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VOLTERRA, Vito

VOLTERRA, Vito

VOLTERRA, Vito

 

Né le 3 mai 1860 à Ancône, Italie
Décédé le 11 octobre 1940 à Rome


Mathématicien italien

 

 

 

Extrait de l’Abrégé d'histoire des mathématiques, t. II, sous la direction de Jean Dieudonné, Hermann, 1978

« Né à Ancône (Italie), Volterra passa une grande partie de sa jeunesse à Florence. Sans moyens, il fut nommé assistant à l'Université de Florence avant d'y être inscrit.
En 1880, il étudia mathématiques et physique à Pise. Il les enseigna ensuite aux Universités de Pise (1883-1892), de Turin (1892-1900) et de Rome (1900-1931).
Volterra combattit la montée du fascisme en Italie dès 1922 et, en 1931, il fut exclu de l'Université.
Il était président de l'Accademia dei Lincei. »

 
Extrait de la Communication lue par Émile Picard à l'Académie des Sciences le 21 octobre 1940

« Vous venez, Messieurs, d'apprendre le décès de notre Associé étranger, M. Vito Volterra, survenu à Rome le 11 octobre dernier. Il était né à Ancône le 3 mai 1860, et il fit ses études à Florence d'abord, et ensuite à Pise.
Admis en 1880 à l'École Normale Supérieure de Pise, il fut ensuite successivement nommé Professeur à l'Université de cette ville et à l'Université de Turin. En 1900, il succède à Beltrami dans la chaire de Physique mathématique de l'Université de Rome, qu'il occupa jusqu'en 1931.
L'oeuvre scientifique de Volterra est considérable, portant sur l'Analyse mathématique, sur la Mécanique et la Physique mathématique. Ses premiers travaux sur la déformation des surfaces flexibles et inextensibles, sur les figures électro-chimiques, sur certaines classes d'équations différentielles témoignaient déjà d'un esprit original. De bonne heure aussi son attention se porta sur la théorie des fonctions qui, prise dans toute sa généralité, constitue une partie essentielle de l'Analyse.
Une contribution importante de Volterra dans ce domaine fut d'abord l'étude des fonctions de lignes, qui se rencontrent notamment dans le Calcul des variations. On les trouve aussi en Physique; ainsi l'énergie d'un courant électrique dans un fil métallique qui peut se déplacer et se déformer dans un champ magnétique est une fonction de ligne. Il semble que Volterra rencontra d'abord des fonctions de lignes dans son Mémoire sur une généralisation de la théorie des fonctions d'une variable imaginaire. L'étude d'une fonction de ligne revient à l'étude d'une fonction d'une infinité de variables indépendantes. Volterra définit sa dérivation et calcule sa variation première. Les difficultés qui se présentent dans l'étude analytique d'un tel être mathématique furent surmontées par Volterra au moyen de la méthode du passage du fini à l'infini, qui fut le classique procédé de l'analyse infinitésimale. Volterra, dans un de ses ouvrages, appelle ce procédé le passage du discontinu au continu. 
Ce même procédé, dont l'application n'est pas toujours facile, fut appliqué par Volterra dès ses premiers travaux sur les équations intégrales et sur les équations intégro-différentielles. Dans une équation intégrale la fonction inconnue (à l'exclusion de ses dérivées) figure sous le signe d'intégration, et dans une équation intégro-différentielle les. dérivées de la fonction y figurent aussi. Les équations célèbres de Fredholm avec des limites constantes pour l'intégrale qui y figure, et celles de Volterra avec des limites variables sont des équations intégrales qui se rencontrent dans un grand nombre de questions d'Analyse et de Physique mathématiques. Ces équations sont linéaires. Le cas des équations non linéaires est beaucoup plus difficile; Volterra a obtenu à leur sujet des résultats d'un très grand intérêt.
Parmi les nombreux mémoires de mécanique que l'on doit à Volterra, signalons son travail sur les corps élastiques à connexion multiple. Il y a pour ces corps des cas d'équilibre qui ne se présentent pas pour les corps à connexion simple. Un corps élastique multiplement connexe, à déformations régulières, peut garder la déformation, étant en équilibre sans l'action de forces extérieures. On obtient ces états d'équilibre par des déformations que Volterra appelle des distorsions.
