En 1913 un physicien danois, Niels Bohr, étendit la notion de quantification de l'énergie radiante, due à Planck, à l'énergie mécanique des électrons à l'intérieur des atomes. Introduisant des « règles de quantification » spécifiques pour les systèmes mécaniques de dimensions atomiques, il aboutit à une interprétation logique du modèle planétaire de l'atome qui, établi par Ernest Rutherford sur une base expérimentale solide, se trouvait pourtant en nette contradiction avec tous les concepts fondamentaux de la physique classique. Ayant calculé les énergies des divers états quantiques discrets de certains électrons atomiques, Bohr interpréta l'émission lumineuse comme l'éjection de quanta de lumière, chaque quantum de lumière étant éjecté avec une énergie égale à la différence entre celle de l'état quantique initial et de l'état quantique final d'un électron atomique. Ses calculs lui permirent d'expliquer en détail les raies spectrales de l'hydrogène et de certains éléments plus lourds, problème qui avait intrigué les spectroscopistes pendant des dizaines d'années. La première publication de Bohr relative à la théorie quantique de l'atome fut à l'origine de développements foudroyants. Au cours d'une seule décennie, grâce aux efforts conjugués de théoriciens et d'expérimentateurs appartenant à de nombreux pays, les propriétés optiques, magnétiques et chimiques de divers atomes furent comprises en détail.
George GAMOW, Trente années qui ébranlèrent la physique, 1968

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Dans ce petit volume, je présente au public scientifique le résumé dans leur état actuel des conceptions nouvelles sur les rapports de la Mécanique et de l'Optique que j'ai antérieurement développée dans divers mémoires et articles, et dont ma thèse de doctorat donnait un premier exposé d'ensemble.
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En premier lieu, j'admets et je suppose connue toute la théorie de la Relativité tant sous sa forme primitive dite aujourd'hui « spéciale» que sous la forme généralisée. J'ai fait en particulier un usage constant de la Dynamique relativiste, et je suppose ses formules fondamentales bien présentes à l'esprit du lecteur. J'ai employé souvent le calcul tensoriel et la convention de sommation des indices ; toutefois le calcul tensoriel ne tient pas ici une très grande place et j'ai évité à dessein les formules compliquées, notamment dans le chapitre sur les champs gravifiques.
Je dois signaler la manière assez particulière dont j'ai introduit dans le cours de l'exposé la fameuse « équation des ondes ». Jadis, cette équation fut déduite des propriétés des milieux élastiques, étendues à cet hypothétique éther qu'on chargeait de transmettre les vibrations lumineuses et dont les singulières propriétés n'étaient pas à tout prendre beaucoup plus étranges que celles de nos modernes atomes. Plus tard, Maxwell parut et l'équation des ondes devint une conséquence des propriétés de l'électricité condensées sous la forme compacte à laquelle est attachée le nom du grand savant anglais. De nos jours, depuis que les théoriciens ont reconnu l'importance fondamentale du « groupe de Lorentz »,une certaine tendance s'est manifestée à considérer l'équation des ondes comme une sorte de postulat plus général que les formules de l'électromagnétisme. Ce point de vue se manifeste en particulier dans la façon dont Max von Laue introduit le groupe de Lorentz, au début de son traité de Relativité. C'est à cette tendance nouvelle que j'ai sacrifié, en introduisant d'emblée dans mon premier chapitre, l'équation de propagation.
Dans le deuxième partie du livre, j'ai admis l'existence des quanta de lumière et j'ai cherché à montrer que cette idée n'était point aussi incompatible qu'on le croyait avec les conceptions anciennes. J'ai aujourd'hui, je l'avoue, une tendance à considérer, comme le font beaucoup d'expérimentateurs, que les quanta de lumière constituent une réalité expérimentale.
Enfin, dans la troisième partie, j'ai repris rapidement toute la thermodynamique statistique en admettant comme une définition, suivant le procédé d'Einstein et de Planck, la proportionnalité de l'entropie d'un état au logarithme du nombre de manières différentes dont cet état peut être réalisé.
Louis de BROGLIE, Préface

