Le mémoire détermine d'abord la probabilité qu'un joueur se trouvera ruiné après un certain nombre de parties, s'il joue à chacune une certaine portion de sa fortune ; l'expression analytique est directe, générale, simple et élégante et donne la démonstration de la ruine certaine du joueur qui continuerait sur le même pied, comme de celui qui jouerait toute sa fortune, à chaque partie, quoiqu'à jeu égal.

Tous les cas qui pourraient avoir lieu sont ensuite exprimés par une série récurrente, qui est le développement d'une fraction rationnelle que l'auteur cherche par une analyse très savante et qui prouve dans le citoyen Ampère des connaissances rares et un talent très marqué.
Joseph-Jérôme de Lalande

Ceci n'est pas un traité de Bridge ; nous n'entrons qu'assez rarement dans le détail des règles du jeu, et nous supposons également connues dulecteur les doctrines classiques sur les déclarations, les impasses, les invites, les squeezes, etc. Nous supposons également chez le lecteur uneconnaissance élémentaire de la théorie des probabilités. Nous nous proposons de fournir à la fois une méthode, et un grand nombre de résultats numériques facilitant l'application de cette méthode à chacun des cas concrets qui peuvent se présenter et qu'il n'est pas possible d'étudier tous, car ils sont innombrables, même si on les range dans de vastes catégories. 
Tous ceux des joueurs de bridge qui sont arrivés par des réflexions personnelles ou par des calculs, à se formuler des règles d'action dans certaines circonstances délicates, trouveront généralement ici une confirmation de ces règles. Dans la plupart des cas, en outre, cette confirmation précisera la probabilité de succès de chaque règle, et ceci est fort important ; si, en effet, entre deux manières de gagner une levée décisive, l'une réussit 60 fois sur 100, et la seconde 40 fois sur 100, il sera évidemment préférable d'utiliser la première, mais la différence est cependant assez faible pour que, si les circonstances du jeu (déclarations, manière de jouer du partenaire ou de l'adversaire, état de la marque), donnent une indication, même un peu vague, en faveur de la seconde, un bon joueur puisse se décider parfois en faveur de celle-ci. Si, au contraire, la première manière de jouer réussissait en principe 90 fois sur 100, et la seconde seulement 10 fois, ce serait seulement dans le cas où les circonstances du jeu fourniraient un renseignement presque certain que l'on pourrait songer à adopter la seconde. 
Il pourra arriver parfois que nos études contredisent certaines des règles que s'est fixées tel joueur ; en ce cas, celui-ci sera amené à réfléchir, à contrôler au besoin nos calculs et nos raisonnements et, s'il n'y relève pas d'erreur, à modifier en connaissance de cause sa technique. 
Dans certains cas, toujours nettement indiqués, les calculs sont précédés d'hypothèses sur la psychologie des joueurs et sur leur manière d'enchérir et de jouer. Il est clair que ces hypothèses n'ont pas la certitude des calculs : tout joueur averti peut les discuter librement, tandis que les résultats des calculs ne prêtent pas à discussion : ils sont exacts ou ils sont faux. 
Comme l'indique André Chéron dans les Remarques, nous avons toutes raisons de croire que nous avons, sauf accident, évité les erreurs de calcul et d'impression. 
En résumé, ce Livre fournira à tous ceux qui connaissent le bridge et qui n'ont pas la phobie des nombres et des calculs, des renseignements utiles qui ne figurent dans aucun Traité.
Émile BOREL, Préface

Nous ne pouvons, dans ce petit livre, étudier toutes les manifestations du hasard qu'il est possible de soumettre au calcul et de traiter d'une façon scientifique.
En nous bornant aux généralités, à l'analyse des jeux, de la spéculation, des erreurs d'observation, nous aurons déjà à parcourir un domaine assez vaste comprenant les bases fondamentales du calcul des probabilités.
Louis BACHELIER

La théorie des jeux est parvenue depuis longtemps à une vérité définitive, à laquelle d'illustres savants – comme Denis Poisson pour le trente et quarante ou Joseph Bertrand pour le baccara – n'ont pas été étrangers. Les joueurs et, spécialement, les inventeurs de systèmes, sont les derniers à s'en rendre compte. Notons, en passant, cette situation privilégiée, car il existe, en science, bien peu de problèmes où il ne reste plus rien à découvrir.
L'aspect psychologique de la question ne nous laissera pas indifférents : n'a-t-on pas dit et répété, non sans raison, que le jeu est l'image de la vie ? Chemin faisant, le lecteur appréciera les diverses entreprises, vis-à-vis desquelles il se trouve en état d'infériorité manifeste. Aux jeux de pur hasard (tels que la boule, la roulette, le baccara, ...) il s'agit avant tout, d'éviter de se ruiner ; mais les jeux de semi-hasard (le bridge, le poker, la belote, ...), auxquels les plus grands esprits se sont intéressés, permettent une utilisation intelligente et attrayante des loisirs, fertile en enseignements de toutes sortes.
Tous ceux qui appliqueront quelque attention à ces pages, rendues aussi élémentaire que possible, comprendront à quel point un long entraînement à la réflexion nous libère des opinions préconçues. Ils s'exerceront à délimiter le domaine irréductible de notre ignorance.
Marcel BOLL, Introduction

