelques années. Il est difficile aujourd'hui de parler d'Optique en la passant sous silence.
J'ai donc été conduit à traduire dans ce nouveau langage ce qu'avaient dit en d'autres termes les fondateurs de la théorie ondulatoire. Je ne me suis pas proposé de comparer ces deux doctrines afin de choisir entre elles. En ce qui concerne les phénomènes optiques, ce que la première explique, la seconde en rend également bien compte ; il ne peut d'ailleurs en être autrement. C'est dans le domaine des électricités qu'est le seul champ de bataille possible entre les champions des deux théories.
Henri POINCARÉ, tome II

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SOMMAIRE
- Étude cinématique des déformations.
- Étude des forces élastiques.
- Équations d'équilibre. – Pressions.
- Étude de quelques cas particuliers d'équilibre.
- Petits mouvements d'un corps élastique.
- Propagation des ondes planes. – Réflexion. – Exemples de vibration.
- Problème de Saint-Venant.
- Problème de l'élastique

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La théorie de la chaleur de Fourier est un des premiers exemples de l'application de l'analyse à la physique ; en partant d'hypothèses simples qui ne sont autre chose que des faits expérimentaux généralisés, Fourier en a déduit une série de conséquences dont l'ensemble constitue une théorie complète et cohérente. Les résultats qi'il a obtenus sont certes intéressants par eux-mêmes, mais ce qui l'est plus encore est la méthode qu'il a employée pour y parvenir et qui servira toujours de modèle à tous ceux qui voudront cultiver une branche quelconque de la physique mathématique.
J'ajouterai que le livre de Fourier a une importance capitale dans l'histoire des mathématiques et que l'analyse pure lui doit peut-être plus encore que l'analyse appliquée.
Rappelons succintement quel est le problème que s'est proposé Fourier : il a voulu étudier la propagation de la chaleur, mais il faut distinguer.
La chaleur peut, en effet, se propager de trois manières : par rayonnement, par conductibilité et par convection.
Henri POINCARÉChapitre I

54,00 € *
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De nombreuses expériences ont été faites dans ces dernières années sur les oscillations électriques.
Hertz entreprit les siennes pour vérifier la théorie de Maxwell, à l'occasion d'une question mise au concours par l'Académie de Berlin. Il s'agissait de mettre en évidence l'action électrodynamique des variations d'un champ électrique. Hertz fit d'abord usage des décharges d'une bouteille de Leyde ou d'une bobine de Ruhmkorff, mais il s"aperçut bientôt qu'il était nécessaire d'avoir recours à des oscillations plus rapides. Certains appareils de démonstration, qu'il eut l'occasion de voir à Karlsruhe, le frappèrent et le conduisirent à modifier heureusement les dispositions expérimentales. Ainsi la théorie de Maxwell, d'une part, une particularité expérimentale observée par Hertz, d'autre part, voila le point de départ des expériences de Hertz.
Henri POINCARÉIntroduction

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La Thermodynamique repose sur deux principes :
1° Le principe de la conservation de l'énergie dont un cas particulier, le plus intéressant au point de vue qui nous occupe, est le principe de l'équivalence de la chaleur appelé aussi principe de Mayer ;
2° Le principe de la dissipation de l'entropie, plus souvent nommé principe de Carnot ou principe de Clausius.
Nous étudierons successivement ces deux principes, ainsi que leurs conséquences les plus immédiates. Les premiers Chapitres seront principalement consacrés à l'historique de la découverte de ces principes.
Henri POINCARÈIntroduction

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SOMMAIRE
Première partie
- Cinématique.
- Mouvement d'une figure plane invariable glissant sur un plan.
- Mouvement d'un corps solide invariable.
- Mouvement hélicoïdal.
- Mouvement relatif d'un point.
- Mécanismes.

Deuxième partie
- Fonctions des forces. – Potentiel.
- Théorème de Green et applications.
- Attraction exercée par un ellipsoïde.
- Mécanique des fluides.
- Hydrodynamique.

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SOMMAIRE
1 - Les théories de Maxwell et la théorie électromagnétique de la lumière.
2 - Théories électrodynamiques d'Ampère, Weber, Helmholtz.
3 - Nouvelles théories électrodynamiques. Théories de Hertz et de Lorentz.
4 - A propos de la théorie de Larmor.

