La plus grande partie du présent travail est un exposé d'ensemble des résultats obtenus par l'auteur, de 1934 à 1939, sur les processus additifs et sur le mouvement brownien, et de quelques résultats plus récents. Mais il nous a paru utile de faire précéder cet exposé par une étude générale sommaire des processus stochastiques, qui, grâce aux travaux de A. Khintchine, J. Kampé de Fériet, H. Cramér, M. Loève, A. Blanc-Lapierre et R. Fortet, a fait de grands progrès depuis quelques années.
Paul LÉVY, Introduction

On sait que le calcul des probabilités repose essentiellement sur un théorème unique, la loi des grands nombres. On peut dire que la théorie a pour seul objet de démontrer ce théorème, et quelques autres qui s'y rattachent. Les problèmes relatifs aux jeux de cartes, qui tiennent souvent une grande place dans les traités de calcul des probabilités, n'ont d'intérêt que comme exemples simples permettant de faire comprendre la portée des principes. Mais dès qu'ils deviennent plus compliqués, ce sont des exercices d'analyse combinatoire plutôt que de calcul des probabilités.
Pour établir la loi des grands nombres, ou plutôt pour établir les quelques résultats qui la complètent et la précisent, et mettent en évidence le rôle de la loi de Gauss dans la théorie des erreurs, on peut ne pas chercher à faire une théorie mathématique précise et se contenter de raisonnements de bon sens. C'est ce qu'ont fait MM. Borel et Deltheil dans leur petit livre publié dans la collection Armand Colin, et il n'y a rien à ajouter à ce qu'ils ont dit. Mais pour le mathématicien, cela ne saurait suffire. Il faut justifier les principes fondamentaux de la théorie des erreurs en précisant convenablement la notion intuitive d'erreur accidentelle et en en déduisant par un raisonnement rigoureux que l'erreur accidentelle obéit à la loi de Gauss, M. Borel estime que ce résultat ne justifie pas l'appareil mathématique nécessaire pour y parvenir.
Le lecteur verra que cet appareil mathématique n'est pas aussi imposant qu'on le croit généralement. On arrive très simplement au résultat, en utilisant la notion de fonction caractéristique. J'ai indiqué cette méthode dès 1920 dans mon cours de l'École Polytechnique. Constatant qu'elle semblait peu connue, et que son utilisation systématique conduisait à des résultats nouveaux, j'ai, en 1922 et 1923, présenté à l'Académie des Sciences quelques notes sur ce sujet. Grande a été ma surprise en apprenant par une lettre de M. G. Polya, écrite à la suite de la première de ces notes, que cette méthode et quelques-uns des résultats que je croyais nouveaux avaient été développés dans des notes présentées par Cauchy à l'Académie des Sciences en 1853 ; il est même possible que tous les résultats de Cauchy n'aient pas été publiés ; l'Académie des Sciences trouvait en effet que l'illustre savant mettait trop peu de discrétion à remplir les Comptes rendus de ses découvertes. Quoi qu'il en soit, il est singulier que quelques notes du plus grand mathématicien de l'époque, relatives à un problème qui a fait l'objet de tant de recherches, n'aient pas attiré l'attention. Poincaré, dans la deuxième édition de son Calcul des Probabilités, indique en quelques lignes le principe de la méthode de Cauchy ; il semble d'ailleurs qu'il ait ignoré qu'elle était de Cauchy et il est à peu près certain qu'il n'en a pas vu toute la portée. Aucun des ouvrages publiés depuis n'indique cette méthode, qui semble avoir été ignorée même par les rédacteurs de l'Encyclopédie des Sciences Mathématiques. Aussi, ai-je pensé qu'un nouveau livre, consacré en grande partie au développement systématique de cette méthode, ne ferait pas double emploi avec les précédents.
Paul LÉVY, Préface