Entre ces domaines des mathématiques, profondément étrangers l'un à l'autre : d'une part l'Analyse classique, où les fonctions sont continues et dérivables autant que les démonstrations d'énoncés visant à la généralité l'exigent, et où les champs décrits par les variables sont des régions continues limitées par des frontières régulières ; d'autre part les théories d'Analyse générale et de Topologie moderne, où les espaces sont des collections d'éléments quelconques, parfois totalement dissociés, soumis à des conditions de nature arbitraire, entre ces deux mondes d'idées sans contacts mutuels, une transition manque à l'étudiant : celle de la théorie des fonctions de variables réelles et celle des ensembles ponctuels où ces fonctions prennent leurs caractères.
Les notions toutes descriptives, crées par Cantor pour distinguer des espèces remarquables parmi les ensembles, fermés, parfaits, réductibles, denses, etc., concernaient dans l'esprit de l'auteur uniquement les espaces cartésiens, et même originairement linéaires. Les notions de puissance, de transfini, s'illustraient grâce à ces ensembles ponctuels. Toute la fécondité de ces conceptions se révéla quand Borel, Baire et Lebesgue, le second exclusivement topologue comme Cantor, les deux autres surtout intéressés à la métrique, créèrent la théorie des fonctions discontinues des variables réelles. Les magnifiques écoles polonaise et moscovite fouillèrent ensuite profondément le même terrain.
Il faut avoir pénétré l'esprit des méthodes propres au réel et connaître les principaux résultats acquis dans cet ordre si l'on veut non seulement disposer des ressources de figuration nécessaires à la pleine intelligence de la Topologie abstraite, mais simplement étudier avec fruit les singularités présentées par les fonctions analytiques ou par les intégrales des équations aux dérivées partielles, aux limites où les solutions cessent d'exister.
Il m'a souvent été rapporté que, pour acquérir cette expérience, la lecture de mon Mémoire de jadis Sur la dérivation et son calcul inverse avait servi de fructueux exercices. Ce travail fut publié en quatre parties, successivement parues dans des périodiques différents.
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Bien que, dans mon exposé, j'ai repris à pied d'œuvre tout ce qui, vers 1914, pouvait être ignoré d'un étudiant de licence, le recours aux Leçons sur les fonctions discontinues de Baire, et aux Leçons sur l'intégration de Lebesgue, maintes fois citées, ne sera pas inutile. Enfin, le présent mémoire trouve son prolongement naturel dans mes Leçons sur le calcul des coefficients d'une série trigonométrique.
Arnaud DENJOY, Avertissement