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SOMMAIRE
- Théorie de Laplace.
- Théories de Gauss et de Poisson.

- Lames minces.
- Les expériences de Plateau.
- Problèmes où la pesanteur intervient.
- Applications de la thermodynamique aux phénomènes capillaires.

42,00 € *
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SOMMAIRE
1 - Potentiel en un point extérieur aux masses agissantes. Équation de Laplace. Exemples. Développements en séries.
2 - Potentiel en un point intérieur aux masses agissantes. Formule de Poisson.
3 - Surfaces attirantes et lignes attirantes.
4 - La fonction de Green et le problème de Dirichlet.
5 - Résolution du problème de Dirichlet dans le cas du cercle et de la sphère. Théorème de Harnack.
6 - Doubles couches.
7 - Résolution du problème de Dirichlet. La méthode du balayage.
8 - Résolution du problème de Dirichlet. La méthode de Neumann.
9 - Extension de la méthode de Neumann au cas des domaines simplement connexes. Les fonctions fondamentales.

52,00 € *
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SOMMAIRE
- Introduction. 
- Définition des probabilités. 
- Probabilités totales et composées. 
- L'espérance mathématique. 
- Le théorème de Bernoulli. 
- Application de la formule de Stirling. 
- La loi de Gauss et les épreuves répétées. 
- Probabilité du continu. 
- Applications diverses. 
- Probabilités des causes. 
- La théorie des erreurs et la moyenne arithmétique. 
- Justification de la loi de Gauss
- Erreurs sur la situation d'un point. 
- Méthode des moindres carrés. 
- Calcul de l'erreur à craindre. 
- Théorie de l'interpolation. 
- Questions diverses.

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Un mois ne s'était pas écoulé depuis l'envoi du Mémoire d'Einstein aux Annalen der Physik que Henri Poincaré faisait parvenir (23 juillet 1905) au Cercle mathématique de Palerme une étude d'une richesse rare.
Reprenant l'exposé de Lorentz, il en confirme les résultats principaux et montre les conséquences très importantes que comporte la nouvelle transformation. Tout d'abord, l'illustre géomètre en déduit la règle d'addition des vitesses, partageant ainsi avec Einstein la gloire de la découverte de cette célèbre formule. En outre, il montre que l'ensemble des transformations de Lorentz forme un groupe, et que cette propriété est nécessaire si l'on veut écarter la possibilité du mouvement absolu, c'est-à-dire sauvegarder le principe de la relativité des mouvements uniformes. Il parvint à rattacher de la sorte les transformations de Lorentz à la Théorie des Invariants, et eut le premier l'idée de représenter les coordonnées horaires à l'aide d'une quatrième dimension imaginaire de l'espace. 
En un mot, Poincaré fut un génial précurseur, et son Mémoire contient les principes fondamentaux sur lesquels, trois ans plus tard (1908), Minkowski édifiera son fameux « Espace-Temps » à quatre dimensions.
Édouard GUILLAUME, Introduction

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La théorie des mouvements tourbillonnaires repose sur un théorème dû à Helmholtz et qui constitue le plus grand progrès qu'aient fait jusqu'aujourd'hui les théories hydrodynamiques.
[...]
Après avoir rappelé les équations de l'hydrodynamique, je démontrerai le théorème de Helmholtz et je développerai ses conséquences relatives au mouvement des fluides, en comparant les résultats à ceux de l'électrodynamique.
Henri POINCARÉ, Introduction

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Nous allons étudier la figure d'équilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation : les seules forces auxquelles est soumis le système sont des forces intérieures dues à l'attraction newtonienne : deux points s'attirent en raison directe de leur masse et en raison inverse du carré de leur distance.
Nous allons d'abord rappeler quelques résultats connus sur le potentiel newtonien.
Henri POINCARÉ, Objet du cours
 

