David HILBERT

LES FONDEMENTS

DE

 LA GÉOMÉTRIE

Grundlagen der Geometrie

Édition critique
avec introduction et compléments
préparée par Paul Rossier

Paris, Dunod
1971

Auteur :
David HILBERT

Éditeur :
Paul ROSSIER

Traduction :
Paul ROSSIER

Thèmes :
MATHÉMATIQUES
Géométrie élémentaire et moderne

Reprint 1997
16 x 24 cm
336 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-127-6


S O M M A I R E

1 - ÉTAT DU PROBLÈME DES FONDEMENTS DE LA GÉOMÉTRIE À LA FIN DU XIX^e SIÈCLE

2 - FONDEMENTS DE LA GÉOMÉTRIE
I - Les cinq groupes d'axiomes.
Les notions fondamentales de la géométrie et les cinq groupes d'axiomes.
Premier groupe d'axiomes : appartenance.
Deuxième groupe d'axiomes : ordre.
Conséquences des axiomes d'appartenance et d'ordre.
Troisième groupe d'axiomes : congruence.
Conséquences des axiomes de congruence.
Quatrième groupe d'axiomes : parallèles.
Cinquième groupe d'axiomes : continuité.
II - Compatibilité et indépendance des axiomes.
Compatibilité des axiomes.
Indépendance de l'axiome des parallèles. Géométrie non euclidienne.
Indépendance des axiomes de congruence.
Indépendance des axiomes de continuité.
III - Théorie des proportions.
Système complexe de nombres.
Démonstration du théorème de Pascal.
Le calcul segmentaire basé sur le théorème de Pascal.
Proportions et similitude.
Équations de la droite et du plan.
IV - Des aires planes.
Équidécomposabilité et équicomplémentarité des polygones.
Parallélogrammes et triangles de même base et de même hauteur.
Les aires des triangles et des polygones.
Équicomplémentarité et aire.
V - Le théorème de Desargues.
Le théorème de Desargues et sa démonstration dans le plan à l'aide de la congruence.
Impossibilité de la démonstration du théorème de Desargues dans le plan sans emploi de la congruence.
Introduction d'un calcul segmentaire basé sur le théorème de Desargues mais sans emploi de la congruence.
Propriétés commutative et associative de la nouvelle addition.
Propriété associative et les deux propriétés distributives de la nouvelle multiplication segmentaire. -
Équation de la droite.
L'ensemble des segments considéré comme système complexe de nombres.
Construction d'une géométrie de l'espace à l'aide d'un système arguésien de nombres.
Signification du théorème de Desargues.
VI - Le théorème de Pascal.
Deux théorèmes sur la possibilité de démontrer le théorème de Pascal.
Propriété commutative de la multiplication dans un système archimédien de nombres.
Propriété commutative de la multiplication dans un système non archimédien de nombres.
Démonstration des deux théorèmes relatifs à celui de Pascal. Géométrie non pascalienne.
Démonstration d'un théorème quelconque d'intersection au moyen du théorème de Pascal.
VII - Constructions géométriques basées sur les axiomes (I) à (IV).
Les constructions géométriques à la règle et à l'empan.
Critère de la possibilité d'une construction géométrique à la règle et à l'empan.

3 - APPENDICES AUX FONDEMENTS
La droite considérée comme la ligne la plus courte entre deux points.
Sur le théorème de la congruence des angles à la base du triangle isocèle.
Fondements nouveaux de la géométrie lobatchevskienne.
Sur les fondements de la géométrie.
Sur les surfaces à courbure totale constante. Courbure négative. Courbure positive.
Sur la notion de nombre.
Sur les bases de la logique et de l'arithmétique.
Sur l'infini.
Les fondements des mathématiques.
Problèmes relatifs aux fondements des mathématiques.

4 - QUELQUES TRAVAUX LIÉS AUX FONDEMENTS
Introduction.
La géométrie rationnelle de Halsted.
La classification des axiomes.
A propos du troisième degré d'appartenance.
A propos de la congruence (La liberté des déplacements. L'unicité des reports. La seconde réflexivité de la congruence des segments).
La symétrie.
Parallélisme et géométrie elliptique.
Les théorèmes de Legendre et la continuité.
A propos de la continuité. - A propos de l'intégrité.
La théorie des segments proportionnels selon Mollerup.
Les aires.
Les volumes des polyèdres.
Géométries non arguésiennes.
Indépendance des constructions de l'axiome des parallèles.
Les fondements de la géométrie selon Hjelmslev.
Les fondements de la géométrie selon Schur.