NEWTON : Arithmétique universelle, t. I et II, 1802

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Isaac NEWTON

ARITHMÉTIQUE

UNIVERSELLE

(ARITHMETICA UNIVERSALIS)

Traduite du latin en français
avec des Notes explicatives par Noël Beaudeux

Tomes I et II

Paris, Bernard
An X - 1802

 

Auteur :
Isaac NEWTON

Traduction et Notes :
Noël BEAUDEUX

Thèmes :
HISTOIRE DES SCIENCES
MATHÉMATIQUES
Problèmes
Théorie des nombres
Algèbre
Géométrie élémentaire et moderne

Reprint 2008
17 x 24 cm
332 p., 264 p., 14 planches
Broché
2 volumes (non vendus séparément)
ISBN : 978-2-87647-315-7

 

S O M M A I R E

TOME I

- Discours préliminaire.
- Notation. Signification de quelques termes. Emploi des signes.
- De l'addition.
- De la soustraction.
- De la multiplication.
- De l'extraction des racines.
- De la réduction des fractions et des quantités radicales.
- De la manière de trouver les diviseurs.
- De la réduction des fractions à un dénominateur commun.
- De la réduction des radicaux à leurs moindres termes.
- De la réduction des radicaux à la même dénomination.
- De la réduction des radicaux à leurs expressions radicales les plus simples pour l'extraction des racines.
- De la forme de l'équation.
- De la manière de réduire une équation unique.
- Méthode pour réduire deux ou un plus grand nombre d'équations à une seule, afin d'en éliminer les inconnues.
- De l'élimination d'une inconnue par l'égalité de ses valeurs.
- De l'élimination d'une inconnue par la substitution de sa valeur.
- De l'élimination d'une inconnue qui est de plusieurs dimensions dans chaque équation.