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Une théorie complète des fonctions définies par les équations différentielles serait d'une grande utilité dans un grand nombre de questions de Mathématiques pures ou de Mécanique. Malheureusement, il est évident que dans la grande généralité des cas qui se présentent on ne peut intégrer ces équations à l'aide des fonctions déjà connues, par exemple à l'aide des fonctions définies par les quadratures. Si l'on voulait donc se restreindre aux cas que 1'on peut étudier avec des intégrales définies ou indéfinies, le champ de nos recherches serait singulièrement diminué, et l'immense majorité des questions qui se présentent dans les applications demeureraient insolubles.
Il est donc nécessaire d'étudier les fonctions définies par des équations différentielles en elles-mêmes et sans chercher à les ramener à des fonctions plus simples, ainsi qu'on a fait pour les fonctions algébriques, qu'on avait cherché à ramener à des radicaux et qu'on étudie maintenant directement, ainsi qu'on a fait pour les intégrales de différentielles algébriques, qu'on s'est efforcé longtemps d'exprimer en termes finis.
Rechercher quelles sont les propriétés des équations différentielles est donc une question du plus haut intérêt. On a déjà fait un premier pas dans cette voie en étudiant la fonction proposée dans le voisinage d'un des points du plan. Il s'agit aujourd'hui d'aller plus loin et d'étudier celte fonctiondans toute l'étendue du plan. Dans cette recherche, notre point de départ sera évidemment ce que l'on sait déjà de la fonction étudiée dans une certaine région du plan.
L'étude complète d'une fonction comprend deux parties: 
1° Partie qualitative (pour ainsi dire), ou étude géométrique de la courbe définie par la fonction ;
2° Partie quantitative, ou calcul numérique des valeurs de la fonction.
Ainsi, par exemple, pour étudier une équation algébrique, on commence par rechercher, à l'aide du théorème de Sturm, quel est le nombre des racines réelles, c'est la partie qualitative, puis on calcule la valeur numérique de ces racines, ce qui constitue l'étude quantitative de l'équation. De même, pour étudier une courbe algébrique, on commence par construire cette courbe, comme on dit dans les cours de Mathématiques spéciales, c'est-à-dire qu'on cherche quelles sont les branches de courbes fermées. les branches infinies, etc. Après cette étude qualitative de la courbe on peut en déterminer exactement un certain nombre de points.
C'est naturellement par la partie qualitative qu'on doit aborder la théorie de toute fonction et c'est pourquoi le problème qui se présente en premier lieu est le suivant :
Construire les courbes définies par des équations différentielles. 
Cette étude qualitative, quand elle sera faite complètement, sera de la plus grande utilité pour le calcul numérique de la fonction et elle y conduira d'autant plus facilement que l'on connaît déjà des séries convergentes qui représentent la fonction cherchée dans une certaine région du plan, et que la principale difficulté qui se présente est de trouver un guide sûr pour passer d'une région où la fonction est représentée par une série à une autre région du plan où elle est exprimable par une série différente.
D'ailleurs, cette étude qualitative aura par elle-même un intérêt du premier ordre. Diverses questions fort importantes d'Analyse et de Mécanique peuvent en effet s'y ramener. Prenons pour exemple le problème des trois corps : ne peut-on pas se demander si l'un des corps restera toujours dans une certaine région du ciel ou bien s'il pourra s'éloigner indéfiniment ; si la distance de deux des corps augmentera, ou diminuera à l'infini, ou bien si elle restera comprise entre certaines limites ? Ne peut-on pas se poser mille questions de ce genre, qui seront toutes résolues quand on saura construire qualitativement les trajectoires des trois corps ? Et si l'on considère un nombre plus grand de corps, qu'est-ce que la question de l'invariabilité des éléments des planètes, sinon une véritable question de Géométrie qualitative, puisque, faire voir que le grand axe n'a pas de variations séculaires, c'est montrer qu'il oscille constamment entre certaines limites ?
Tel est le vaste champ de découvertes qui s'ouvre devant les géomètres. Je n'ai pas eu la prétention de le parcourir tout entier, mais j'ai voulu du moins en franchir les frontières, et je me suis restreint à un cas très particulier, celui qui se présente d'abord
tout naturellement, c'est-à-dire à l'étude des équations différentielles du premier ordre et du premier degré.
Henri POINCARÉ, Introduction