Averti des progrès les plus récents de la science, l'auteur déjà habitué à réfléchir aux nouvelles formes contemporaines de la Mécanique, a consacré la dernière partie de son livre à la Mécanique relativiste et à la Mécanique ondulatoire et quantique. Cet exposé très exactement fait en suivant de près, selon les habitudes de l'auteur, la pensée des novateurs et le texte de leurs écrits rend naturellement l'histoire de la Mécanique de M. Dugas beaucoup plus complète que toutes celles qui avaient été rédigées avant lui.
La partie centrale du livre consacrée aux développements de la Mécanique aux XVII^e, XVIII^e et XIX^e siècles a demandé à l'auteur une très grande somme de travail car la matière est immense. Ne pouvant suivre tous les détails du développement de la Mécanique au XVIII^e et surtout au XIX^e siècle, M. Dugas a choisi pour les étudier à fond certaines questions particulièrement importantes, soit en elles-mêmes, soit pat les prolongements qu'elles ont eu dans la période contemporaine. Ce choix difficile paraît avoir été fait très habilement et a permis à l'auteur, sans se perdre dans les détails, de tracer de grandes lignes marquant les routes principales suivies dans cette région par la pensée scientifique.
Louis de BROGLIE, Préface

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L'originalité du livre de M. Heisenberg tient surtout à ce qu'il a voulu insister tout particulièrement sur la signification de la Mécanique nouvelle en se tenant aussi près que possible de l'expérience. Sa préoccupation essentielle, après nous avoir rappelé pourquoi les résultats expérimentaux ne peuvent être interprétés qu'en faisant appel d'une façon simultanée et en quelque sorte complémentaire aux notions d'onde et de corpuscule, est de nous montrer comment ces conceptions presque contradictoires ne peuvent être employées en même temps que si l'on diminue leur précision primitive en les limitant pour ainsi dire l'une par l'autre. Comment la considération des ondes oblige à abandonner la précision complète dans la définition du corpuscule, c'est ce que l'auteur résumant ses célèbres travaux nous montre dans le deuxième chapitre de son livre où les relations d'incertitude sont déduites et examinées en détail. Plus curieuses encore peut-être parce que moins connues sont les considérations du troisième chapitre où nous apprenons comment la notion de corpuscule réagit à son tour sur la notion d'onde en nous amenant à imaginer une quantification du champ électromagnétique. Puis après cette critique pénétrante l'auteur nous montre au quatrième chapitre que la seule façon de concilier les ondes et les corpuscules est en somme d'ordre statistique. Enfin un dernier chapitre d'un très grand intérêt contient l'examen détaillé au point de vue de la nouvelle théorie des expériences fondamentales énumérées et décrites au chapitre premier. Ainsi, parti de l'expérience, M. Heisenberg a voulu terminer par elle, précisant bien ainsi l'orientation de son œuvre.
Louis de BROGLIE, Préface

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La nouvelle mécanique quantique est arrivée au cours de ces dernières années à une forme qui semble définitive, au moins dans ses traits les plus importants, et qu'on appelle la « théorie des transformations » ; le but de cet ouvrage est d'en donner un exposé cohérent, homogène et, autant que possible, mathématiquement rigoureux. Dans cet exposé nous insisterons surtout sur les questions de principe et sur les problèmes d'ordre général que pose l'apparition de la mécanique quantique. En particulier, nous étudierons d'un peu plus près l'interprétation physique de la théorie, qui pose une série de problèmes très ardus n'ayant pas encore reçu, pour la plupart, de solution définitivement satisfaisante ; les plus importants d'entre eux concernent les rapports entre la mécanique quantique, la statistique et la mécanique statistique classique.
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De plus cet ouvrage contient un exposé des théories mathématiques nécessaires au développement de la mécanique quantique, à savoir la théorie de l'espace de Hilbert et ses opérateurs hermitiques ; il a été indispensable d'y incorporer également l'étude détaillée des opérateurs non bornés, c'est à dire d'étendre la théorie au delà de ses frontières classiques telles que les ont tracées Hilbert et E. Hellinger, F. Riesz, E. Schmidt, O. Toeplitz. Notons, en ce qui concerne la méthode adoptée, qu'en général nous calculerons avec les opérateurs eux-mêmes (qui représentent les grandeurs physiques) et non pas avec les matrices correspondantes, lesquelles ne s'en déduisent qu'après introduction d'un système particulier de coordonnées, d'ailleurs arbitraire, dans l'espace de Hilbert considéré. Cette méthode « indépendante des coordonnées », c'est à dire invariante et de caractère nettement géométrique, présente des avantages formels considérables.
John von NEUMANN, Introduction

