Il est difficile de séparer complètement les domaines de l'algèbre et de l'analyse. En effet dans celle-ci la notion de limite est reine. On peut toutefois remarquer que l'analyse est consacrée aux ensembles possédant une structure très voisine de celle de R, par exemple comme les espaces vectoriels normés. Historiquement, l'analyse commença d'abord à explorer l'ensemble des nombres réels, puis des nombres complexes. Les théorèmes d'analyse sont la généralisation des résultats obtenus dans l'étude des dérivées et des intégrales, qui constituent le calcul différentiel et intégral, encore aujourd'hui l'un des monuments des mathématiques et de la science de l'ingénieur, d'une importance incomparable dans la « mathématisation » du monde actuel. Pendant tout le XIXe siècle, on a pu croire que les mathématiques tout entières deviendraient une extension de cette théorie des fonctions. Les structures de l'analyse sont à la fois algébriques et topologiques.
Si l'algèbre semble avoir remplacé l'analyse dans ce rôle primordial, il est juste de dire que l'étude des limites (ou encore des infiniments petits) reste, non seulement l'outil irremplaçable de la mathématique appliquée sous toutes ses formes, mais aussi un champ de recherches largement ouvert. Simplement doit-on faire remarquer que l'analyste moderne se place d'emblée dans des espaces beaucoup plus riches que l'espace traditionnel des réels, mais s'il obtient ainsi des résultats d'une portée théorique beaucoup plus étendue, l'esprit même de sa démarche est identique à celui d'un Legendre ou d'un Poincaré.
André WARUSFEL, Dictionnaire raisonné des Mathématiques, 1966, Éditions du Seuil
Référence: 073
En présentant, un demi-siècle après la mort d'Abel, cette nouvelle édition de ses Œuvres au public mathématique, nous osons espérer qu'elle contribuera fortement à ce que ces travaux qui ont tant guidé le mouvement mathématique de notre temps, soient étudiés dans l'original par la génération actuelle de mathématiciens. Abel a eu de grands successeurs ; mais pour qui veut continuer dans la voie frayée par lui, il sera toujours profitable de remonter à la source même : les immortelles Œuvres d'Abel. |
167,00 €
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Référence: 099
Les méthodes courantes pour l'introduction des nombres irrationnels se rattachent à deux principales : l'une repose sur la notion de coupure, l'autre sur la notion de suite convergente ; dans l'une et l'autre, une fois les nombres irrationnels introduits, on se préoccupe immédiatement de leur étendre les quatre opérations arithmétiques. Je procède différemment à cet égard : j'ajourne l'étude de ces quatre opérations, sauf la différence, à laquelle je fais une place à part, parce qu'elle joue dans toute la théorie un rôle prédominant, comme une simple réflexion le montre : la notion de différence est en effet la forme précise de la notion vague de rapprochement, de voisinage, qui domine nécessairement toute étude où il s'agit du continu ; or, le rôle des nombres irrationnels est précisement de servir à construire le continu, en comblant les lacunes que présente l'ensemble des nombres rationnels. |
13,00 €
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Référence: 290
Les cours que Bertrand a faits au Collège de France ont porté sur les sujets les plus variés. C'est là qu'il a préparé, en particulier, ce grand Traité de Calcul différentiel et de Calcul intégral ; la préface même de l'ouvrage, qui contient l'histoire de la découverte du Calcul et des débats de Leibniz et de Newton, a été lue dans une des leçons de Bertrand. |
195,00 €
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Référence: 086
Sommaire - Notions générales sur les ensembles. |
54,00 €
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Référence: 009
Étant donné l'intérêt que me paraît présenter le problème des séries divergentes et vu les polémiques ardentes qu'il a autrefois soulevées, j'ai cru devoir faire précéder d'une courts Introduction historique l'exposition des théories modernes. Cette Introduction se termine par quelques considérations générales sur les séries divergentes et par quelques indications sur le plan de ces Leçons. Depuis l'apparition de la première édition, les travaux sur les séries divergentes ont été si nombreux et si importants qu'il était nécessaire de remanier et de compléter cet ouvrage. Je dois remercier de tout cœur M. Bouligand d'avoir bien voulu m'apporter, pour cette tâche, son inappréciable concours. Grâce à lui, les lecteurs trouveront ici, non seulement les principes généraux de la théorie des séries divergentes, mais un exposé des travaux les plus récents et aussi des renseignements bibliographiques qui leur permettront de s'orienter parmi les recherches nouvelles.
