Stefan BANACH

THÉORIE
DES
OPÉRATIONS LINÉAIRES

Warszawa, Monografje Matematyczne
1932

AUTEUR :
Stefan BANACH

THÈME :
Topologie. Mesure. Intégration

Reprint 1993
24,5 x 18 cm, oblong
136 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-148-1

 

S O M M A I R E

A. L'intégrale de Lebesgue-Stieltjes.
- Quelques théorèmes de la théorie de l'intégrale de Lebesgue.
- Quelques inégalités pour les fonctions à p-ième puissance sommable.
- La convergence asymptotique.
- La convergence en moyenne.
- L'intégrale de Stieltjes.
- Le théorème de Lebesgue.

B. Ensembles et opérations mesurables (B) dans les espaces métriques.
- Espaces métriques.
- Ensembles dans les espaces métriques.
- Opérations dans les espaces métriques.

I - Groupes.
- Définition des espaces du type (G).
- Propriétés des sous-groupes.
- Opérations additives et linéaires.
- Un théorème sur la condensation des singularités.

II - Espaces vectoriels généraux.
- Définition et propriétés élémentaires des espaces vectoriels.
- Extension des fonctionnelles additives et homogènes.
- Applications: généralisation des notions d'intégrales, de mesure et de limite.

III - Espaces du type (F).
- Définition et préliminaires.
- Opérations homogènes.
- Séries d'éléments. Inversion des opérations linéaires.
- Fonctions continues sans dérivée.
- La continuité des solutions des équations différentielles aux dérivées partielles.
- Systèmes d'équations linéaires à une infinité d'inconnues.

IV - Espaces normés.
- Définitions des espaces vectoriels normés et des espaces du type (B).
- Propriétés des opérations linéaires. Extension des fonctionnelles linéaires.
- Ensembles fondamentaux et ensembles totaux d'éléments.
- Forme générale des fonctionnelles linéaires.
- Suites fermées et complètes.
- Approximation des fonctions par des combinaisons linéaires de fonctions.
- Le problème des moments.
- Conditions pour l'existence des solutions de certains systèmes d'équations à une infinité d'inconnues.

V - Espaces du type (B).
- Opérations linéaires dans les espaces du type (B).
- Principe de condensation des singularités.
- Espaces du type (B) compacts.
- Espaces du type (B) formés de fonctions mesurables.
- Exemples des opérations linéaires dans quelques espaces particuliers du type (B).
- Quelques théorèmes sur les méthodes de sommation.

VI - Opérations totalement continues et associées.
- Opérations totalement continues.
- Exemples des opérations totalement continues dans quelques espaces particuliers.
- Opérations conjuguées (associées).
- Applications. Exemples des opérations conjuguées dans quelques espaces particuliers.

VII - Suites biorthogonales.
- Définition et propriétés générales.
- Suites biorthogonales dans quelques espaces particuliers.
- Bases dans les espaces du type (B).
- Quelques applications à la théorie des développements orthogonaux.

VIII - Fonctionnelles linéaires dans les espaces du type (B).
- Préliminaires.
- Ensembles régulièrement fermés de fonctionnelles linéaires.
- Ensembles transfiniment fermés de fonctionnelles linéaires.
- Convergence faible des fonctionnelles linéaires.
- Ensembles faiblement fermés de fonctionnelles linéaires dans les espaces du type (B) séparables.
- Conditions pour la convergence faible des fonctionnelles linéaires.
- Compacticité faible d'ensembles bornés dans certains espaces.
- Fonctionnelles linéaires faiblement continues définies dans les espaces des fonctionnelles linéaires.

IX - Suites faiblement convergentes d'éléments.
- Définition. Conditions pour la convergence faible des suites d'éléments.
- Relation entre la convergence faible et forte.
- Espaces faiblement complets.
- Un théorème sur la convergence faible d'éléments.

X - Equations fonctionnelles linéaires.
- Relations entre les opérations linéaires et les opérations conjuguées avec elles.
- La théorie de Riesz des équations linéaires totalement continues.
- Valeurs régulières et valeurs propres dans les équations linéaires.
- Théorèmes de Fredholm dans la théorie des équations linéaires totalement continues.
- Équations intégrales de Fredholm.
- Équations intégrales de Volterra.
- Équations intégrales symétriques.

XI - Isométrie, équivalence, isomorphie.
- Isométrie.
- Transformations isométriques des espaces vectoriels normés.
- Espace des fonctions réelles continues.
- Rotations.
- Isomorphie et équivalence.
- Produits des espaces du type (B).
- Espace (C) comme l'espace universel.
- Espaces conjugués.

XII - Dimension linéaire.
- Définitions.
- Dimension linéaire.

Annexe - Convergence faible dans les espaces de type (B).
- Les dérivées faibles des ensembles de fonctionnelles linéaires.
- Convergence faible des éléments.