Malgré les énormes succès pratiques, remportés ces dernières années par la mécanique nouvelle, ou peut-être à cause même de cela, les difficultés internes de la nouvelle théorie nous apparaissent aujourd'hui beaucoup plus clairement qu'au début. Elles s'amoncellent devant nos yeux et culminent dans l'antinomie irréductible ondes-particules (images que nous sommes obligés de garder toutes les deux parce que nous ne savons pas encore comment nous en débarrasser), – ainsi que dans le contraste entre l'évolution du phénomène ondulatoire qui s'effectue d'une manière parfaitement définie, et le comportement observable des particules, qui selon toutes les apparences, n'est déterminé que statistiquement.
A cela il faut encore ajouter que jusqu'à présent nous avons à peine réussi à trouver l'équivalent quantique de la mécanique de Newton, c'est à dire l'approximation qui correspond à c = ∞. Jusqu'à l'heure actuelle le succès n'a couronné aucune des tentatives d'incorporer à la nouvelle théorie les ondes électromagnétiques (les photons), ou de tenir compte de la vitesse finie avec laquelle se propage l'interaction d'atome à atome, ou à l'intérieur d'un même atome. A mon avis, la raison de cet état de choses doit être cherchée dans l'extraordinaire difficulté qu'on rencontre lorsqu'on veut concilier l'ensemble des conceptions de la mécanique nouvelle d'une part, avec celles de la théorie de la relativité restreinte de l'autre.
Nous avons donc peut-être raison de vouloir toujours retourner à l'origine première de nos conceptions fondamentales ; car, qui sait, en effet, si pour obtenir le résultat tant désiré il ne faudra pas transformer radicalement l'édifice que nous avons construit jusqu'à présent, pour l'asseoir sur des bases entièrement nouvelles ?
Erwin SCHRÖDINGER, Avant-Propos, septembre 1932

Ce livre contient des développements de mathématiques pures, qui peuvent être lus indépendamment du reste ; cette lecture ne demande pas d'autres connaissances que celles du premier cycle des Facultés des Sciences.
Le chapitre I est un exposé des résultats essentiels de la géométrie différentielle ; nous ne donnons que les démonstrations qui servent directement à la compréhension des questions abordées ; le lecteur pourra trouver les autres dans les traités spécialisés.
Le chapitre II, consacré à la géométrie symplectique, contient, non seulement les résultats classiques de la théorie, mais aussi l'étude détaillée des théorèmes de type cohomologique mis en jeu par la notion abstraite de groupe dynamique ; ainsi que la génération réciproque de variétés symplectiques à partir des groupes de Lie.
Le § 16 (Chap. IV) est consacré à la notion de mesure sur une variété ; les démonstrations qui ne sont pas données se trouvent dans le traité de Bourbaki. Le texte est illustré d'exemples variés : convolution sur un groupe de Lie, variables aléatoires, moments, loi normale de Gauss, ensemble de Gibbs d'un groupe dynamique, photométrie classique.
Le § 18 est, lui aussi, purement mathématique ; il semble d'ailleurs que la « quantification géométrique » qui y est exposée puisse servir dans les problèmes de représentation unitaire des groupes. Nous en profitons d'ailleurs pour énoncer les définitions essentielles de cette théorie, espaces de Hilbert et C*-algèbres notamment.
Jean-Marie SOURIAU, Introduction