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32,00 €
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Référence: 150
Mon seul but en publiant ces recueils d'exercices, est d'être réellement utile aux jeunes gens qui abordent le calcul infinitésimal. |
58,00 €
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Référence: 284
Lazare Carnot, dans ses Réflexions sur la Métaphysique du Calcul infinitésimal (ou différentiel), où il discute avec beaucoup de soin les principes de ce calcul, observe que c'est en vertu de la loi de continuité, que les quantités évanouissantes gardent encore le rapport dont elles se sont approchées par degrés, avant de s'évanouir. Cet écrit prouve que si on avait créé des mots lorsqu'il en était besoin, on aurait eu des idées plus claires. En appelant équations imparfaites, les équations différentielles, Lazare Carnot jette un grand jour sur leur théorie. En effet, lorsque l'on considère les différentielles qu'elles contiennent, comme représentant les accroissements des variables, elles n'ont lieu que d'une manière approchée ; mais leur degré d'exactitude est en quelque sorte indéfini, car il dépend de la petitesse qu'on suppose aux changements des variables ; et puisque rien ne limite cette petitesse, les équations différentielles peuvent donc être aussi près de la vérité qu'on le voudra : voilà les idées de Leibnitz traduites en Analyse. Lazare Carnot fait voir ensuite, comment les équations imparfaites deviennent rigoureuses à la fin du calcul, et à quel signe on reconnaît leur légitimité ; ce signe est la disparition totale des quantités différentielles, dont pouvait provenir l'erreur, s'il y en avait. |
45,00 €
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Référence: 289
Le Traité élémentaire des séries renferme, comme l'auteur le dit avec raison, beaucoup plus de choses qu'on ne serait tenté de le croire au premier abord. Dans aucune partie de l'analyse, en effet, M. Catalan n'est plus dans son propre domaine que dans la théorie des séries. C'est un sériéiste, comme l'appelait Terquem ; il connaît les séries une à une, comme nous connaissons les propositions élémentaires de la Géométrie. Dans son livre, il expose les vrais principes de la théorie de ces expressions remarquables, sur lesquelles le XVIIIe siècle avait accumulé tant de nuages ; il les expose avec une telle profusion d'exemples et d'applications que le lecteur en est ébloui et presque épouvanté. Chemin faisant, il relève les erreurs et les contradictions des esprits attardés qui osent encore traiter les séries divergentes ou indéterminées, de la même manière que si elles étaient convergentes. |
36,00 €
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Référence: 053
Quelques personnes, qui ont bien voulu guider mes premiers pas dans la carrière des sciences, et parmi lesquelles je citerai avec reconnaissance MM. Laplace et Poisson, ayant témoigné le désir de me voir publier le Cours d'analyse de l'École royale polytechnique, je me suis décidé à mettre ce Cours par écrit pour la plus grande utilité des élèves. J'en offre ici la première partie connue sous le nom d'Analyse algébrique, et dans laquelle je traite successivement des diverses espèces de fonctions réelles ou imaginaires, convergentes ou divergentes, de la résolution des équations, et de la décomposition des fractions rationnelles. |
68,00 €
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Référence: 201
LIVRE I LIVRE II |
72,00 €
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Référence: 202
LIVRE III |
58,00 €
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Référence: 203
LIVRE IV LIVRE V |
71,00 €
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DARBOUX : Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul ...Un ouvrage considérable de géométrie infinitésimale, intitulé : Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, fut le fruit de l'enseignement de Gaston Darboux à la Sorbonne. Il constitue en même temps un traité sur les équations aux dérivées partielles. Parmi celles-ci, l'auteur fait une étude approfondie de certaines équations étudiées d'abord par Laplace, dont il montre le rôle en géométrie, et pour lesquelles il a constitué une théorie des invariants. On lui doit aussi d'importants progrès dans la question de l'applicabilité des surfaces. Il a étudié en particulier celles qui sont applicables sur une surface du second degré, et donné dans le cas de certains paraboloïdes des solutions d'une grande élégance. Tous les géomètres connaissent ses recherches sur la représentation sphérique, sur les surfaces à courbure constante, sur les surfaces isothermiques, sur les surfaces à lignes de courbure planes ou sphériques, sur les cercles géodésiques, ainsi que ses travaux sur les déformations infiniment petites des surfaces, se rattachant à la notion féconde de l'équation aux variations, qu'il avait introduite en analyse dès 1883. Dans ses études de géométrie infinitésimale, Darboux a envisagé systématiquement le déplacement d'un trièdre mobile, dégageant la véritable signification d'éléments introduits antérieurement par Ribaucour. |