Soucieux surtout des applications, Volterra conserve cependant le souci d'une grande rigueur dans les questions où la nature des fonctions envisagées peut jouer un rôle. Ses études sur l'inversion des intégrales définies le conduisirent à reprendre la question de l'impossibilité de la stratification d'une masse fluide en rotation uniforme, formée de couches ellipsoïdales homothétiques et concentriques avec le minimum d'hypothèses sur la loi de la densité des couches. Le théorème sur l'impossibilité est cependant exact, mais la démonstration était à compléter; c'est ce que fit Volterra. 
Que de travaux on pourrait encore citer dans l'oeuvre de notre Confrère. tel son Mémoire sur la variation des latitudes, où il est porté à attribuer une  importance dans cette variation, non seulement à des causes qui altèrent la distribution des masses et changent les moments d'inertie, mais aussi à des mouvements de caractère cyclique ayant lieu à la surface du Globe, qui, sans changer sensiblement les axes et les moments d'inertie ainsi que la distribution des masses, peuvent exercer une action sur le déplacement des pôles. Ce sont, entre autres, les courants marins constants, les courants atmosphériques, les courants des eaux des fleuves jusqu'à la mer qui ne modifient pas sensiblement la distribution des masses et la forme de la Terre.
Je n'ai pas encore parlé d'une partie de l'oeuvre de Volterra, à laquelle il attachait une grande importance. Dans  a Mécanique classique, la recherche du mouvement d'un système revient à l'intégration d'équations différentielles ordinaires, et, quand on connaît à un instant les valeurs de certaines grandeurs relatives à une position du système ainsi que celles de leurs dérivées premières, il est possible de prévoir le mouvement ultérieur Or il peut en être autrement, et il est des cas où il faut connaître l'histoire antérieure d'un phénomène pour être en mesure de prévoir son avenir. C'est ce que montrent les phénomènes d'hystérésis en magnétisme et les métallurgistes savent bien qu'il faut connaître l'histoire antérieure d'un métal pour prévoir ce qu'il deviendra. C'est à cette Mécanique, que l'on a appelée héréditaire, que Volterra a consacré un grand effort depuis de longues années. L'introduction de coefficients d'hérédité dans l'étude analytique du phénomène est alors indispensable, et les équations prennent une forme beaucoup plus compliquée. Il y a sans doute pour l'établissement de ces équation des hypothèses à faire, mais c'est là le lot de toutes nos théories, qui ne sont que des moules analytiques ou géométriques, dans lesquels nous cherchons à enfermer, au moins pour un temps, une réalité qui nous échappera peut-être toujours. Volterra s'est occupé d'abord de la théorie héréditaire de l'élasticité, et il a formé les équations intégro-différentielles auxquelles elle conduit. L'étude de l'hérédité dans les phénomènes de la vie ne tarda pas alors à s'imposer, et Volterra consacra de nombreuses études à l'application des mathématiques aux sciences biologiques. Il établit, en particulier, une théorie mathématique de la lutte pour la vie chez certaines espèces vivant ensemble, parvenant, pour les fluctuations des nombres respectifs des individus de ces espèces, à des résultats en accord avec les données statistiques fournies par certains poissons vivant en Méditerranée, et avec des recherches de laboratoire sur les insectes et les protozoaires.
Volterra a fait sur ses travaux de nombreux cours et conférences, tant en Europe qu'en Amérique. Quelques-uns de ces cours ont été publiés, notamment son cours professé à la Sorbonne en 1913 sur les Fonctions de lignes et ses leçons de 1931 sur la Lutte pour la vie faites aussi à l'Université de Paris.
Volterra avait été élu Correspondant de notre Académie en 1904, et il devint Associé étranger en 1917. Nous avons eu souvent le plaisir de le voir à nos séances pendant les séjours qu'il faisait à Paris où l'appelait la présidence, qui lui avait été confiée, du Comité du Bureau International des Poids et Mesures. 
L'oeuvre si variée et si profonde de notre illustre Confrère lui assure un rang élevé parmi les savants de notre temps. »

