Joseph BERTRAND

TRAITÉ DE CALCUL DIFFÉRENTIEL

ET DE CALCUL INTÉGRAL

vol. I
Calcul différentiel
Paris, Gauthier-Villars
1864

vol. II
Calcul intégral
Intégrales définies et indéfinies
Paris, Gauthier-Villars
1870

Auteur :
Joseph BERTRAND

Thèmes :
Analyse
Géométrie analytique et différentielle

Reprint 2007
21x 27 cm
844 p. et 746 p.
Broché
2 volumes (non vendus séparément)
ISBN : 978-2-87647-290-7



SOMMAIRE

Vol. I : CALCUL DIFFÉRENTIEL

ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

I - Infiniment petits des différents ordre, leur usage en géométrie.
- Définitions
- Substitution des infiniments petits
- Emploi des infiniments petits dans la solution de quelques problèmes
- Détermination de la tangente à quelques courbes
- Détermination de quelques plans tangents - Longueur de quelques arcs de courbe
- Exercices.

II - Dérivées et différentielles du premier ordre.
- Définition de la dérivée
- Dérivées des fonctions simples
- Dérivées des fonctions inverses
- Dérivées des fonctions de fonctions
- Dérivée d'un produit
- Dérivée d'un quotient
- Dérivée d'une puissance
- Dérivée de uv
- Quelques applications
- Emploi des dérivées pour l'étude des fonctions
- Ordre de grandeur d'une dérivée infiniment petite
- Différentielle d'une fonction d'une seule variable
- Dérivées partielles des fonctions de plusieurs variables
- Différentielle d'une fonction de plusieurs variables
- Dérivées des fonctions composées
- Dérivées des fonctions implicites
- Exercices.

III - Déterminant d'un système de fonctions.
- Définition des déterminants
- Définition du déterminant d'un système de fonctions
- Cas où le déterminant est nul
- Déterminant d'un système de fonctions de fonctions
- Déterminant d'un système de fonctions inverses
- Réduction du déterminant à un monôme
- Exercices.

IV - Théorie analytique des tangentes et des plans tangents.
- Équations de la tangente et de la normale à une courbe plane
- Détermination de quelques tangentes
- Remarque relative aux problèmes précédents
- Tangentes aux courbes rapportées aux coordonnées polaires
- Tangentes aux courbes à double courbure
- Courbes tracées sur une sphère
- Équation du plan tangent à une surface
- Équations de la normale
- Détermination de quelques plans tangents
- Courbes et surfaces enveloppes
- Application à quelques exemples
- Exercices.

V - Différentielles de quelques fonctions définies géométriquement.
- Différentielle d'une aire plane
- Différentielle d'un arc de courbe
- Différentielle d'un arc de courbe dans un système de coordonnées curvilignes
- Exercices.

VI - Dérivées et différentielles d'ordre supérieur au premier.
- Définition des dérivées d'ordre supérieur
- Définition des différentielles d'ordre supérieur
- Détermination des dérivées successives d'une fonction
- Valeur numérique de quelques dérivées lorsque l'on suppose la variable nulle
- Dérivées et différentielles d'ordre supérieur pour les fonctions de plusieurs variables indépendantes. Notation adoptée
- Possibilité d'intervertir les différentiations
- Différentielles des divers ordres pour les fonctions de plusieurs variables
- Dérivées d'ordre supérieur des fonctions implicites
- Exercices.

VII - Changements de variables.
- Influence de la variable indépendante sur les différentielles d'ordre supérieur au premier
- Changement de la variable indépendante
- Changement simultané de toutes les variables
- Cas de plusieurs variables indépendantes
- Cas où l'on change la fonction
- Quelques exemples
- Exercices.

VIII - Formation des équations différentielles.
- Définition des équations différentielles
- Élimination des constantes
- Élimination des constantes dans un équation qui contient plusieurs variables indépendantes
- Élimination des fonctions arbitraires
- Équations aux dérivées partielles des diverses classes de surfaces
- Introduction remarquable d'une équation différentielle dans un problème d'arithmétique
- Équations différentielles totales
- Exercices.

DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

I - Étude générale des séries.
- Définitions
- Quelques exemples de séries
- Nécessité de la convergence des séries dont on fait usage
- Théorèmes relatifs à la convergence des séries à termes positifs
- Règle de Gauss
- Méthode de Kummer
- Séries dont les termes sont alternativement positifs et négatifs
- Séries imaginaires
- Transformation d'Euler
- Méthode de Stirling
- Méthode de Kummer
- Séries ordonnées suivant les puissances d'une variable
- Continuité des séries
- Multiplication de deux séries
- Exercices.

II - Théorème de Taylor.
- Démonstration de Taylor
- Expression du reste de la série
- Seconde forme du reste
- Troisième forme du reste
- Accroissement infiniment petit d'une fonction
- Remarque sur la série de Taylor
- Formule de Maclaurin
- Quelques développements en série
- Quelques applications du théorème de Taylor
- Exercices.

III - Quelques développements en série.
- Série de Bernoulli
- Formule de Lagrange
- Seconde démonstration de la formule de Lagrange
- Applications de la formule de Lagrange
- Série de Burmann
- Série d'Abel
- Méthode des coefficients indéterminés
- Théorie des fonctions génératrices
- Sur une notation symbolique
- Digression sur les nombres de Bernoulli
- Digression sur les fonctions nommées par Legendre Xn
- Exercices.

IV - Fonctions d'une variable imaginaire.
- Définition d'une fonction imaginaire
- Définition de quelques fonctions simples
- Sur les fonctions qui sont mal déterminées
- Développement en série des fonctions imaginaires
- Développement d'une primitive de 1/(1+z)
- Développement de (1+z)n
- Quelques développements en série déduits de la considération des fonctions imaginaires
- Exercices.

V - Développement d'une fonction de plusieurs variables.
- Extension du théorème de Taylor à une fonction de deux variables
- Expression symbolique du théorème de Taylor
- Extension de la formule de Lagrange aux fonctions de deux variables
- Démonstration de Jacobi.

VI - Développements en produits d'un nombre infini de facteurs.
- Condition de convergence des produits infinis
- Expression de quelques fonctions sous forme de produits infinis
- Expression de quelques autres fonctions
- Quelques séries déduites des formules précédentes
- Formule de Wallis
- Exercices.

VII - Développements en fractions continues.
- Définition des fractions continues
- Transformation d'une série en fraction continue
- Expression d'une fonction sous forme de fraction continue
- Exercices.

VIII - Théorie des résidus.
- Détermination d'un résidu
- Notations de Cauchy
- Théorèmes relatifs aux résidus
- Somme des résidus d'une fonction rationnelle
- Changement de la variable indépendante
- Quelques applications de la théorie des résidus
- Calcul des fonction symétriques
- Exercices.

IX - Etude des expressions dont la forme est indéterminée et théorie des points singuliers.
- Fractions qui se présentent sous la forme 0/0
- Fractions qui se présentent sous la forme ∞/∞
- Autres formes indéterminées
- Quelques exemples
- Théorie des points singuliers. Définitions
- Caractère analytique des points singuliers
- Points singuliers des surfaces
- Exercices.

X - Théorie des maxima et minima.
- Maxima et minima des fonctions d'une seule variable
- Solution géométrique de quelques problèmes
- Maxima et minima des fonctions de deux variables
- Fonctions d'un plus grand nombre de variables
- Maxima et minima des fonction implicites
- Recherche de l'expression, de forme donnée, qui, entre certaines limites, s'écarte le moins possible d'une fonction donnée
- Exercices.

APPLICATIONS GEOMETRIQUES

I - Courbure des lignes planes.
- Sens de la courbure
- Définition de la courbure et du rayon de courbure
- Expression du rayon de courbure
- Le cercle de courbure traverse la courbe
- Diverses expressions du rayon de courbure
- Application à quelques exemples
- Détermination géométriques de quelques rayons de courbure
- Courbure des lignes orthogonales
- Expression approchée de quelques grandeurs infiniment petites
- Différence des tangentes menées aux extrémités d'un arc et terminées à leur point de rencontre
- Théorie des développées
- Quelques exemples de développées
- Contacts de différents ordres. Définition de l'ordre du contact
- Courbes osculatrices
- Cercle osculateur
- Exercices.