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Quelqu'un demandait un jour à J.-B. Dumas, à propos de Claude Bernard : « Que pensez-vous de ce grand physiologiste ? », et Dumas répondit : « Ce n'est pas un grand physiologiste, c'est la Physiologie elle-même. » On pourrait dire pareillement de Henri Poincaré qu'il ne fut pas seulement un grand mathématicien, mais la Mathématique elle-même.
Dans l'histoire des Sciences mathématiques, peu de mathématiciens ont eu, comme lui, la force de faire rendre à l'esprit mathématique tout ce qu'il était à chaque instant capable de donner. En Mathématiques pures sa puissance d'invention fut prodigieuse, et l'on reste confondu devant la maîtrise avec laquelle il savait forger l'outil le mieux approprié dans toutes les questions qu'il attaquait.
Poincaré ne fut étranger à aucune des sciences parvenues à un stade assez avancé pour être susceptible de prendre, au moins dans certaines de leurs parties, une forme mathématique. Il a été en particulier un grand critique des théories de la Physique moderne, habile à les comparer et à mettre en évidence leur véritable origine, aimant aussi à signaler leurs points faibles et leurs contradictions.
[...]
Ce qui caractérise le génie mathématique de Poincaré, c'est sa puissance à embrasser d'emblée les questions dans toute leur généralité et à créer de toutes pièces l'instrument analytique permettant l'étude des problèmes posés. D'autres, et c'est ainsi qu'opèrent la majorité des chercheurs, commencent par s'enquérir de ce qui a été fait dans la voie qu'ils veulent explorer ; la documentation est pour eux un travail préliminaire. Poincaré s'attarde rarement à étudier les travaux antérieurs. Tout au plus, parcourt-il rapidement quelques-uns d'entre eux ; de vagues indications lui permettent de retrouver des Chapitres entiers d'une théorie.
Émile PICARDL'œuvre de Henri Poincaré, Annales scientifiques de l'É.N.S., 3e série, tome 30 (1913)

 

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Au lendemain de la mort prématurée d'Henri Poincaré, ses confrères, ses amis, ses admirateurs ont été unanimes à penser que notre pays devait rendre au géomètre qu'il venait de perdre le même hommage qu'il avait rendu aux plus grands : à Lagrange, à Laplace, à Fourier, à Cauchy. Le Ministère de l'Instruction publique a décidé de publier sans tarder les Œuvres mathématiques d'Henri Poincaré.
[...]
Le plan et le contenu des divers Volumes ont été complètement arrêtés. Dans le désir de provoquer des recherches, j'ai cru devoir commencer par le Tome II, parce qu'il contient les travaux les plus importants de la jeunesse de Poincaré, ceux qui concernent les fonctions fuchsiennes. L'hommage ainsi rendu à un savant illustre se doublera, je l'espère, d'un service rendu aux géomètres.
Gaston DARBOUX, Préface

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L'intégration des équations différentielles et aux dérivées partielles est restée jusqu'ici le problème central de la mathématique moderne. Elle en restera vraisemblablement encore l'un des problèmes capitaux, même si la Physique poursuit vers le discontinu l'évolution qui se dessine à l'heure actuelle.
La théorie des équations différentielles fut aussi la première à attirer l'attention de Poincaré. Elle fait l'objet de sa Thèse (1879).
Notons cependant que, sous l'influence du maître qui gouverna la génération précédente, j'ai nommé Hermite, le débutant ne craignait pas de suivre presque au même moment une voie pour ainsi dire opposée à la première, celle de l'Arithmétique.
La Thèse de Poincaré contient déjà sur les équations différentielles un résultat d'une forme remarquable, destinée à être plus tard pour lui un puissant levier dans ses recherches de mécanique céleste. Dès ce premier travail, il était, d'autre part, conduit à perfectionner le principal outil dont se fût servi jusque là, la théorie des équations différentielles, outil qu'il allait utiliser mieux que qui que ce soit, en même temps que le premier, il allait enseigner à s'en passer : la théorie des fonctions analytiques.
Celle-ci allait, presque immédiatement après, lui devoir une de ses plus belles conquêtes : c'est en 1880 que les fonctions fuchsiennes vinrent désigner Poincaré à l'attention et à l'admiration de tous les géomètres.
Jacques HADAMARDL'œuvre mathématique de Poincaré, Acta Mathematica, Band 38 (1921)

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Le présent volume des « Œuvres de Henri Poincaré » contient tous les mémoires ou notes relatifs à la théorie générale des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables, et à la théorie des fonctions abéliennes ou connexes. On y a joint quelques notes brèves sur les séries trigonométriques, préliminaires aux travaux d'Astronomie qui seront publiés dans les tomes VII et VIII.
M. Georges Valiron, professeur à la Faculté des Sciences de Paris, avec sa compétence reconnue dans la théorie des fonctions analytiques, a établi le manuscrit définitif et ajouté une série de notes, destinées à orienter le lecteur vers les développements que ces travaux de Poincaré ont reçus jusqu'ici.
Gaston JULIA, Préface