Principaux ouvrages en français :
- Leçons sur l'intégration des équations différentielles aux dérivées partielles, 1912
-  Leçons sur les équations intégrales et les équations intégro-différentielles, 1913 
- Leçons sur les fonctions de lignes, 1913
- (avec Joseph Pérès) Leçons sur la composition et les fonctions permutables, 1924
- Leçons sur la théorie mathématique de la lutte pour la vie, 1931
- (avec Umberto d'Ancona) Les associations biologiques au point de vue mathématique, 1935
- (avec Joseph Pérès) Théorie générale des fonctionnelles, Tome I (seul paru) : Généralités sur les fonctionnelles. Théorie des équations intégrales, 1936
- Rotation des corps dans lesquels existent des mouvements internes, 1938
- (avec Bohuslav Hostinsky) Opérations infinitésimales linéaires, 1938







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Mes premières études sur les fonctions qui dépendent d'autres fonctions et les fonctions de lignes, ou d'un nombre infini et continu de variables, remontent à l'année 1883. Je suis parti du calcul des variations. Mais je n'ai publié des travaux d'une manière systématique sur ce sujet qu'à partir de 1887. Cependant, en 1884, j'ai communiqué une Note à l'Académie des Lincei où j'ai relié au calcul des variations les équations intégrales à noyau symétrique.
J'ai interrompu les publications sur cette matière pendant les années 1891-1895 où j'ai dû m'occuper d'autres recherches, et je n'ai recommencé qu'en 1896 par les Notes de l'Académie de Turin sur l'inversion des intégrales définies.
Dès la première Note, j'ai envisagé les équations intégrales comme le cas limite d'équations algébriques linéaires. C'est par cette considération que je suis arrivé à l'emploi des déterminants infinis pour l'inversion des intégrales définies (résolution des équations intégrales). J'ai parlé de cet emploi dans des conversations privées à Zurich en 1897. J'ai eu aussi l'occasion de parler de cet emploi dans une conférence que j'ai faite en 1898 sur la question des oscillations des liquides pesants (Problème des Seiches).
Les mêmes conceptions relatives au passage du fini à l'infini m'ont guidé dans l'étude des équations intégro-différentielles et dans celle des fonctions permutables. J'en ai commencé l'exposition en 1909. On trouvera un premier aperçu de ces études dans le dernier Chapitre de ces Leçons.
Vito VOLTERRA, Préface

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Les nouvelles équations fonctionnelles que M. Vito Volterra a, le premier, considérées et qu'il a dénommées équations intégro-différentielles aux dérivées partielles (1), sont susceptibles de jouer un rôle de la plus haute importance, ainsi que l'a fait voir l'illustre géomètre, en Mécanique et en Physique Mathématique.
En Analyse pure, elles présentent un intérêt tout spécial en raison de leur grand degré de généralité: elles contiennent en effet, comme l'on sait, sous des signes d'intégration (simple ou multiple) non seulement la fonction inconnue - comme cela a lieu pour les équations intégrales - mais encore certaines de ses dérivées partielles de divers ordres par rapport aux variables indépendantes.
De ce fait elles renferment, à titre de cas particuliers, les équations intégrales à une ou plusieurs variables ainsi que les équations différentielles ordinaires - ou aux dérivées partielles - sans d'ailleurs leur être réductibles en général (2).
Par suite, tout résultat les concernant s'applique automatiquement et directement à ces derniers types d'équations.
Or une équation différentielle, par exemple, se montre parfois plus maniable après qu'elle a été transformée par des intégrations convenables et mise sous forme d'une équation intégrale ou intégro-différentielle, comme si l'intégration était en quelque sorte - suivant une remarque de M. Hadamard - un instrument de calcul plus puissant et plus commode que la différentiation.
On voit donc qu'il y aura souvent tout avantage à traiter du premier coup le Cas général des équations intégro-différentielles aux dérivées partielles.
L. POMEY, Équations intégro-différentielles, ICM 1928

