A reparaître

Charles-Jean de LA VALLÉE POUSSIN

COURS

D'ANALYSE INFINITÉSIMALE

TOME I
Troisième édition
1914
(contient la théorie de l'intégrale de Lebesgue)

TOME II
Deuxième édition
1912
(contient la théorie des intégrales multiples de Lebesgue)

Louvain, A. Uystpruyst-Dieudonné
Paris, Gauthier-Villars
 

La plupart des exemplaires du Tome I, 3^e édition ont disparu dans les flammes en août 1914.
Un volume réchappé du désastre en a permis la réimpression.
 

Auteur :
Charles-Jean de LA VALLÉE POUSSIN

Thème :
MATHÉMATIQUES
Analyse

Reprint 2003
17 x 24 cm
472 p. et 482 p.
Broché
2 volumes (non vendus séparément)
ISBN : 978-2-87647-227-3

S O M M A I R E

TOME I

Introduction
Nombres réels.
Variables réelles. Théorie des limites.
Des fonctions d'une variable réelle.
Fonctions de plusieurs variables réelles.
Fonctions élémentaires.
Nombres complexes.
Variables complexes et fonctions rationnelles d'une variable complexe.
Des ensembles en général. Leur puissance.
Ensembles de points.
Fonctions considérées dans un ensemble.
Mesures des ensembles linéaires.
Fonctions mesurables d'une variable.
Fonctions d'une variable à variation bornée. Fonctions absolument continues.

I - Dérivation des fonctions explicites d'une variable.
Dérivées et différentielles.
Propriétés de la dérivée. Nombres dérivés.
Dérivées et différentielles successives.

II - Formule de Taylor. Applications diverses.
Formules de Taylor et de Maclaurin.
Vraies valeurs des expressions indéterminées.
Maximés et minimés des fonctions d'une seule variable.
Décomposition d'une fraction rationnelle en fractions simples.

III - Fonctions explicites de plusieurs variables.
Dérivées partielles et différentielles partielles ou totales des fonctions de deux variables.
Extension à un nombre quelconque de variables.
Extension de la formule de Taylor aux fonctions de plusieurs variables.
Maximés et minimés (extrémés) libres des fonctions de plusieurs variables.

IV - Fonctions implicites. Changement de variables.
Théorèmes d'existence.
Différentiations des fonctions implicites.
Extrémés liés.
Changement de variables.

V - Intégrales indéfinies. Méthodes classiques d'intégration.
Procédés généraux d'intégration.
Intégration des fractions rationnelles.
Intégration des irrationnelles algébriques.
Intégration des fonctions transcendantes.

VI - Théorie élémentaire des intégrales définies. Intégrale de Riemann.
Intégrales définies considérées comme limites de sommes.
Relation entre les intégrales définies et indéfinies. Calcul des intégrales définies.
Intégrale de Riemann.

VII - Intégrale de Lebesgue.
Définition et propriétés de l'intégrale de Lebesgue.
Recherche des fonctions primitives.
Intégration par substitution.
Théorèmes sur la dérivée seconde généralisée. Recherche de sa fonction primitive.

VIII - Formules fondamentales de la théorie des courbes planes.
Tangente et normale aux courbes planes.
Longueur d'un arc de courbe plane. Inclinaison de la tangente.
Sens de la concavité. Points d'inflexion des courbes planes.
Courbure et développée d'une courbe plane.

IX - Formules fondamentales de la théorie des surfaces et des courbes gauches.
Tangente à une courbe. Longueur d'un arc. Plan tangent à une surface.
Plan osculateur. Courbure et torsion des courbes gauches.

X - Calcul des aires, des arcs et des volumes. Évaluation approchée des intégrales définies.
Quadrature des aires planes.
Rectification des courbes.
Courbes continues. Courbes fermées.
Courbes rectifiables et quarrables. Intégrales curvilignes.
Volume d'un solide. Aire d'une surface de révolution.
Calcul des intégrales définies par approximation.

