Émile BOREL

LEÇONS

SUR LES

SÉRIES DIVERGENTES

2^e édition

Revue et entièrement remaniée
avec le concours de Georges Bouligand

Paris, Gauthier-Villars
1928

Auteur :
Émile BOREL

Collaborateur :
Georges BOULIGAND

Thème : 
MATHÉMATIQUES
Analyse

Reprint 1988
16 x 24 cm
270 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-009-5


SOMMAIRE

Historique et généralités.
- Les séries divergentes avant Abel et Cauchy.
- Les travaux de  Cauchy.
- Les séries divergentes depuis Cauchy.

I - Les séries asymptotiques.
- Cauchy et la série de Stirling.
- La théorie de Henri Poincaré.
- Extension au champ complexe.
- Applications aux équations différentielles.

II - Les fractions continues et la théorie de Stieltjes.
- La conversion des séries divergentes en fractions continues.
- Le Mémoire de Stieltjes.
- La généralisation de la théorie de Stieltjes.

III - La théorie des séries sommables.
- Quelques remarques préliminaires.
- Incursion dans la théorie des séries trigonométriques.
- Méthodes basées sur les moyennes : sommations de Cesàro et de Hölder.
- Étude comparée de diverses méthodes de sommation par moyennes.
- La méthode de sommation exponentielle.
- Application aux équations différentielles.

IV - Les séries sommables et le prolongement analytique.
- Le polygone de sommabilité.
- Les généralisations simples de la méthode exponentielle.
- La recherche des points singuliers.

V - Les développements en séries de polynomes.
- Le théorème de Mittag-Leffler.
- L'emploi de l'intégrale de Cauchy.
- Les développements de Mittag-Leffler et la théorie générale des séries divergentes.
- Conclusions.

VI - Le développement moderne de la théorie des séries divergentes.
- Le principe des facteurs de convergence.
- Les séries de Dirichlet et la méthode de Marcel Riesz.
- Les séries de facultés, l'intégrale de Laplace-Abel et la sommation exponentielle.
- Les fonctions quasi-analytiques et les séries divergentes.

Notes.
- Sur l'efficacité comparée des méthodes de sommation par moyennes au point de vue du prolongement analytique.
- Note de Georges Bouligand.
- Exercices et résultats divers par Georges Bouligand.