(1) Vito VOLTERRA : Leçons sur les fonctions de lignes, 1913
(2) Vito VOLTERRA : Leçons sur les équations intégrales et les équations intégro-différentielles, 1913 

 

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Au cours de l'hiver 1928-1929, M. Émile Borel et la Direction du nouvel Institut Henri Poincaré me firent le grand honneur de me demander quelques conférences. Je choisis comme sujet la théorie mathématique des fluctuations biologiques. Le présent ouvrage a le titre même de ces conférences : Théorie mathématique de la lutte pour la Vie.
En effet le domaine d'application de ces recherches comprend tous les phénomènes de lutte entre les individus d'une collectivité, les gains des uns étant obtenus grâce aux pertes des autres, gains et pertes pouvant s"évaluer numériquement.
Cette étude repose sur celle des intégrales de certaines équations différentielles et intégro-différentielles, qu'il faut examiner très en détail soit d'une manière quantitative, soit, bien souvent, d'une manière seulement qualitative.
Je tiens ici à rendre hommage à la mémoire de Henri Poincaré et à son génie, en rappelant combien il a insisté dans certains de ses travaux classiques, sur le rôle que peut jouer dans la philosophie naturelle l'étude qualitative des intégrales des équations différentielles.
Vito VOLTERRA, Préface

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Les théories développées dans cet Ouvrage avaient déjà été abordées dans deux volumes précédemment parus de cette collection : mes Leçons sur les équations intégrales et les équations intégro-différentielles, et mes Leçons sur les fonctions de lignes.
C'est en effet, pour résoudre le premier problème qui se présente dans la théorie des équations intégrales linéaires que j'ai introduit l'opération de composition en formant les puissances entières de composition du noyau de l'équation intégrale et en démontrant que ces puissances sont des fonctions permutables entre elles ; le noyau résolvant apparaît alors comme une série de composition, c'est à dire une fonction de composition. Les trois concepts fondamentaux d'opération de composition, de permutabilité et de fonctions de composition, concepts qui seront étudiés dans ces Leçons, ont donc pour commune origine la méthode que j'ai donnée pour la résolution des équations intégrales.
Aussi, dès le second Chapitre du premier volume déjà cité, les deux premiers concepts apparaissent sous leur forme primitive limitée aux puissances entières du noyau ; dans le dernier Chapitre ils sont envisagés d'un point de vue plus général.
Dans le second volume, la théorie de la composition et des fonctions permutables est beaucoup plus développée, spécialement en vue des applications à la résolution d'équations intégrales et intégro-différentielles qui interviennent dans certaines théories de la Physique mathématique ; on y envisage d'autre part des classes plus étendues de fonctions de composition.
Mais l'opération de composition et la permutabilité n'apparaissent dans les deux volumes précédents que d'une manière indirecte et en fonction de leur utilité pour résoudre certains problèmes. En outre, quoiqu'on y emploie plusieurs fois des fonctions de composition on ne leur donne pas de dénomination spéciale, et l'on n'en expose pas une théorie générale.
Or, par divers travaux qui ont suivi la publication de ces Ouvrages, la théorie de la composition de première espèce s'est beaucoup développée. Il a donc paru utile de dégager cette théorie des recherches auxquelles elles avaient servi d'auxiliaire et d'en donner un exposé autonome, plus systématique et complet : c'est ainsi que fut conçu le plan de ces Leçons.
Vito VOLTERRA, Préface

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