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Les recherches et les publications de Henri Poincaré sur l'Algèbre et l'Arithmétique sont très diverses. Certaines se rattachent à des travaux contemporains d'Arithmétique qu'il a enrichis de méthodes et d'idées nouvelles.
C'est ainsi qu'un grand nombre de ses Notes et de ses Mémoires ont été inspirés par des travaux, des exposés ou des méthodes de Clebsch, Steiner,Lie, Sylvester, Laguerre, Appell, Hill, HadamardGauss, Bravais, Eisenstein, Hermite, Selling, Korkine et Zolotareff, Lejeune Dirichlet, Kummer, Dedekind, JordanTchebicheff, Fredholm, etc...
D'autres concernent des applications à l'arithmétique de ses découvertes d'analyse, mais aussi l'utilisation de l'arithmétique dans la construction de cette analyse. C'est le cas pour les études sur les invariants arithmétiques, sur les groupes fuchsiens, dont certains qualifiés arithmétiques sont engendrés par des substitutions automorphes de formes quadratiques, sur les fonctions fuchsiennes définies par ces groupes arithmétiques et qui ont un théorème d'addition ; sur les propriétés arithmétiques des courbes algébriques. On sait notamment que ce dernier travail a été l'origine de nombreuses recherches ultérieures.
Albert CHÂTELET, Note

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Une méthode qui nous ferait connaître les relations qualitatives dans l'espace à plus de trois dimensions pourrait, dans une certaine mesure, rendre des services analogues à ceux que rendent les figures. Cette méthode ne peut être que l'Analysis situs à plus de trois dimensions. Malgré tout, cette branche de la Science a été jusqu'ici peu cultivée. Après Riemann est venu Betti qui a introduit quelques notions fondamentales ; mais Betti n'a été suivi par personne. Quant à moi, toutes les voies diverses où je m'étais engagé successivement me conduisaient à l'Analysis situs. J'avais besoin des données de cette Science pour poursuivre mes études sur les courbes définies par les équations différentielles et pour les étendre aux équations différentielles d'ordre supérieur et, en particulier, à celles du problème des trois corps. J'en avais besoin pour l'étude des fonctions non uniformes de deux variables. J'en avais besoin pour l'étude des périodes des intégrales multiples et pour l'application de cette étude au développement de la fonction perturbatrice. Enfin, j'entrevoyais dans l'Analysis situs un moyen d'aborder un problème important de la théorie des groupes, la recherche des groupes discrets ou des groupes finis contenus dans un groupe continu donné. 
Henri POINCARÉAnalyse de ses travaux scientifiques, Acta Mathematica, t. 38, 1921

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Extrait de l'Introduction du célèbre Mémoire Sur le problème des trois corps et les équations de la Dynamique (Mémoire couronné du Prix de S. M. le roi Oscar II de Suède) (Acta Mathematica, t. 13, 1890)
Le travail qui va suivre et qui a pour objet l'étude du problème des trois corps est un remaniement du Mémoire que j'avais présenté au Concours pour le prix institué par sa Majesté le Roi de Suède. Ce remaniement était devenu nécessaire pour plusieurs raisons. Pressé par le temps, j'avais dû énoncer quelques résultats sans démonstration ; le lecteur n'aurait pu, à l'aide des indications que je donnais, reconstituer les démonstrations qu'avec beaucoup de peine. J'avais songé d'abord à publier le texte primitif en l'accompagnant de notes explicatives ; mais j'avais été amené à multiplier ces notes de telle sorte que la lecture du Mémoire serait devenue fastidieuse et pénible.
J'ai donc préféré fondre ces notes dans le corps de l'ouvrage, ce qui a l'avantage d'éviter quelques redites et de faire ressortir l'ordre logique des idées.
Je dois beaucoup de reconnaissance à M. Phragmén qui non seulement a revu les épreuves avec beaucoup de soin, mais qui, ayant lu le Mémoire avec attention et en ayant pénétré le sens avec une grande finesse, m'a signalé les points où des explications complémentaires lui semblaient nécessaires pour faciliter l'entière intelligence de ma pensée.