227,00 €
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Référence: 307
Entre ces domaines des mathématiques, profondément étrangers l'un à l'autre : d'une part l'Analyse classique, où les fonctions sont continues et dérivables autant que les démonstrations d'énoncés visant à la généralité l'exigent, et où les champs décrits par les variables sont des régions continues limitées par des frontières régulières ; d'autre part les théories d'Analyse générale et de Topologie moderne, où les espaces sont des collections d'éléments quelconques, parfois totalement dissociés, soumis à des conditions de nature arbitraire, entre ces deux mondes d'idées sans contacts mutuels, une transition manque à l'étudiant : celle de la théorie des fonctions de variables réelles et celle des ensembles ponctuels où ces fonctions prennent leurs caractères. |
69,00 €
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DIEUDONNÉ : Éléments d'Analyse, t. 1, (chap. I à XI), Fondements de l'Analyse moderne, 3e, éd., 1990
Le premier volume de ce Traité a pour but d' exposer de la manière la plus simple les notions élémentaires sur lesquelles repose toute l'Analyse moderne : calcul booléien, nombres réels, espaces métriques et espaces de Banach, calcul différentiel, fonctions analytiques. Sur cette base, les volumes suivants développent, d'une part ce qu'on peut appeler "l'Analyse sur les espaces vectoriels" (chapitres XIII à XV, XXII et XXIII), de l'autre "l'Analyse globale" ou "Analyse sur les variétés" (chap. XVI à XXI et XXIV), non sans interactions réciproques, bien entendu. La conception qui domine ce volume a été de reporter aux volumes suivants toutes les notions secondaires nécessaires au développement de ces théories plus avancées, en se limitant au strict minimum, de manière à mettre en valeur les idées les plus fondamentales (comme celles d'espace compact, d'espace complet et d'espace connexe) et à en faciliter l'assimilation. Mises à part les règles de la logique et les propriétés usuelles des entiers naturels, toute l'Analyse est reprise à la base et n'exige en principe aucune connaissance préliminaire ; quant aux notions d'Algèbre nécessaires, en dehors des définitions les plus élémentaires (groupe, anneau, idéal, corps), elles sont introduites au fur et à mesure dans une Annexe. Toutefois, il n'est pas conseillé d'aborder la lecture de ce volume sans avoir bien assimilé les mathématiques enseignées dans le Premier cycle de l'Université. |
62,00 €
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Référence: 212
Avec le chapitre XI, les chapitres XIII à XV peuvent, dans ce Traité, être groupés en un "bloc d'Analyse fonctionnelle linéaire". En simplifiant à l'extrême, on peut dire en effet que les chapitres XIII et XIV étudient en détail un des types les plus importants de "formes linéaires", l'intégrale envisagée d'un point de vue général, qui est à l'Analyse ce que la notion de somme finie est à l'Algèbre ; tandis que le chapitre XV, approfondissant les idées introduites au chapitre XI sous un aspect plus élémentaire, s'appuie sur l'outil puissant fourni par l'intégrale pour analyser les opérateurs linéaires et leur spectre : on y observera le rôle prépondérant qu'y joue un des concepts algébriques de base, la notion d'anneau, qui jusque là n'était intervenue que sporadiquement en Analyse. Le cadre de ces chapitres demeure encore assez abstrait, bien qu'on ait cherché à donner de nombreux exemples d'applications dans les problèmes ; les grandes théories de l'Analyse plus "concrète" auxquelles ils préparent font l'objet des chapitres XXI à XXIII. |
65,00 €
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Référence: 213
Avec le chapitre XVI commence ce que l'on s'accorde à considérer comme le cœur de l'Analyse moderne, l' "Analyse sur les variétés", ou "Analyse globale", dont l'étude des aspects les plus accessibles forme l'objet du reste de ce Traité. Malheureusement, avant d'aborder les problèmes principaux de cette branche des mathématiques, il est encore nécessaire de forger les outils permettant de les attaquer.
