Joseph-Louis LAGRANGE

ŒUVRES

publiées par les soins de Joseph-Alfred Serret
sous les auspices de M. le Ministre de l'Instruction Publique

Tome IX

THÉORIE

DES

FONCTIONS ANALYTIQUES

contenant les principes du calcul différentiel,
dégagés de toute considération d'infiniment petits,
d'évanouissants, de limites et de fluxions,
et réduits à l'analyse algébrique des quantités finies

Quatrième édition
réimprimée d'après la deuxième édition de 1813  

Paris, Gauthier-Villars
1881
 

Auteur :
Joseph Louis LAGRANGE

Éditeur :
Joseph-Alfred SERRET

Série :
Lagrange - Œuvres

Thèmes :
MATHÉMATIQUES
Analyse

Reprint 2007
17 x 24 cm
374 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-243-3

S O M M A I R E

Première Partie
EXPOSITION DE LA THÉORIE, AVEC SES PRINCIPAUX USAGES DANS L'ANALYSE

I - Développement en série d'une fonction d'une variable, lorsqu'on attribue un accroissement à cette variable. Formation successive des termes de la série. Théorème important sur la nature de ces séries.

II - Fonctions dérivées; leur notation et leur algorithme.

III - Fonctions dérivées des puissances, des quantités exponentielles et logarithmiques, des sinus, cosinus, et des expressions composées de ces fonctions simples. Équations dérivées.

IV - Digression sur la manière de déduire les séries qui expriment les exponentielles, les logarithmes, les sinus, cosinus et les arcs de simples considérations algébriques.

V - Du développement des fonctions lorsqu'on donne à la variable une valeur déterminée. Cas dans lesquels la règle générale est en défaut. Des valeurs des fractions dont le numérateur et le dénominateur s'évanouissent en même temps. Des cas singuliers où le développement de la fonction ne procède pas suivant les puissances positives et entières de l'accroissement de la variable.

VI - Résolution générale des fonctions en séries. Développement des fonctions en séries terminées et composées d'autant de termes qu'on voudra. Moyen d'exprimer les restes depuis un terme quelconque proposé. Théorème nouveau sur ces séries.

VII - Des équations dérivées et de leur usage dans l'Analyse pour la transformation des fonctions. Théorie générale de ces équations et des constantes arbitraires qui y entrent.

VIII - Où l'on examine les cas simples dans lesquels on peut passer des fonctions ou des équations dérivées du premier ordre aux fonctions ou aux équations primitives. Des équations linéaires des différents ordres, et de celles qu'on peut rendre linéaires.

IX - Des valeurs singulières qui ne sont pas comprises dans les équations primitives complètes. Des équations primitives singulières.

X - De l'emploi des fonctions dérivées dans l'Analyse, et de la détermination des constantes arbitraires. Application à la sommation des suites et à la résolution des équations du troisième degré.

XI - Où l'on donne l'équation primitive d'une équation du premier ordre, dans laquelle les variables sont séparées, mais où l'on ne peut point obtenir directement les fonctions primitives de chacun des deux membres. Propriétés remarquables des ces fonctions primitives.

XII - Du développement des fonctions de deux variables. De leur fonctions dérivées. Notation de ces fonctions et conditions auxquelles elles doivent satisfaire. Loi générale qui règne entre les termes du développement d'une fonction de plusieurs variables et ceux qui résultent du développement de ces termes eux-mêmes.

XIII - Où l'on donne la manière de développer les fonctions d'un nombre quelconque de variables en séries terminées et composées d'autant de termes qu'on voudra, et d'avoir la valeur des restes.

XIV - Des équations dérivées d'une équation entre trois variables. Des fonctions arbitraires qui entrent dans les équations primitives complètes entre trois variables.

XV - Formule remarquable pour le développement en série d'une fonction quelconque de l'inconnue z de l'équation z = x+y f(z)

XVI - Méthode générale pour trouver l'équation primitive d'un équation du premier ordre entre plusieurs variables, lorsque les fonctions dérivées sont linéaires, et pour trouver l'équation primitive d'une équation quelconque du premier ordre entre trois variables.

Seconde Partie
APPLICATION DE LA THÉORIE DES FONCTIONS A LA GÉOMÉTRIE

I - Des différentes manières dont on a considéré les tangentes. Théorie des tangentes et des contacts de différents ordres, d'après les principes de la Géométrie ancienne.