Extrait de la Table des matières du Mémoire Sur le problème des trois corps et les équations de la Dynamique
- Introduction
Première Partie : Généralités
- Propriétés générales des équations différentielles.
- Théorie des invariants intégraux.
- Théorie des solutions périodiques.
Deuxième Partie : Équations de la Dynamique et Problème des n corps
- Étude des cas où il n'y a que deux degrés de liberté.
- Étude des surfaces asymptotiques.
- Résultats divers.
- Tentatives de généralisation.

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SOMMAIRE 

- Fonction perturbatrice et périodes des intégrales doubles.
- Figure de la Terre
- Théorie des Marées.
- Théorie de la Lune.
- Théorie des Planètes.
- Quadratures mécaniques.
- Hypothèses cosmogoniques.
- Articles.
- Rapports.
- Conférences.

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Les tomes 9 et 10 de la présente publication contiennent les travaux de Henri Poincaré sur la Physique mathématique et sur divers problèmes de théorie physique. Comme à toutes les branches des Mathématiques, comme à la Mécanique générale et à la Mécanique céleste, comme au Calcul des Probabilités, Poincaré a apporté à la Physique mathématique et théorique de son temps des contributions d'une importance capitale portant la marque de l'originalité et de la profondeur d'un esprit extraordinairement puissant dont la capacité de travail était véritablement inouïe.
Louis de BROGLIE, Préface

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Il paraît bien naturel que Henri Poincaré, mathématicien de génie, ait fait réaliser de grands progrès aux méthodes de la Physique mathématique et à l'étude des équations qu'elle utilise. Mais, en joignant l'intuition physique à la rigueur abstraite, il a su aussi, fait assez rare chez les grands géomètres, faire réaliser de véritables progrès aux théories physiques de son époque en leur apportant des conceptions et des résultats nouveaux. Il a même réussi parfois à apporter une aide efficace aux techniciens.
Comme celles qu'il avait effectuées dans d'autres branches de la Science ou en philosophie scientifique, l'Œuvre de Poincaré en Physique mathématique et théorique restera un monument d'une impérissable grandeur.
Louis de BROGLIE, Préface du tome 9

 

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Extrait de l'allocution d'Émile BOREL à la Sorbonne le 15 mai 1954

Le trait le plus frappant du caractère d'Henri Poincaré, pour ceux qui l'ont approché, c'est sa passion pour la recherche scientifique et son désir d'y consacrer tout son temps, sans en détourner une parcelle dans des travaux qu'il regarde comme accessoires. Il n'accepta jamais des fonctions administratives, comme celles de doyen ou de secrétaire perpétuel, non qu'il en méconnut l'utilité, mais il pensait que d'autres pouvaient l'y remplacer, tandis que lui seul pourrait résoudre certains problèmes.
Le souci d'économiser son temps se manifestait dans les plus petits détails. C'est ainsi qu'un jour où je lui demandais un tirage à part d'un de ses Mémoires, il me dit : « Je ne fais plus de tirage à part, car c'était ma femme qui les envoyait et, depuis que nous avons des enfants, elle n'en a plus le loisir.
En me remettant les épreuves d'un article, qu'il avait bien voulu écrire pour La Revue du mois, il me dit : « Bien entendu, je n'ai corrigé que les fautes qui trahissaient ma pensée ; c'est l'affaire des imprimeurs et des secrétaires de rédaction de découvrir les fautes typographiques ; je ne perds jamais mon temps à les corriger, même si je les aperçois! »
Quand il inventa les fonctions fuchsiennes, il constata qu'il y a économie de temps à appeler droites les cercles qui ont leur centre sur l'axe des X et de définir également les angles et les distances d'une manière qui correspond à une certaine géométrie non euclidienne. Ces manières de parler abrégées sont commodes, donc tout se passe comme si elles étaient vraies ; de là à dire que les diverses géométries non euclidiennes sont également vraies, il n'y a qu'un pas qu'il franchit aisément.
De même , lorsqu'il découvre la divergence des séries de la Mécanique céleste, il ne perd pas son temps à rechercher des séries convergentes ; il préfère montrer que les séries divergentes peuvent être aussi utiles et efficaces que des séries convergentes.
En Calcul des probabilités, il montre que la définition de la probabilité élémentaire peut comporter une fonction arbitraire assujettie seulement à des conditions très larges de continuité, sans modifier les conséquences les plus importantes.
Il en est de même dans la théorie de la Relativité. L'espace-temps de Newton est parfois le plus commode, tandis que pour d'autres problèmes, ce sont les formules de la Relativité générale qui doivent être employées.
C'est dans le même esprit qu'il a traité les questions posées par la Physique nouvelle, notamment pour les quanta, mais je n'ai pas à revenir sur ces questions dont on vient de parler mieux que je ne saurais le faire.
Certains ont regardé Poincaré comme un sceptique, d'autres comme le précurseur des théories axiomatiques ; mais il aurait refusé de se laisser embrigader dans une secte quelconque, même si cette secte pouvait se réclamer de sa pensée.
Pour lui, la morale du savant se résume en une règle que réprouve la simple morale : la fin justifie les moyens.
La fin, c'est la connaissance de l'Univers, c'est l'accord entre les résultats numériques déduits des formules et les nombres inscrits par les physiciens et les astronomes sur leurs cahiers d'observations. Les moyens, pour le mathématicien, ce sont les formules et un langage qu'il a le droit de créer à sa convenance du moment qu'ils lui sont commodes ; ces moyens ne sont jamais immoraux, ils ne sont ni vrais ni faux et le savant doit être laissé libre de les choisir à son gré.