Les jeux de hasard se répartissent en deux classes principales : dans la première figurent les jeux de pur hasard, où la personnalité du joueur n'intervient pas. L'application du Calcul des Probabilités à de tels jeux ne fait intervenir que des questions plus ou moins complexes d'analyse combinatoire.
Mais à côté de ces jeux de pur hasard figure une catégorie importante de jeux, que nous rangerons dans la deuxième classe : ce sont les jeux où interviennent à la fois le hasard proprement dit et l'habileté des joueurs. Cette classe comprend en particulier l'immense majorité des jeux de cartes. Qu'entendons-nous par habileté d'un joueur ? C'est son aptitude à tirer le meilleur parti possible des éléments fournis par le hasard. Une étude plus approfondie de cette deuxième classe de jeux nous permettra de mettre en évidence dans cette habileté deux facteurs distincts ; en premier lieu, une exacte connaissance de toutes les combinaisons possibles que présente le jeu, et de leurs probabilités respectives ; en second lieu, l'aptitude du joueur à tromper son adversaire sur ses intentions ou sur certains faits, tels que la valeur de son propre jeu.
Les problèmes rencontrés dans la théorie des jeux où intervient l'habileté du joueur présentent beaucoup d'analogies avec ceux qui se posent dans l'étude des phénomènes économiques. Ces phénomènes, en effet, sont commandés d'une part par des causes matérielles, qui se traduisent par des données concrètes, telles que l'évaluation des stocks existants, et, d'autre part, par des causes qui dépendent de la volonté humaine. Les théories économiques qui ne tiennent compte que des causes de la première catégorie sont le prétexte de développements intéressants, mais peu utiles pratiquement. Et l'on a pu faire aux économistes le reproche que l'on a coutume de faire aux météorologistes : de même que ces derniers excellent à expliquer scientifiquement le temps qu"il a fait hier plutôt qu'à prévoir celui qu'il fera la semaine prochaine, les économistes font plus aisément la théorie d'un phénomène qui vient de se produire, qu'ils ne savent conseiller les mesures à prendre pour assurer à la vie économique de demain un développement normal. Pour arriver à traiter les questions économiques d'une manière satisfaisante, il faut faire une place à la probabilité et à la psychologie : l'étude des jeux de hasard et de psychologie constituera donc une base utile pour cette étude.
Émile BOREL, Introduction

Cet ouvrage a paru dans le cours de 1812 ; savoir, la première partie, vers le commencement de l'année; et la seconde partie, quelques mois après la première. Depuis ce temps, l'auteur s'est occupé spécialement à le perfectionner, soit en corrigeant de légères fautes qui s'y étaient glissées, soit par des additions utiles.
La principale est une introduction fort étendue, dans laquelle les principes de la théorie des probabilités, et leurs applications les plus intéressantes sont exposées sans le secours du calcul. Cette introduction, qui sert de préface à l'ouvrage, paraît encore séparément sous ce titre : Essai philosophique sur les probabilités.
La théorie de la probabilité des témoignages, omise dans la première édition, est ici présentée avec le développement qu'exige son importance.
Plusieurs théorèmes analytiques auxquels l'auteur était arrivé par des voies indirectes sont démontrés directement dans les Additions, qui renferment, de plus, un court extrait de l'Arithmétique des infinis de Wallis, l'un des ouvrages qui ont le plus contribué aux progrès de l'analyse, et où l'on trouve le germe de la théorie des intégrales définies, l'une des bases de ce nouveau calcul des probabilités.
L'auteur désire que son ouvrage, accru d'un tiers au moins par ces diverses additions, mérite l'attention des géomètres, et les excite à cultiver une branche aussi curieuse et aussi importante des connaissances humaines.
Pierre-Simon LAPLACE, Avertissement de la seconde édition

A reparaître

Le calcul des probabilités a fait, depuis environ quinze ans, des progrès immenses. Des problèmes classiques ont reçu une solution plus complète qu'il ne semblait au début de ce siècle possible d'espérer. Des problèmes nouveaux, nés de la théorie des probabilités dénombrables, ont été posés et souvent résolus. Aussi ne saurait-il être question de donner en un volume un exposé de l'ensemble du calcul des probabilités, dans son état actuel. Mon but est plus restreint. Mes recherches personnelles ayant eu principalement pour objet, depuis plusieurs années, l'étude des problèmes asymptotiques relatifs aux probabilités, il m'a semblé que le moment était venu de donner un exposé d'ensemble de l'état actuel des questions que j'ai ainsi étudiées, et qui ont pendant la même période fait l'objet de nombreux travaux parmi lesquels il convient de mentionner tout spécialement ceux de MM. A. Khintchine et A. Kolmogoroff.
Je n'ai pensé à choisir un titre pour ce livre qu'après en avoir terminé la rédaction, et il était difficile d'en trouver un qui corresponde exactement aux questions exposées. Aussi le lecteur ne doit-il pas s'étonner s'il trouve que mon sujet n'a pas été traité d'une manière complète, ou au contraire que j'en suis sorti dans le dernier chapitre ; c'est le titre qui a tort ; mon intention a été de parler des questions sur lesquelles j'avais quelque chose à dire.
Paul LÉVY, Préface de la première édition, 1937

