DEMARTRES : Cours de géométrie infinitésimale, 1913


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DEMARTRES : Cours de géométrie infinitésimale, 1913

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Gustave DEMARTRES

COURS

DE

GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE

Paris, Gauthier-Villars
1913

Auteur :
Gustave DEMARTRES

Thème :
MATHÉMATIQUES
Géométrie analytique et différentielle

Reprint 2015
17 x 24 cm
474 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-324-9




S O M M A I R E
 
Première Partie
GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE.

Infiniment petits en géométrie.
- Infiniments petits. Méthode infinitésimale.
- Distance de deux points infiniment voisins sur une courbe. Tangente. Longueur d'un arc. Arc indéfini.
- Angle de deux directions infiniment voisines.
- Application : construction de la normale à la trajectoire d'un point dont on connaît la loi des distances normales à des courbes ou a des surfaces fixées données.

I - Courbure des lignes planes.
- Étude de la courbe dans le voisinage d'un point donné.
- Courbure en un point. Cercle de courbure.
- Cercle osculateur. Identité avec le cercle de courbure.
- Construction géométrique du cercle de courbure. Application aux coniques définies de diverses manières. Courbes en coordonnées bipolaires.

II - Théorie du contact. Courbes enveloppes.
- Ordre de contact de deux lignes planes.
- Courbes osculatrices.
- Propriétés d'un arc infiniment petit.
- Courbes enveloppes. Développées et développantes.

III - Application de la théorie à l'étude des courbes particulières.
- Tractrice. Chaînette. Tangente. Courbure. Rectificatrion et quadrature.
- Cycloïde. Tangente. Courbure. Rectification et quadrature.
- Epicycloïdes. Leur double génération. Tangente. Normale développée. Rectification et quadrature. Équation de l'épicycloïde. Épicycloïdes particulières.
- Courbes en coordonnées polaires. Les spirales. Spirale équiangle.
- Courbes en coordonnées bipokaires. Courbes aplanétiques. Ovale de Descartes. Caustiques.

IV - Cinématique du plan.
- Déplacement fini d'une courbe plane.
- Mouvement continu à un paramètre. Centre instantané. Roulettes. Construction de la normale. Applications.
- Centre de courbure de la courbe enveloppée par une ligne invariable entraînée dans le mouvement du plan mobile. Roulette ponctuelle ou tangentielle. Cercle des inflexions. Cercle des centres.
- Applications.

V - Courbes gauches. Courbure et torsion.
- Courbes sphériques. Courbure sphérique. Cercle de courbure d'une ligne sphérique.
- Courbure des courbes gauches. Normale principale. Plan rectifiant. Cercle de courbure.
- Plan osculateur : ses diverses définitions. Cercle osculateur.
- Binormale. Torsion. Relations entre les deux indicatrices sphériques d'une courbe gauche.
- Sphère osculatrice. Cas où son rayon reste constant. Torsion sphérique d'une courbe gauche.
- Étude d'une courbe gauche dans le voisinage d'un point. Figure formée par un arc infiniment petit, sa corde et les tangentes à ses deux extrêmités. Distance d'un point au plan osculateur infiniment voisin. Distance de deux tangentes infiniment voisines.
- Application à l'hélice. Courbure et torsion. Théorèmes de Bertrand et de Puiseux.
- Contact de deux lignes à double courbure. Condition géométrique d' un contact d'ordre n. Contact d'une courbe et d'une surface.

VI - Propriétés générales des lignes à double courbure.
- Quelques propriétés des surfaces réglées. Surfaces gauches. Distribution des normales le long d'une génératrice. Théorème de Chasles. Ligne de striction. Surfaces conjuguées.
- Surfaces développables. Enveloppe d'un plan mobile. Lignes tracées sur une développable. Développement de la surface. Lignes géodésiques. Courbure géodésique.
- Application à la théorie des courbes gauches. Surface rectifiante. Surface gauche des normales principales : les courbes de Bertrand.
- Enveloppe des plans normaux. Surface polaire. Développées. Développement de la surface polaire.