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Il y a deux manières d'écrire un livre destiné aux études : on peut se restreindre aux Programmes officiels et n'en pas franchir le cadre ; on peut aussi, en suivant strictement ces Programmes dans ce qu'ils ont d'obligatoire, aller au delà et essayer de les compléter.
Pour appliquer une science, il ne suffit pas d'en connaître quelques parties, il faut être familier avec toutes ses méthodes, en saisir l'ensemble. Les magnifiques découvertes de la Géométrie moderne n'ont pas pénétré dans l'enseignement ; délaissées par les Programmes, elles n'occupent pas dans la série des études mathématiques la place qui leur est due ; on en parle à peine et accessoirement en Géométrie analytique, où elles semblent bien à tort être une nouvelle conquête de l'admirable instrument créé par Descartes.
Nous sommes loin de reprocher aux Programmes leur silence à cet égard ; ils sont tellement chargés, qu'il serait mal venu à réclamer une addition. Mais ne peut-on apprendre un programme d'examen et essayer en même temps de comprendre la portée de la science que l'on étudie, en prenant une connaissance rapide, une vue générale de ses principales méthodes ? Telle est la pensée qui nous a guidés dans la composition de cet Ouvrage.
Eugène ROUCHÉ et Charles de COMBEROUSSE, Avertissement

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Ils sont rares ceux qui réunissent toutes ces qualités : profondeur de la pensée, lucidité de l'exposition, ardeur qu'aucun travail ne peut rebuter ; c'est pourquoi Tisserand seul pouvait entreprendre et mener à bien la grande œuvre de sa vie : son Traité de Mécanique céleste.
Quand, au commencement de ce siècle, Laplace écrivait son immortel ouvrage, il nous donnait un résumé fidèle et complet de l'état de l'Astronomie mathématique.
Les progrès de la Science ont été d'abord assez lents et le monument élevé par Laplace n'a longtemps reçu que de légères additions qui n'en rompaient pas l'ordonnance.
Il y a quinze ans, il n'en était déjà plus de même, et la Mécanique céleste attendait, pour ainsi dire, un nouveau Laplace, qui sût, non certes, faire oublier le premier ni dispenser de le lire, mais le compléter et continuer son œuvre.
Tisserand ne croyait certainement pas avoir égalé son modèle ; et pourtant sa modestie avait peut-être tort. Si Laplace a des qualités propres, qui ne seront jamais surpassées, par exemple je ne sais quelle ampleur de pensée et de style, Tisserand ne le rappelle-t-il pas par la concision et l'élégance? et même ne l'emporte-t-il pas sur lui par la clarté de son exposition que le lecteur suit sans fatigue?
D'ailleurs, ce ne sont là que des nuances, et je donnerais une impression plus juste en disant simplement : c'est le livre que Laplace aurait écrit s'il avait vécu de nos jours.
Heureusement pour nous, Tisserand eut le temps d'achever ce livre ; mais il ne devait pas, hélas, jouir longtemps de la satisfaction de la tâche accomplie.
Henri POINCARÉ, Éloge de François-Félix TISSERAND, Annuaire du Bureau des Longitudes, 1900

 

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