Méthode pour mettre une question en équation.
Problème Ier. La somme de deux nombres égale a ; la différence de leurs carrés est b : on demande quels sont ces deux nombres ?
Problème II. On a trois quantités x, y, z. On connaît les sommes de ces quantités prises deux à deux, on demande la valeur de chacune en particulier ?
Problème III. Il s'agit de partager un nombre donné en parties telles, que chacune des plus grandes surpasse la plus petite d'une quantité donnée.
Problème IV. Un homme veut distribuer de l'argent entre des pauvres. S'il avait huit deniers de plus, il pourrait en donner trois à chacun ; il ne leur en donne que deux, et il lui en reste trois. On demande le nombre de pauvres ?
Problème V. Deux messagers A et B sont éloignés l'un de l'autre de 59 milles ; ils partent le matin pour aller à leur rencontre mutuelle. A fait 7 milles en deux heures, et B en fait 8 en trois heures, mais A est parti une heure avant B. On demande combien A fera de milles avant de rencontrer B ?
Le même problème d'une manière plus générale.
Problème VI. Étant donné la puissance d'un agent quelconque, trouver combien il faudrait d'agents de cette espèce pour produire, dans un temps donné b un effet demandé a.
Problème VII. Les forces de plusieurs agents étant données, déterminer le temps x dans lequel, toutes ensemble, elles peuvent produire un effet demandé d.
Problème VIII. On a différents mélanges de plusieurs substances, on veut en former un nouveau, de manière que ces différentes substances s'y trouvent dans une proportion donnée.
Problème IX. On connaît les prix de différents mélanges et les proportions de chacune des choses qui les composent ; il s'agit de déterminer le prix de chacune de ces choses composantes en particulier.
Problème X. Connaissant la pesanteur spécifique d'un composé, et celle de chacun de ses composants, déterminer dans quelle proportion ces derniers s'y trouvent.
Problème XI. On a trois prés d'une qualité égale, et dans lesquels on suppose que l'herbe croît uniformément. Le premier b peut nourrir un nombre de bœufs a pendant le temps c ; le second e peut nourrir un nombre de bœufs d pendant le temps f ; on demande combien le troisième g peut en nourrir pendant le temps h ?
Problème XII. Étant données les grandeurs et les quantités de mouvement respectives de deux corps sphériques qui se meuvent sur la même ligne droite et se choquent ; déterminer leur quantité de mouvement respective après le choc.
Problème XIII. Trouver trois nombres en proportion continue, dont la somme soit 20, et dont la somme des carrés soit 140.
Le même problème d'une autre manière.
Problème XIV. On veut trouver quatre nombres en proportion continue, dont la somme des deux moyens fasse 12, et celle des deux extrêmes 20.
Problème XV. Trouver quatre nombres en proportion continue, dont la somme soit a, et la somme des carrés b.
Problème XVI. Une pension d'une somme a chaque année, doit être payée pendant cinq ans ; quelqu'un achète cette pension pour une somme c d'argent. On demande à combien pour cent se monte, dans ce marché, l'intérêt des intérêts de chaque année ?
De la manière de mettre les questions de géométrie en équation.
Problème Ier. Étant donnée une droite BC d'une longueur connue, sur les extrémités de laquelle deux autre droites BA, CA font des angles donnés ABC, ACB, trouver la hauteur AD du point de concours A, au-dessus de la droite donnée BC.
Problème II. Si les côtés AB, AC et la base BC d'un triangle quelconque ABC sont donnés, et qu'une perpendiculaire AD soit abaissée du sommet de l'angle A sur la base, on demande de trouver les deux segments BD et DC.
Problème III. Étant donnés le périmètre et la surface d'un triangle rectangle ABC, trouver son hypoténuse BC.
Problème IV. Étant donnés le périmètre et la hauteur d'un triangle rectangle, trouver ce triangle.
Problème V. Étant données la base AB d'un triangle rectangle, ainsi que la somme faite de la perpendiculaire et des côtés CA + CB + CD, trouver le triangle.
Le même d'une autre manière.
Construction géométrique.
Problème VI. Étant donnés dans un triangle rectangle ABC, la somme des côtés AC + BC, et la perpendiculaire CD, trouver le triangle.
Construction géométrique.
Le même d'une autre manière.
Problème VII. Étant donnés dans un triangle rectangle, la somme des côtés, et la somme faite de la perpendiculaire et de la base, trouver le triangle.
Construction géométrique.
Problème VIII. Étant donnés la surface, le périmètre et un angle A d'un triangle quelconque ABC, déterminer tout le reste.
Problème IX. Étant donnés la hauteur, la base et la somme des côtés, trouver le triangle.
Problème X. Étant donnés la base AB, la somme des côtés AC + BC, et l'angle C, trouver le reste du triangle.
Problème XI. Étant donnés les côtés d'un triangle, trouver les angles.
Problème XII. Les côtés et la base d'un triangle rectiligne quelconque étant donnés, trouver des segments de la base, la perpendiculaire, la surface et les angles.
Problème XIII. L'angle CBD étant donné, ainsi que la droite CD, il s'agit de placer cette droite dans l'angle CBD, de manière que si de son extrémité D on tire en un point A donné sur la droite CB prolongée, la droite DA, l'angle ADC soit égal à l'angle ABD.
Problème XIV. Trouver le triangle ABC dont les trois côtés AB, AC, BC, et la perpendiculaire CD sont en progression arithmétique.
Problème XV. Trouver le triangle ABC dont les trois côtés AB, AC, BC et la perpendiculaire CD sont en progression géométrique.
Le même d'une autre manière.
Problème XVI. Sur une base donnée, construire le triangle ABC, dont le sommet C est à une droite CE donnée de position, et dont la base est moyenne proportionnelle arithmétique entre les côtés.