VII - Lignes tracées sur une surface.
- Disposition de la surface par rapport à son plan tangent. Forme de la surface en un point. Courbure des sections normales. Théorèmes d'Euler et de Dupin.
- Tangentes conjuguées. Lignes asymptotiques. Lignes de courbure. Théorème d'Olinde Rodrigues.
- Courbure des lignes tracées sur une surface. Courbure normale. Théorème de Meusnier. Courbure tangentielle. Lignes géodésiques.
NOTE : Surface définie par une propriété de ses lignes asymptotiques.

Deuxième Partie
THÉORIE ANALYTIQUE DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

VIII - Courbes planes.
- Coordonnées rectangles. Tangente. Normale. Formules de quadrature et de rectification. Courbure. Développées.
- Courbe plane considérée comme enveloppe de ses tangentes. Équation intrinsèque d'une courbe plane.
- Formules relatives aux coordonnées polaires.

IX - Courbes planes particulières. Cinématique du plan.
- Chaînette. Tractrice.
- Ellipse. Courbure. Développée. Rectification de l'ellipse. Points associés. Théorème de Fagnano.
- Cycloïde. Épicycloïdes.
- Mouvement d'un point mobile sur un plan fixe. Roulettes ponctuelles. Roulettes tangentielles.

X - Courbes à double courbure.
- Tangente et plan normal. Arc indéfini.
- Normale principale et plan rectifiant. Courbure.
- Binormale et plan osculateur. Torsion.
- Formules de Serret-Frenet. Calcul direct de la courbure et de la torsion.

XI - Propriétés générales.
- Développement des coordonnées en séries ordonnées suivant les puissances croissantes de l'arc.
- Quelques infiniment petits. Cercle osculateur. Sphère osculatrice.
- Expression des neuf cosinus en fonction de l'arc.
- Enveloppe de chacune des faces du trièdre. Surface rectifiante. Surface polaire.
- Mouvement des arêtes. Surface des tangentes, des normales principales et des binormales.

XII - Théorie des contacts.
- Ordre de contact de deux courbes. Conditions analytiques ; courbes osculatrices.
- Conditions géométriques d'un contact d'ordre n.
- Autre forme de condition de contact : interprétation géométrique.
- Contact d'une courbe et d'une surface ; plan osculateur, sphère osculatrice. Courbe gauche définie par l'ensemble de ses plans osculateurs.
- Contact de deux surfaces.

XIII - Application de la théorie générale. Courbes particulières.
- Hélices cylindriques. Hélices circulaires. Hélicoïde gauche.
- Hélices coniques. Hélice cylindroconique.
- Courbes à courbure constante.
- Courbes de Bertrande.

XIV - Surfaces développables. Développées des courbes gauches.
- Surfaces développables. Condition pour qu'une droite mobile reste tangente à une courbe.
- Directrices du déplacement à un paramètre. Courbes de distance nulle. Développables isotropes.
- Lignes tracées sur une surface développable. Courbure tangentielle.
- Développement de la surface. Lignes géodésiques, courbure géodésique.
- Développées et développantes. Détermination analytique des développées d'une ligne à double courbure.

Troisième Partie
THÉORIE DES COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE.

XV - Étude de la surface autour d'un point.
- Définitions et notations. Normale, plan tangent. Disposition de la surface par rapport au plan tangent. Directions asymptotiques, directions principales.
- Courbure des sections normales. Indicatrice de Dupin.
- Mouvement de la normale. Formules diverses. Théorème de Rodrigues.
- Détermination de l'indicatrice. Directions conjuguées. Directions asymptotiques et principales. Courbures principales. Ombilics.
- Application aux surfaces de second ordre. Surfaces applicables sur le plan.
- Ordre de contact de deux surfaces.

XVI - Courbure normale. Courbure géodésique. Torsion géodésique.
- Théorème de Meusnier.
- Courbures relatives. Courbure normale ; courbure géodésique.
- Torsion géodésique.
- Tableau des formules fondamentales.