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61,00 €
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Référence: 214
Le chapitre XVIII est le dernier des trois chapitres qui posent les bases de l'Analyse sur les variétés différentielles, en précisant ce qu'il faut entendre dans cette théorie par équation différentielle ou aux dérivées partielles. Déjà dans les espaces Rn, il est clair que la notion classique d'équations aux dérivées partielles est liée au système d'axes choisi, et cela n'a pas laissé de causer bien des difficultés aux mathématiciens qui, au XIXe siècle, ont cherché à classer les équations aux dérivées partielles suivant leurs propriétés, même du point de vue purement local. Ce n'est qu'en ne perdant jamais de vue le sens géométrique d'un système différentiel (donnée d'un "élément tangent" en chaque point) qu'on a pu, à la suite de Élie Cartan, parvenir à des conceptions pleinement satisfaisantes à ce sujet ; la théorie générale est d'ailleurs loin d'être achevée, et nous n'en donnons que les premiers rudiments.
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63,00 €
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Référence: 215
Contrairement à beaucoup d'exposés classiques, dans ce chapitre, la théorie des groupes de Lie semi-simples est, autant que possible, axée sur son aspect global, les algèbres de Lie n'intervenant que comme outils de démonstration. C'est pourquoi le chapitre débute par une analyse de la structure des groupes de Lie compacts et connexes, où la géométrie riemannienne permet une étude directe complète des tores maximaux (objets beaucoup plus "naturels" que les sous-algèbres de Cartan de la théorie classique). En outre, cette méthode à l'avantage de mettre dès le début l'accent sur l'une des notions les plus fondamentales des mathématiques, celle de représentation linéaire d'un groupe : c'est en effet des propriétés générales des représentations linéaires d'un groupe compact (non nécessairement de Lie), étudiées dès les premiers paragraphes du chapitre, que sont déduites, par la considération de la représentation adjointe, toutes les propriétés des "racines" et des "poids", qui paraissent toujours quelque peu miraculeuses quand on les aborde d'un point de vue strictement algébrique.
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46,00 €
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Référence: 216
On entend de nos jours par Analyse harmonique (commutative) la généralisation aux groupes commutatifs localement compacts de la théorie classique des séries et intégrales de Fourier, qui correspondent au cas des groupes Rn, Tn et Zn. Bien que, dans la suite de ce Traité, ce soit cette théorie classique qui est presque constamment utilisée, notamment comme outil fondamental dans la théorie des équations linéaires aux dérivées partielles (chap. XXIII), la théorie générale de l'Analyse harmonique a aujourd'hui tant d'autres applications, notamment en Arithmétique, qu'il serait contraire à l'esprit des mathématiques de notre temps de se borner au cadre classique de la théorie de Fourier, qui masque la nature des idées essentielles dominant l'Analyse harmonique, comme celle de convolution ou celle de fonction de type positif.
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45,00 €
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Référence: 217
Ce chapitre a pour sujet principal la théorie des équations linéaires aux dérivées partielles, une des branches les plus importantes de l'Analyse, tant par ses répercussions dans beaucoup d'autres parties des mathématiques que par ses innombrables applications à la Mécanique, l'Astronomie et la Physique. Malgré sa longueur, il est très loin de constituer un exposé complet des connaissances actuelles dans ce domaine ; l'exposé a été limité aux trois types d'équations qui (en raison de leurs applications) ont été depuis 200 ans au premier plan des recherches : les équations elliptiques, hyperboliques et paraboliques, dont les prototypes sont respectivement l'équation de Laplace, l'équation des ondes et l'équation de la chaleur.