Problème XVII. Étant donnés les côtés AB, BD, DC et AC, et une diagonale BC d'un parallélogramme quelconque, trouver l'autre diagonale AD.
Problème XVIII. Étant donnés les angles, la surface et le périmètre d'un trapèze ABCD, trouver ses côtés.
Problèmez XIX. On veut entourer un réservoir ABCD, d'un trottoir ABCDEFGH, d'une surface donnée, et ayant partout la même largeur.
Problème XX. Mener d'un point donné C, une droite CF qui renferme, avec deux autres droites AE, AF données de position, un triangle AEF d'une grandeur donnée.
Problème XXI. Déterminer sur la droite DF un point C, tel que si de ce point on mène deux droites AC et BC aux points donnés A et B, la différence de ces deux droites soit égale à une ligne donnée.
Problème XXII. Trois droites AD, AE, BF, étant données de position, il en faut mener une quatrième DF, de manière que ses parties DE, EF, interceptées par les premières droites, soient de longueurs données.
Problème XXIII. Il faut déterminer un point Z tel que, si de ce point on mène, sous des angles donnés, quatre droites ZA, ZB, ZC et ZD, à quatre droites données de position FA, EB, FC, GD, le rectangle des deux droites ZA et ZB soit donné ; et que la somme des deux autres droites ZC et ZD soit aussi donnée.
Problème XXIV. Il faut placer dans l'angle droit EAF une droite donnée EF de manière que cette droite prolongée passe par un point donné C, également éloigné des deux droites qui comprennent l'angle droit.
Le même d'une autre manière.
Problème XXV. Un cercle étant décrit d'un centre C avec un rayon CD, mener à ce cercle une tangente BD, de manière que la partie DB de cette tangente interceptée par les droites AP et AB données de position; soit égale à une droite d'une longueur donnée.
Problème XXVI. Étant données trois droites AE, BF, CF, trouver un point D tel que, si de ce point on abaisse sur chacune des droites des perpendiculaires DA, DB, DC, ces perpendiculaires soient entre elles dans un rapport donné.
Problème XXVII. Trouver un point D, tel que si de ce point on tire trois droites DA, DB, DC, à trois points donnés A, B, C, ces droites soient entre elles dans un rapport donné.
Problème XXVIII. On veut inscrire une droite DC, d'une longueur donnée, dans une section conique donnée DAC, de manière que cette droite passe par le point G donné de position.
Problème XXIX. Il faut multiplier ou diviser un angle donné par un nombre donné.
Problème XXX. Une comète ayant une marche uniforme sur une ligne droite BD, déterminer la position de sa route par trois observations.
Problème XXXI. Étant donné un point lumineux d'où partent des rayons divergents qui viennent frapper une surface sphérique réfringente, trouver le point de concours de chaque rayon réfracté avec l'axe de la sphère qui passe par le point lumineux.
Problème XXXII. Un cône étant coupé par un plan quelconque, trouver la figure de la section.
Problème XXXIII. Si une droite XY, éloignée de l'axe AB de la quantité CD, et ayant une inclinaison connue sur le plan DCB, fait une révolution autour de l'axe AB, et que le solide PQRVTS qu'elle engendrera par cette révolution, soit coupé par un plan quelconque INQLK ; on demande quelle sera la figure de la section ?
Problème XXXIV. Si on élève sur une droite AF une perpendiculaire AD d'une longueur donnée, et qu'une jambe ED de l'équerre DEF passe sans cesse par le point D, tandis que l'autre jambe EF, égale à AD, glisse sur AF, il s'agit de trouver la courbe HIC que décrira pendant ce mouvement le point C, milieu de la droite EF.
Le même d'une autre manière.
Problème XXXV. Si une droite ED, d'une longueur connue, et sous-tendant un angle donné EAD, se meut dans cet angle de manière que ses extrémités D et E touchent sans cesse les côtés AD et AE de l'angle ; on demande de déterminer l'espèce de courbe FCG que décrit le point C de la droite DE pendant ce mouvement.
Problème XXXVI. Si une équerre EBD se meut de manière qu'une de ses jambes EB ne cesse pas d'être la sous-tendante de l'angle droit EAB, tandis que l'extrémité D de l'autre jambe BD décrit une courbe FDG ; on demande de déterminer cette courbe ?
Problème XXXVII. Les droites PD et BD dont la raison est donnée, étant menées, comme on voudra, dans l'angle connu PAB, avec la condition que BD soit toujours parallèle à AP, et que PD se termine toujours au point P donné de position sur la droite AP ; on demande de trouver le lieu du point D, intersection des deux droites.
Problème XXXVIII. Si les deux droites VE et VC données de position, sont coupées d'une manière quelconque en C et en E, par une droite PE tournant sur le point P donné de position, et si la portion interceptée CE de cette droite est coupée en deux parties CD et DE en raison donnée ; on demande de trouver le lieu du point D.
Problème XXXIX. Si de deux points donnés de position A et B, on mène à un troisième point quelconque C deux droites AC, BC qui soirnt entre elles dans un rapport donné, on demande de trouver le lieu du point de concours C.
Problème XL. Si un point lumineux A envoie des rayons vers une surface plane réfringente CD, on demande de trouver le rayon AC, dont le réfracté CB irait frapper le point B.
Problème XLI. Trouver le lieu du sommet D d'un triangle dont la base AB est donnée, et dont les deux angles DAB, DBA sur cette base, ont une différence donnée.
Problème XLII. Trouver le lieu du sommet d'un triangle dont la base est donnée, et dont les deux angles sur cette base sont tels, que l'un est plus grand que le double de l'autre.
Problème XLIII. Décrire un cercle qui passe par deux points donnés, et touche une droite donnée de position.
Problème XLIV. Décrire un cercle qui passe par un point donné, et touche deux droites données de position.
Problème XLV. Décrire un cercle qui passe par deux points donnés, et touche un autre cercle donné de position.