II - Courbure des lignes tracées sur une sphère.
- Définition de la courbure géodésique
- Courbure d'un petit cercle
- Cercle de courbure
- Pôle du cercle de courbure
- Diverses expressions de la courbure géodésique d'une ligne sphérique
- Théorie des développées sphériques
- Courbure des trajectoires orthogonales sur la sphère
- Exercices.

III - Plan osculateur d'une courbe à double courbure.
- Définition du plan osculateur
- Surface enveloppe des plans osculateurs
- Equation du plan osculateur.

IV - Les deux courbures d'une courbe, le cercle osculateur et la sphère osculatrice.
- Définition de la courbure
- Définition de la seconde courbure - Rapport des deux courbures
- Cercle de la courbure
- Cercle osculateur
- Calcul du rayon de courbure
- Normale principale
- Expression de la seconde courbure
- Formules de Serret
- Axe du plan osculateur
- Surface lieu des normales principales
- Sphère osculatrice
- Détermination de la sphère osculatrice
- Détermination de quelques grandeurs infiniment petites
- Définition de la développée
- Surface lieu des développées
- Équation des développées
- Exercices.

V - Théorie de la courbure des surfaces.
- Courbure des sections normales
- Courbure d'une section oblique
- Courbure d'une ligne à double courbure
- Ligne minima sur une surface quelconque
- Formules plus générales relatives à des axes de coordonnées quelconques
- Démonstration géométrique des théorème précédents. Indicatrice
- Loi de la courbure des sections normales
- Courbure d'une section oblique
- Tangentes conjuguées
- Exercices.

VI - Étude des normales à une même surface.
- Il n'existe pas, en général, de surface normale aux droites d'un faisceau
- Condition nécessaire pour que la surface existe
- Exercices.

VII - Théorie des lignes de courbure.
- Définition des lignes de courbure
- Équation différentielle des lignes de courbure
- Surface tangente aux normales d'une surface donnée
- Ligne de courbure commune à deux surfaces
- Surfaces orthogonales
- Détermination des lignes de courbure de quelques cas simples.

VIII - Étude des lignes tracées sur une surface.
- Lignes géodésiques
- Courbure géodésique
- Courbure totale d'une portion de surface
- Mesure de la courbure
- Théorie du développement des surfaces
- Condition pour que deux surfaces soient applicables l'une sur l'autre
- Courbure des trajectoires orthogonales sur une surface quelconque.

Table Analytique


Vol. II : CALCUL INTÉGRAL

INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES

I - Diverses méthodes pour l'intégration des différentielles.
- Définitions
- Intégrales que l'on obtient immédiatement
- Différentes méthodes d'intégration
- Quelques sommations réduites à des intégrales
- Sur les fonctions hyperboliques.

II - Intégration des fractions rationnelles.
- Simplification de la méthode dans des cas particuliers.

III - Intégration des différentielles algébriques irrationnelles.
- Différentielles qui contiennent (ax+b)1/q
- Cas où la différentielle contient la racine carrée de a+bx+cx²
- Simplification de la méthode précédente
- Différentielles binômes
- Quelques intégrales auxquelles ne s'appliquent pas les méthodes précédentes
- Réduction des intégrales elliptiques
- Quelques intégrales qui se ramènent aux fonctions elliptiques.

IV - Intégration des fonctions trigonométriques et exponentielles.

V - Sur l'impossibilité de certaines intégrations.
- Théorème d'Abel
- Intégrales exprimables par les fonctions algébriques et logarithmiques.

VI - Calcul direct des intégrales définies.
- Passage de l'intégrale indéfinie à l'intégrale définie
- Valeur principale d'une intégrale
- Calcul direct de quelques intégrales définies
- Simplification de quelques formules de réduction.

VII - Emploi des séries dans le calcul des intégrales définies.
- Quelques développements en séries connues
- Formule générale de Poisson
- Formule d'Abel
- Formule de Jacobi
- Formule de Kummer.

VIII - Différentiation et intégration sous le signe intégral.
- Différentiation sous le signe intégral. Variation finie d'un paramètre
- Intégration sous le signe intégral
- Cas remarquable d'exception
- Intégrales déduites de la différentiation sous le signe intégral
- Intégrales définies déduites de l'intégration sous le signe intégral
- Exemple remarquable de discontinuité.