XVII - Systèmes conjugués. Lignes asymptotiques. Lignes de courbure.
- Coordonnées curvilignes ; systèmes conjugués. Coordonnées tangentielles.
- Lignes asymptotiques. Cas des surfaces de révolution ; surfaces réglées.
- Lignes de courbure. Conservation des lignes de courbure par l'inversion. Représentation sphérique de Gauss. Théorème de Joachimsthal. Surfaces moulures.
- Équation des lignes de courbure. Application à l'ellipsoïde.
- Systèmes triplement orthogonaux. Théorème de Dupin. Systèmes de quadriques homofocales.
- Courbures principales. Détermination analytique des courbures principales. Application à l'hélicoïde gauche.
- Développée d'une surface. Congruences de droites ; congruences de normales.
NOTE : Systèmes de cercles orthogonaux dans le plan et sur la sphère.

XVIII - Surfaces enveloppes.
- Enveloppe d'un ensemble de surfaces. cas d'un seul paramètre. Caractéristique, arête de rebroussement. Cas de deux paramètres. Enveloppes de courbes.
- Enveloppes de sphères à un paramètre. Cyclide de Dupin. Surface canal.
- Enveloppes de sphères à deux paramètres. Surfaces cerclées.

XIX - Géométrie cinématique.
- Formules générales de déplacement à un paramètre.
- Surfaces réglées. Distribution des normales le long d'une génératrice. Ligne de striction. Surfaces conjuguées.
- Étude des lignes tracées sur une surface réglée : ligne de striction, lignes asymptotiques, lignes géodésiques.
- Lignes de courbure d'une surface réglée. Courbures principales. Détermination d'une surface réglée d'après une propriété des lignes de courbure ou des courbures principales.
- Application de la méthode cinématique aux surfaces cerclées.

Quatrième Partie
COORDONNÉES CURVILIGNES SUR UNE SURFACE.

XX - Courbure tangentielle en coordonnées curvilignes.
- Formules générales. Courbure d'une ligne quelconque. Courbure tangentielle.
- Courbure tangentielle d'une ligne coordonnée ; d'une ligne quelconque.
- Surfaces applicables ; éléments géodésiques.
- Coordonnées orthogonales. Problèmes des isopérimètres. Coordonnées isométriques.
- Courbure des lignes d'un réseau isométrique. Systèmes de cercles géodésiques orthogonaux.

XXI - Lignes géodésiques. Courbure géodésique.
- Ligne la plus courte entre deux points. Équation des lignes géodésiques.
- Propriétés des lignes géodésiques. Tangente géodésique. Développées et développantes géodésiques.
- Courbure géodésique. Identité de la courbure géodésique et de la courbure tangentielle.
- Intégration de l'équation des lignes géodésiques ; cas où les coordonnées forment un système de Liouville. Applications : lignes géodésiques d'une surface de révolution ; lignes géodésiques du plan en coordonnées elliptiques. Intégration de l'équation d'Euler.
- Courbes parallèles. Coniques géodésiques. Méthode d'intégration de Jacobi.

XXII - Propriétés générales. Courbure totale.
- Coordonnées orthogonales : formule de réduction.
- Théorème de Gauss. Formule de Lamé.
- Courbure totale.
- Expressions diverses de la courbure totale.
- Surfaces qui admettent deux familles de courbes parallèles formées de cercles géodésiques.

XXIII - Surface rapportée à ses lignes de courbure.
- Relations entre les courbures principales et les coefficients du ds2. Cas des surfaces isothermiques.
- Théorème de Lamé.
- Courbure des lignes asymptotiques.
- Courbure géodésique des lignes de courbure.
- Transformation normale infiniment petite. Surface d'aire minima.
- Équation du second ordre commune aux lignes de courbure et aux lignes géodésiques (Joachimsthal).

XXIV - Application de la théorie générale aux surfaces du second ordre.
- Relations entre deux quadriques homothétiques ou homofocales, infiniment voisines. Théorèmes de J. Bertrant.
- Propriétés communes aux lignes géodésiques et aux lignes de courbure. Propriétés spéciales aux lignes de courbure.
- Emploi des coordonnées elliptiques. Intégrale première de l'équation des lignes géodésiques.
- Propriétés des lignes géodésiques.
- Lignes de courbure. Propriétés des ombilics.
- Analogie du système formé par les lignes de courbure d'une quadrique avec un système de coniques homofocales. Réseaux harmoniques sur une surface quelconque.

Exercices proposés.

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