Problème XLVI. Décrire un cercle qui passe par un point donné, touche un cercle donné, et une droite donnée de position.
Problème XLVII. Décrire un cercle qui passe par un point donné, et touche deux autres cercles donnés de grandeur et de position.
Problème XLVIII. Si aux deus extrémités d'un fil DAE, qui peut glisser autour d'un point fixe A, on attache deux poids D et E ; que l'un des deux, par exemple E, ne puisse glisser que selon la ligne oblique BG ; on demande le lieu du poids E, lorsque ces deux poids se font équilibre.
Problème XLIX. Si au fil DACBF, qui peut glisser sur deux points fixes A et B, on suspend trois poids D, E et F ; D et F aux extrémités du fil, et E à son milieu, qui est en C entre les deux points fixes ; il s'agit, connaissant des poids et la situation des deux points fixes, de déterminer la position du point C, milieu de fil, lorsque tout le système est en équilibre.
Problème L. Déterminer la profondeur d'un puits par le son d'une pierre qui en va frapper le fond.
Problème LI. Un globe A est donné, ainsi que sa position par rapport à un mur DE ; on donne également la distance BD du centre du globe B au même mur. Le centre du globe A est sur la droite BD perpendiculaire au mur. On suppose que les deux corps sont sans pesanteur, et qu'ils se meuvent dans un milieu parfaitement libre ; enfin on suppose que la corps A, poussé d'un mouvement uniforme vers le point D, rencontre sur son chemin le corps B qui est en repos ; que le corps B va frapper le mur, et, par un mouvement de réflexion, vient rechoquer le globe A au point C. On demande, d'après toutes ces données, de déterminer la masse du globe B.
Problème LII. Deux globes A et B sont joints par un léger fil PQ. Le globe B est suspendu au globe A ; on abandonne celui-ci à l'action de la pesanteur selon la verticale PR ; le globe B, parvenu au plan horizontal FG, est réfléchi en haut, et rencontre au point D le globe A qui continuait de tomber. On demande de quelle hauteur il faut que le globe A soit tombé pour produire l'effet annoncé, en supposant que l'on connaisse la longueur du fil PQ et la distance DF du point de rencontre des deux globes au plan horizontal GF.
Problème LIII. Si on a deux globes en repos ; que le globe A soit plus élevé que le globe B ; qu'on les fasse tomber à des instants différents, par exemple, que A ait déjà parcouru l'espace PT, au moment que B commence à tomber ; on demande de déterminer les lieux α et β où se trouvent les deux globes, lorsque leur distance ωχ sera égale à une quantité donnée.
Problème LIV. Si l'on a deux globes A et B, dont le supérieur A, tombant du point G, rencontre l'inférieur B au moment qu'il remonte, après avoir été réfléchi par le fond H ; si ces deux globes, après s'être choqués, se séparent de nouveau, de manière que le globe supérieur remonte à sa première hauteur G, dans le même temps que l'inférieur est renvoyé contre le fond H ; ensuite que le globe A retombant encore, tandis que le globe B remonte après avoir été réfléchi par le fond, ces deux globes se choquent une seconde fois au même lieu que la première, et qu'ils continuent ainsi à se choquer sans cesse et à retourner toujours au même point d'où ils étaient partis ; il s'agit, connaissant la grandeur des deux globes, la position du fond, et celle du point G, d'où le globe supérieur est tombé, il s'agit, dis-je, de déterminer le lieu où les deux globes se choqueront.
Problème LV. On a planté, dans un certain lieu de la terre, aux points A, B, C, trois piquets perpendiculaires au plan horizontal : le piquet qui est en A, a six pieds ; celui qui est en B, en a dix-huit ; et celui qui est en C, huit ; la droite AB est de trente pieds ; il arrive qu'un certain jour de l'année l'extrémité de l'ombre du piquet A passe par les points B et C ; que l'extrémité de l'ombre du piquet B passe par A et C ; et que l'extrémité de l'ombre du piquet C passe par A. On demande la déclinaison du soleil, et l'élévation du pôle, ou, ce qui est la même chose, le jour et le lieu où cela est arrivé.
Problème LVI. Une comète traversant le ciel d'un mouvement uniforme et rectiligne ; il s'agit de déterminer, par quatre observations faites en différents temps, sa distance à la terre, et la loi de son mouvement d'après le système de Copernic.
Problème LVII. Si un angle donné CAD n'a que la faculté de tourner autour du point A donné de position ; que l'angle donné CBD n'ait aussi qu'un mouvement possible de rotation autour du point B donné de position ; et que les deux angles tournent en effet selon cette loi, en supposant de plus que les côtés AD, BD se coupent toujours dans une ligne droite EF donnée de position : il s'agit de déterminer la courbe que décrira la suite des intersections C des deux autres côtés AC, BC.
Problème LVIII. Décrire une parabole qui passe par quatre points donnés.
Problème LIX. Décrire une section conique qui passe par cinq points donnés.
Problème LX. Décrire une section conique qui passe par quatre points donnés, et qui, dans un de ces points, touche une ligne droite donnée de position.
Problème LXI. Décrire une section conique qui passe par trois points donnés, et qui, dans deux de ces points, touche deux droites données de position.

TOME II

- De la manière de résoudre les équations.
- De la nature des racines des équations.
- Des transformations des équations.
- Des limites des équations.
- Réduction des équations par les diviseurs incommensurables.
- Construction linéaire des équations.
- Entre deux droites données AB, AC, placer une droite BC d'une longueur donnée de manière qu'elle passe par un point donné P.
- Lemme d'Archimède.
- Scolie.
- Notes sur l'Arithmétique universelle de Newton.
- Supplément aux Notes de l'Arithmétique universelle.

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