ARTICLES :

I-20 : CALCUL DES PROBABILITÉS
E. Czuber - J. Le Roux

I-21 : CALCUL DES DIFFÉRENCES ET INTERPOLATION
D. Selivanov - J. Bauschinger - H. Andoyer

I-22 : THÉORIE DES ERREURS
J. Bauschinger - H. Andoyer

I-23 : CALCULS NUMÉRIQUES
R. Mehmke - M. d'Ocagne

I-24 : STATISTIQUE
L. von Bortkiewicz - F. Oltramare

I-25 : TECHNIQUE DE L'ASSURANCE SUR LA VIE
G. Bohlmann - H. Poterin du Motel

I-26 : ÉCONOMIE MATHÉMATIQUE *
V. Pareto

* La fin de l'article n'a pas été publiée en raison de la guerre.

L'ouvrage de Poisson tient plus que son titre ne l'indique et qu'il ne le faisait espérer ; les quatre premiers chapitres renferment les règles et les formules générales du calcul des probabilités ; c'est dans le cinquième seulement que notre confrère aborde la question de la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile.
Dans l'étude de cette question spéciale, on fait un usage continuel de ce qu'on appelle la loi des grands nombres ; voici en quels termes on peut définir cette loi : si l'on observe des nombres très considérables d'une même nature, dépendants de causes constantes et de causes qui varient irrégulièrement, tantôt dans un sens, tantôt dans un autre, c'est-à-dire sans que leur variation soit progressive dans aucun sens déterminé, les résultats qu'on en déduira seront indépendants des causes perturbatrices.
L'auteur s'attache à montrer, par des exemples bien choisis, que cette loi s'observe tant dans les faits relatifs à l'ordre matériel que dans ceux qui touchent à l'ordre moral.
On ne peut pas douter que la loi des grands nombres ne conviennent aux choses morales qui dépendent de la volonté de l'homme, de ses intérêts, de ses lumières et de ses passions, comme à celles de l'ordre physique ; mais il était important de le démontrer à priori, c'est ce qu'a fait M. Poisson. On jugera de la difficulté du problème par cette seule remarque : Jacques Bernoulli ne considéra qu'un cas particulier de cette question générale, et en fit cependant l'objet de ses méditations pendant vingt années consécutives. Des hommes d'ailleurs très éclairés refusent obstinément de croire à la possibilité de soumettre au calcul les questions que, à la suite de Condorcet et de Laplace, Poisson a traitées dans son grand ouvrage ; ils pensent que le mathématicien, tout habile qu'il soit, manquera toujours de données précises pour apprécier les chances d'erreur auxquelles le juré se trouve exposé dans l'appréciation de la cause qui lui est soumise ; mais ils ne réfléchissent pas que ces chances sont empruntées à l'expérience, et que leur valeur est fournie par une comparaison bien entendue du nombre moyen de votes qui ont acquitté, au nombre moyen de votes ayant prononcé la condamnation.
François ARAGO, POISSON, Biographie lue par extraits en séance publique de l'Académie des Sciences, le 16 décembre 1850 

L'unité étroite de la science et de la vie, de la théorie et de la pratique a été le trait caractéristique de l'œuvre de nombreux savants russes. P. L. Tchebychef, fondateur de la grande école de mathématiques de Pétersbourg, écrivait :
« Le rapprochement de la théorie et de la pratique donne les résultats les plus bienfaisants et la pratique n'est pas la seule à en profiter : les sciences elles-mêmes se développent sous son influence : elle leur ouvre de nouveaux objets d'études ou bien de nouveaux aspects dans des matières depuis longtemps connues. »
En même temps, on procédait à une élaboration approfondie des problèmes qui avaient, tout au moins à cette époque, une importance théorique et qui étaient nécessaires pour le progrès de la science elle-même. Ceci se rapporte également à Tchebychef et à ses émules. Si les recherches de Tchebychef dans la théorie des polynômes d'approximation des fonctions ont grandi en liaison intime avec l'étude de la théorie des mécanismes, ses travaux sur la théorie des nombres avaient un caractère abstrait.
René TATON, Histoire générale des sciences, t. III, La Science contemporaine, vol. 1, Le XIX^e siècle, PUF, 1961