XI - Des séries.
Généralités sur les séries à termes constants. Séries positives.
Séries numériques quelconques. Opérations sur les séries.
Séries de fonctions.
Séries potentielles.
Développement des fonctions réelles en séries potentielles. Discussion du reste.
Fonctions entières élémentaires. Exponentielles imaginaires.

TOME II

I - Théorie élémentaire des intégrales multiples.
Intégrales doubles.
Déterminants fonctionnels. Transformation des intégrales doubles.
Aire des surfaces courbes.
Formules usuelles de quadratures et de cubature. Applications.
Intégrales de surface. Volumes en coordonnées curvilignes.

II - Intégrales généralisées et fonctions d'un paramètre. Intégration des différentielles totales exactes.
Intégrales généralisées élémentaires.
Intégration et dérivation des intégrales définies par rapport à un paramètre.
Convergence uniforme des intégrales généralisées.
Calcul d'intégrales définies par des artifices divers.
Intégration des différentielles totales.
Intégrales curvilignes qui ne dépendent que de leurs limites.

III - Intégrales multiples de Riemann et de Lebesgue.
Intégrales multiples de Riemann.
Mesures des ensembles à plusieurs dimensions d'après Émile Borel et Henri Lebesgue.
Fonctions mesurables.
Intégrales multiples de Lebesgue. Fonctions sommables.
L'intégrale définie. Sa dérivée.
Réduction des intégrales doubles.
Application à l'intégration par parties, à la dérivation sous le signe et aux intégrales curvilignes.

IV - Approximation et représentation analytique des fonctions. Séries de polynômes et séries trigonométriques.
Approximation des fonctions continues d'une variable par des polynômes.
Approximation par des polynômes des fonctions continues de plusieurs variables.
Séries de Fourier. Conditions nécessaires et suffisantes de convergence.
Critériums classiques de convergence des séries de Fourier.
Exemples de développements en séries de Fourier.
Séries de Fourier quelconques. Sommation. Singularités.
Séries trigonométriques quelconques. Unicité du développement.

V - Équations différentielles ordinaires. Généralités. Équations du premier ordre.
Formation des équations différentielles.
Généralités sur les intégrales des équations différentielles. Théorèmes d'existence.
Équations du 1^er ordre et du 1^er degré. Facteur intégrant.
Équations du 1^er ordre non résolues par rapport à y'.
Applications géométriques des équations du 1^er ordre.

VI - Équations différentielles ordinaires (suite). Équations d'ordre supérieur au 1^er. Systèmes d'équations.
Équations linéaires sans second membre. Wronskien.
Équations linéaires avec second membre. Abaissement de l'ordre des équations linéaires.
Multiplicateurs des équations linéaires.
Intégration des équations linéaires à coefficients constants et sans second membre.
Intégration des équations linéaires à coefficients constants avec second membre.
Intégration par les séries de certaines équations linéaires du second ordre. Équations de Bessel et de Riccati.
Intégration ou réduction d'équations différentielles par des procédés particuliers.
Applications géométriques.
Systèmes d'équations différentielles. Systèmes linéaires

VII - Équations linéaires aux dérivées partielles et aux différentielles totales.
Formation d'équations aux dérivées partielles.
Propriétés des déterminants fonctionnels.
Équations linéaires et homogènes aux dérivées partielles.
Équations linéaires quelconques.
Intégration d'une seule équation aux différentielles totales.
Système d'équations aux différentielles totales.
Systèmes d'équations linéaires et homogènes par rapport aux dérivées partielles d'une même fonction inconnue.

VIII - Notions sur le calcul des variations et le calcul des différences.
Calcul des variations.
Calcul des différences finies.
Nombres et polynômes de Bernoulli.
Formule d'Euler et de Maclaurin. Relations entre les sommes et les intégrales.
Interpolation.

IX - Applications géométriques complémentaires.
Points singuliers des courbes planes.
Asymptotes des courbes planes.
Théorie du contact. Courbes et surfaces osculatrices.
Enveloppes des courbes planes.
Enveloppes des surfaces et des courbes de l'espace.
Systèmes de droites : surfaces réglées ; congruences.
Application aux courbes gauches. Surface polaire. Développées.
Courbures des lignes tracées sur une surface.