II - Des lignes droites tangentes, des cercles tangents et du lieu de leurs centres. Des cercles osculateurs et du lieu de leurs centres. Analyse générale du contact des courbes planes. Du contact dans les cas singuliers, et des lignes asymptotes.

III - Problèmes directs et inverses sur le contact des courbes. Analyse des cas où l'on propose une relation entre les deux éléments du contact du premier ordre. De la courbe représentée par l'équation primitive singulière d'une équation du premier ordre.

IV - Des contacts du second ordre. Théorie et construction des équations primitives singulières dans les ordres supérieurs. Exemple contenant la théorie analytique des développées.

V - Des plus grandes et des moindres valeurs des fonctions d'une variable.

VI - De la mesure des aires, et de la longueur des arcs dans les courbes planes. De la mesure des solidités et de celle des surfaces des conoïdes. Principe général de la solution analytique de ces questions.

VII - Théorie du contact des courbes à double courbure. Du rayon osculateur, des centres de courbure et du lieu de ces centres. Des développées des courbes à double courbure. Quadrature et rectification de ces courbes.

VIII - Des surfaces courbes et de leurs plans tangents. Théorie du contact des surfaces courbes. Des contacts des différents ordres.

IX - Des sphères osculatrices. Des lignes de la plus grande et de moindre courbure. Propriétés de ces lignes.

X - Solution de ces questions dans lesquelles on propose une relation entre les éléments du contact du premier ordre des surfaces courbes. Construction de cette solution. Equation des surfaces développables.

XI - Des plus grandes et des moindres ordonnées des surfaces courbes. Solution générale des questions de maximis et minimis. Manière de distinguer les maxima des minima dans les fonctions de plusieurs variables.

XII - Des questions de maximis et minimis qui se rapportent à la méthode des variations. De l'équation commune au maximum et au minimum, et des caractères propres à distinguer les maxima des minima.

XIII - Extension de la méthode précédente aux fonctions d'un nombre quelconque de variables. Problème de la brachistochrone. Caractères pour distinguer si une fonction proposée est ou non une fonction prime, ou en général une fonction dérivée d'un certain ordre.

XIV - De la mesure des solidités et des surfaces des corps de figure donnée.

Troisième Partie
APPLICATION DE LA THÉORIE DES FONCTIONS A LA MÉCANIQUE

I - De l'objet de la Mécanique. Du mouvement uniforme et du mouvement uniformément accéléré. Du mouvement rectiligne en général. Relation entre l'espace, la vitesse, et la force accélératrice.

II - De la composition des mouvements, et en particulier de celle de trois mouvements uniformes. De la composition et décomposition des vitesses et des forces. De la trajectoire des projectiles dans le vide.

III - Du mouvement curviligne. Des vitesses et des forces dans ce mouvement. Équations générales du mouvement d'un corps sollicité par des forces quelconques. De la manière d'éliminer le temps dans ces équations pour trouver la courbe décrite par le corps.

IV - De la question où il s'agit de trouver la résistance que le milieu doit opposer pour que le projectile décrive une courbe donnée. Analyse de la solution que Newton a donné de ce problème dans la première édition de ses Principes. Source de l'erreur de cette solution. Distinction entre la méthode des séries et celle des fonctions dérivées, ou du Calcul différentiel.

V - Du mouvement d'un corps sur une surface donnée, ou assujetti à certaines conditions. Du mouvement de plusieurs corps liés entre eux. Des équations de condition entre les coordonnées de ces différents corps, et de la manière d'en déduire les forces qui résultent de leur action mutuelle. Démonstration générale du principe des vitesses virtuelles.

VI - De la loi du mouvement du centre de gravité. De la loi des aires dans la rotation autour d'un axe fixe, ou d'un seul point fixe, ou autour du centre de gravité dans les systèmes libres.

VII - De la loi des forces vives dans le mouvement d'un système animé par des forces accélératrices quelconques. De la conservation des forces vives dans le choc des corps élastiques. De la perte de ces forces dans le choc des corps durs, ou en général dans les changements brusques que le système peut éprouver. De la somme des forces vives dans les situations d'équilibre. Remarques générales sur l'économie de ces forces dans les machines.

NOTE
Théorie des fonctions analytiques, par J.-A. SERRET