Le présent ouvrage développe les leçons que les deux auteurs ont professées au cours de plusieurs années aux Universités de Szeged et de Budapest sous les titres "Fonctions réelles", "Équations intégrales", "Espace de Hilbert", etc. Le premier manuscrit a été achevé en 1948, mais des difficultés techniques en ayant retardé l'impression on y a ajouté dans l'entre-temps quelques paragraphes traitant des résultats les plus récents.
La première partie, sur les théories modernes de la dérivation et de l'intégration, sert d'introduction à la seconde, qui traite des équations intégrales et des fonctionnelles et transformations linéaires. Cette division en deux parties correspond d'ailleurs à la division du travail entre les deux auteurs : Quoiqu'ils aient travaillé ensemble, la première partie a été rédigée principalement par le premier, et la seconde par le second auteur.
Les deux parties forment une unité organique et se groupent autour de l'idée d'opération linéaire. C'est cette idée qui se reflète aussi dans la méthode selon laquelle on édifie la théorie de l'intégrale de Lebesgue ; cette méthode, qui nous paraît plus simple et plus claire que celle fondée sur la mesure, a été utilisée par le premier auteur dans ses cours depuis plus d'une vingtaine d'années, sans être publiée sous sa forme définitive.
La première partie commence par une démonstration directe du théorème de Lebesgue sur la dérivation des fonctions monotones, et on l'applique en particulier à l"étude des relations entre dérivées et intégrales des fonctions d'intervalle. On édifie ensuite la théorie de l'intégrale de Lebesgue et l'on étudie les espaces L² et L^p et leurs fonctionnelles linéaires. L'intégrale de Stieltjes et ses généralisations sont introduites en termes d'opérations linéaires de l'espace des fonctions continues.
La seconde partie commence par un chapitre sur les équations intégrales, dont la théorie a préparé la voie à la théorie générale des transformations linéaires. On expose plusieurs méthodes pour arriver à l'alternative de Fredholm et on les applique dans le chapitre suivant aux équations fonctionnelles complètement continues, de type général, de l'espace de Hilbert ou d'un espace de Banach. Les transformations linéaires complètement continues symétriques sont étudiées dans un chapitre séparé.
On développe ensuite la théorie spectrale des transformations auto-adjointes, bornées et non bornées, de l'espace de Hilbert. On envisage aussi le problème des prolongements des transformations symétriques non bornées. Un chapitre particulier est consacré aux fonctions des transformations auto-adjointes, ainsi qu'à l'étude du spectre et de ses perturbations. Le théorème de Stone sur les groupes de transformations unitaires et des théorèmes voisins, ainsi que certains théorèmes ergodiques, font l'objet d'un autre chapitre.
Le dernier chapitre jette un coup d'œil sur les débuts, encore fragmentaires, de la théorie spectrale des transformations linéaires non nécessairement normales ; on trouve ici la méthode reposant sur le calcul des résidus, ainsi qu'une étude des résultats tout récents de John von Neumann sur les ensembles spectraux.
Frédéric RIESZ et Béla SZ.-NAGY, Avant-Propos