IX - Quelques intégrales définies obtenues par des méthodes diverses.
- Formule de Frullani
- Théorème de Cauchy
- Formule de Fourier.

X - Théorie des intégrales Eulériennes.
- Définition de la fonction Γ (n)
- Quelques propriétés de la fonction Γ
- Valeur approchée de Γ (n) lorsque n est très grand
- Expression de Γ (n) sous forme de produit infini
- Calcul numérique de la fonction Γ
- Théorème de Bernoulli
- Intégrales Eulériennes de première espèce
- Calcul numérique des intégrales Eulériennes
- Table des logarithmes de Γ (a)
- Application de la Table.

XI - Intégrales prises entre des limites imaginaires.
- Définitions
- Variation brusque d'une intégrale imaginaire
- Détermination de quelques intégrales définies
- Nombre des racines d'une équation dans l'intérieur d'un contour donné
- Intégrales des fonctions susceptibles de plusieurs valeurs
- Système de représentation de Riemann.

XII - Calcul numérique de la valeur approchée d'une intégrale définie.
- Méthode des trapèzes
- Méthode d'interpolation de Cotes
- Formule de Simpson
- Méthode de Gauss
- Formule d'Euler.

APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

I - Évaluation des aires planes et des arcs de courbe.
- Expression d'une aire plane
- Quelques applications
- Théorème de Steiner
- Théorème de Holditch
- Longueur d'un arc de courbe
- Théorème de Steiner
- Longueur totale d'une courbe fermée
- Théorème de Pascal
- Théorème de Jacques Bernoulli
- Théorème de Fagnano
- Théorème de Chasles
- Méthode de Talbot.

II - Évaluation des surfaces courbes.
- Surfaces de révolution
- Évaluation d'une surface quelconque
- Emploi des coordonnées curvilignes
- Emploi des coordonnées sphériques pour une surface quelconque
- Introduction des rayons de courbure dans l'expression de la surface
- Théorème de Gauss.

III - Détermination des volumes.
- Décomposition en cylindres infiniments petits
- Emploi d'une double intégration
- Emploi des coordonnées polaires
- Emploi d'un système quelconque de coordonnées
- Introduction de l'élément de surface dans l'évaluation des volumes.

IV - Calcul de l'attraction des corps solides.
- Loi générale de l'attraction
- Expression des composantes de l'attraction
- Solide de plus grande attraction
- Attraction d'une sphère
- Attraction d'un ellipsoïde homogène
- Définition du potentiel
- Propriétés du potentiel
- Surfaces de niveau
- Théorie des images de Thomson
- Démonstration directe du théorème précédent.

V - Théorie des intégrales multiples.
- Définition d'une intégrale multiple
- Formule de Poisson
- Réduction par l'augmentation du nombre des intégrations
- Méthode de Dirichlet
- Changement de variables dans les intégrales multiples
- Différentiation et intégration sous le signe intégral
- Théorème de Georges Green
- Théorème de Crofton.

VI - Calcul inverse des intégrales définies.
- Indétermination du problème
- Transformation d'une série numérique en intégrale définie
- Transformation de la fonction X_n en intégrale définie
- Solution d'un problème plus général
- Expression des racines d'une équation
- Fonctions génératrices d'Abel
- Solution de quelques problèmes.

VII - Quelques développements en série.
- Théorème de Taylor
- Théorème de Laurent
- Quelques propriétés des fonctions bien définies
- Série de Lagrange
- Séries trigonométriques
- Digression sur les fonctions nommées Y_n
- Développement d'une fonction de deux variables
- Développement d'une fonction d'une seule variable.

VIII. Intégrabilité des fonctions différentielles.
- Intégration des différentielles qui contiennent plusieurs variables indépendantes.

THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES

I. Théorèmes relatifs à l'addition des intégrales.

II. Double périodicité des fonctions elliptiques.

III. Multiplication et division de l'argument.

IV. Expression des fonctions sous forme de produits.

V. Fonctiond H (x) et θ (x) de Jacobi.

VI. Transformation des fonctions elliptiques.

VII. Calculs numériques

Tables des fonctions elliptiques.

Table analytique.