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54,00 €
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Référence: 218
Pour les équations paraboliques ou strictement hyperboliques, on n'a envisagé que le problème de Cauchy local, ou le cas où les données de Cauchy sont portées par une variété compacte sans bord ; et pour les équations elliptiques, hormis le cas particulier des équations différentielles ordinaires, on ne s'est guère occupé que du problème de Dirichlet dans un ouvert borné de Rn et des problèmes aux limites de même type. Par contre, dans ce domaine volontairement restreint, l'auteur n'a accordé aucune place privilégiée aux équations à coefficients constants ni aux équations du second ordre (à l'exception d'une section sur le principe du maximum). Il a surtout voulu montrer comment l'usage systématique des opérateurs de Lax-Maslov et des opérateurs pseudo-différentiels, conjugués, dans le cas des équations elliptiques, avec la théorie spectrale des opérateurs dans les espaces hilbertiens, conduit à des méthodes de solution beaucoup plus naturelles et explicites que les méthodes basées sur les "inégalités a priori", et donne directement (lorsque toutes les données sont indéfiniment différentiables) de vraies solutions indéfiniment différentiables, et non des solutions "faibles" inutilisables dans les applications.
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57,00 €
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Référence: 219
A reparaître
Le but de ce chapitre est d'initier les analystes aux premiers rudiments de la Topologie algébrique et de la Topologie différentielle, deux des domaines les plus actifs des recherches modernes. Conformément à l'esprit de l' "Analyse globale" qui est celui de ce Traité, c'est la cohomologie des variétés différentielles et des espaces fibrés qui est au centre de ce chapitre, ainsi que ses relations les plus élémentaires avec les structures additionnelles portées par les variétés, telles que connexions ou structures de groupes. Lorsqu'on se borne à la cohomologie à coefficients réels ou complexes, on y accède immédiatement à l'aide des formes différentielles, sans les moindres préliminaires "combinatoires", et en n'utilisant comme outil algébrique que la suite exacte de cohomologie. |
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Référence: 158
La théorie générale des fonctions embrasse, à mon avis, tout ce qui se rattache à l'idée la plus générale de fonction : en tête je place la métaphysique des concepts de grandeur et de limite, comme servant de base à la théorie de l'argument, de la fonction, et de la condition commune de convergence et de divergence des différentes opérations infinies. |
23,00 €
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Référence: 291
A reparaître
Euler écrivit en 1748 son Introductio in Analysin Infinitorum, ouvrage composé pour servir d'introduction aux mathématiques pures. Il est divisé en deux parties.
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Référence: 046
La théorie de la chaleur de Fourier est un des premiers exemples de l'application de l'analyse à la physique ; en partant d'hypothèses simples qui ne sont autre chose que des faits expérimentaux généralisés, Fourier en a déduit une série de conséquences dont l'ensemble constitue une théorie complète et cohérente. Les résultats qi'il a obtenus sont certes intéressants par eux-mêmes, mais ce qui l'est plus encore est la méthode qu'il a employée pour y parvenir et qui servira toujours de modèle à tous ceux qui voudront cultiver une branche quelconque de la physique mathématique. |
75,00 €
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Référence: 035
Le calcul matriciel est largement utilisé, de nos jours, dans divers domaines des mathématiques, de la physique théorique, de l'électrotechnique théorique, etc. Mais, ni dans la littérature soviétique, ni dans la littérature étrangère, il n'existe de livre donnant un exposé suffisamment complet de la théorie des matrices et de ses nombreuses applications. |
82,00 €
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Référence: 032
Les exemples abondent tant dans le texte que dans les compléments et exercices reportés à la fin des chapitres. |
149,00 €
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Référence: 152
Le principal caractère du livre est d'intéresser le lecteur aux fonctions elliptiques, en montrant comment leur théorie se rattache à la résolution de toutes sortes de problèmes de géométrie, de mécanique, de physique. Cet ouvrage rendra de grands services à tous ceux qui désirent étudier cette théorie ; aux physiciens et aux ingénieurs, il fournira un instrument de calcul puissant, avec des exemples variés sur la manière de l'appliquer ; aux étudiants en mathématiques, il facilitera l'intelligence des débuts de la théorie et inspirera la curiosité de lire les grands traités. Même pour les candidats à la licence mathématique et physique, la lecture des cinq premiers chapitres sera des plus aisée ; elle leur apprendra rapidement le maniement des fonctions elliptiques avec les notations de Jacobi et de Weierstrass. |
60,00 €
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Référence: 292
Le Calcul des variations n'est autre chose qu'un premier chapitre de la doctrine qu'on nomme aujourd'hui le Calcul Fonctionnel et dont le développement sera sans doute l'une des tâches qui s'imposeront les premières à l'Analyse de l'avenir. |
81,00 €
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