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Élie CARTAN

LEÇONS

SUR LA

GÉOMÉTRIE DES ESPACES

DE RIEMANN

Deuxième édition, revue et augmentée

Paris, Gauthier-Villars
1946

Auteur :
Élie CARTAN

Cours de la Sorbonne

Thème :
MATHÉMATIQUE
Géométrie analytique et différentielle

Reprint 2008
17 x 24 cm
394 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-008-8


SOMMAIRE

I - Coordonnées cartésiennes ; Vecteurs, Multivecteurs, Tenseurs.
- Vecteurs ; coordonnées cartésiennes.
- Bivecteurs, systèmes de bivecteurs.
- Trivecteurs.
- Multivecteurs.
- Multivecteurs supplémentaires.
- Multivecteurs glissants ou appliqués.
- Application au mouvement d'un corps solide ayant un point fixe.
- Tenseurs. Algèbre tensorielle.

II - Les coordonnées curvilignes en Géométrie euclidienne.
- L'élément linéaire de l'espace en coordonnées cartésiennes.
- Le théorème fondamental de la Géométrie métrique.
- La reconstruction locale de l'espace d'après son élément linéaire.
- La différentiation absolue. Applications cinématiques. Les équations de Lagrange.
- Analyse tensorielle.
- Les conditions nécessaires auxquelles satisfait l'élément linéaire de l'espace euclidien.
- Les éléments linéaires euclidiens.

III - Les espaces de Riemann localement euclidiens.
- Notion de variété.
- Les espaces de Riemann localement euclidiens.
- Les espaces de Riemann normaux localement euclidiens.
- Le groupe d'holonomie d'un espace de Riemann normal localement euclidien.
- Le polyèdre fondamental.
- Détermination de tous les espaces de Riemann normaux localement euclidiens.
- Les espaces normaux localement euclidiens à deux dimensions.
- Les espaces de Riemann normaux localement euclidiens et la Géométrie élémentaire.

IV - Espaces de Riemann et espaces euclidiens tangents et osculateurs.
- Espace euclidien tangent en un point.
- Espace euclidien osculateur.
- Espace euclidien de raccordement le long d'une ligne.
- Application à la théorie des surfaces dans l'espace ordinaire.

V - Surfaces géodésiques ; l'axiome du plan et l'axiome de libre mobilité.
- Surfaces géodésiques en un point ; théorème de Severi.
- Surfaces totalement géodésiques ; plans.
- L'axiome du plan et l'axiome de libre mobilité de l'espace.

VI - Géométries non euclidiennes. Espace sphérique. Espace elliptique. Espace hyperbolique.
- La Géométrie sphérique à deux dimensions.
- La Géométrie elliptique à deux dimensions.
- La Géométrie hyperbolique à deux dimensions.
- Représentation conforme des Géométries sphériques et hyperboliques.
- Le groupe des déplacements des Géométries non euclidiennes.
- Les espaces non euclidiens à trois dimensions : représentation projective.
- Les espaces non euclidiens à trois dimensions : représentation conforme.
- Les espaces de Riemann normaux localement sphériques ou hyperboliques.
- Les espaces de Riemann à trois dimensions satisfaisant à l'axiome du plan.

VII - La courbure riemannienne.
- Le déplacement associé à un cycle.
- Le tenseur de Riemann-Christoffel.
- La courbure riemannienne des espaces à deux dimensions.
- La courbure riemannienne des espaces à trois dimensions.
- La courbure riemannienne des espaces à plus de trois dimensions. Les espaces à courbure riemannienne constante.
- Le tenseur de courbure contracté. Directions principales.

VIII - Les identités de Bianchi.
- Les formes différentielles extérieures.
- Les formes différentielles tensorielles.
- Les identités de Bianchi.
- Le théorème de Poincaré dans les espaces de Riemann.
- Les courbures vectorielles et leur première représentation.
- Les courbures vectorielles et leur seconde représentation.
- Le théorème de F. Schur.

IX - La méthode du repère mobile. Variétés plongées dans un espace riemannien.
- Généralités.
- Compléments à la théorie des surfaces plongées dans un espace de Riemann à trois dimensions.
- Lignes de courbure et lignes asymptotiques d'une variété plongée dans un espace de Riemann.
- Les espaces de Riemann qui satisfont à l'axiome du plan.

X - Les coordonnées normales de Riemann.
- Les coordonnées normales.
- Les équations différentielles fondamentales.
- Le ds² des espaces à courbure constante exprimé en coordonnées normales.
- Propriétés de la forme fondamentale en coordonnées normales.
- Comparaison des distances dans l'espace de Riemann et dans l'espace euclidien normal osculateur.
- Le parallélogrammoïde de Levi-Civita.
- Triangles géodésiques.
- Cercles, sphères, hypersphères.

XI - Symétrie et transport parallèle. Espaces symétriques.
- La symétrie et le transport parallèle.
- Les espaces de Riemann symétriques.
- Déplacements rigides d'un espace symétrique.
- Espaces symétriques irréductibles.

XII - Groupes de déplacements rigides dans un espace de Riemann.
- Généralités.
- Groupes transitifs et intransitifs ; trajectoires.
- Repères adaptés à un groupe de déplacements.
- Les espaces riemanniens admettant un groupe de déplacements simplement transitif.
- Les coordonnées canoniques dans un espace admettant un groupe de déplacements simplement transitif.
- Coordonnées canoniques et coordonnées normales.
- Parallélisme isogonal attaché à un groupe simplement transitif de déplacements.
- Les espaces riemanniens admettant un groupe de déplacements multiplement transitif.
- Les espaces à trois dimensions admettant un groupe de déplacements multiplement transitif.
- Les groupes de déplacements intransitifs généraux.
- Les groupes de déplacements dont les trajectoires sont des lignes ou des surfaces.

XIII - Espaces riemanniens applicables. Déplacements rigides d'un espace donné.
- Espaces riemanniens applicables.
- Un problème d'Analyse.
- Le problème général de l'application des espaces de Riemann.
- Le plus grand groupe de déplacements d'un espace riemannien donné.
- Les équations de Killing.

Notes.
1 - Sur l'axiome du plan et les géométries cayleyennes.
2 - Sur la courbure riemannienne linéaire.
3 - Sur les espaces normaux à courbure riemannienne négative ou nulle.
4 - Les géodésiques des espaces de Riemann normaux.
5 - Les systèmes de Pfaff complètement intégrables.