Gustave VERRIEST

LEÇONS

SUR LA

THÉORIE DES ÉQUATIONS

SELON GALOIS

précédées d'une introduction
à la

THÉORIE DES GROUPES

Paris, Gauthier-Villars
1939

[suivi de:]

ÉVARISTE GALOIS

ET LA THÉORIE DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

Revue des Questions scientifiques
Mai et Juillet 1934

Auteur :
Gustave VERRIEST

Thèmes :
MATHÉMATIQUES
Algèbre
HISTOIRE DES SCIENCES

Reprint 1997
16 x 24 cm
400 p.
Relié
2 titres en 1 volume
ISBN : 978-2-87647-204-4
 

S O M M A I R E
 

LEÇONS SUR LA THÉORIE DES ÉQUATIONS SELON GALOIS

PREMIÈRE PARTIE

I - La notion de groupe.
- Complexes.
- Considérations générales.
- Définition d'un groupe.
- Conséquences immédiates.
- Exemples de groupes.
- Table de multiplication.
- Puissances d'un élément.

II - Sous-groupes. Groupes cycliques.
- Sous-groupes.
- Relation entre l'ordre d'un groupe et l'ordre d'un sous-groupe.
- Ordre et période d'un élément.
- Groupes cycliques.
- Caractéristiques des sous-groupes d'un groupe fini.

III - Les transformés.
- Éléments permutés.
- Éléments conjugués.
- Éléments permutables à un sous-groupe.
- Sous-groupes conjugués.
- Diviseurs normaux.
- Plus grand commun diviseur.

IV - Les groupes de substitution.
- Décomposition d'une substitution en cycle.
- Groupes de substitution.

V - Isomorphisme. Homomorphisme
- Isomorphisme.
- Automorphisme.
- Homomorphisme.
- Groupes facteurs.
- Propriétés des groupes homomorphes.

VI - La transitivité dans les groupes de substitution.
- Groupes transitifs. Groupes intransitifs.
- Propriétés des groupes intransitifs.
- Propriétés des groupes transitifs.
- Propriétés des groupes transitifs abéliens.
- Groupes primitifs. Groupes imprimitifs.
- Propriétés des groupes imprimitifs.

VII - Les suites de composition.
- Diviseurs normaux maximum.
- Un théorème fondamental.
- Suites de composition.
- Théorème de Jordan-Hölder.
- Groupes métacycliques.

SECONDE PARTIE

VIII - Les corps.
- Notion de corps.
- Adjonction.
- Isomorphisme. Automorphisme.

IX - Les polynomes.
- Division des polynomes.
- Décomposition d'un polynome en facteurs.
- Dérivées d'un polynome.

X - Les racines d'un polynome.
- Propriétés des racines d'un polynome.
- Racines multiples.
- Racines hypercomplexes.
- Corps factorisant.

XI - Les fonctions symétriques. La formule d'interpolation de Lagrange.
- Fonctions symétriques.
- Fonctions symétriques des racines.
- Formule d'interpolation de Lagrange.

XII - Les polynomes à coefficients rationnels.
- Polynomes primitifs.
- Décomposition en facteurs.
- Critères d'irréductibilité.

XIII - Les corps algébriques.
- Adjonction transcendante.
- Adjonction algébrique simple.
- Adjonction de plusieurs grandeurs algébriques.

XIV - Les grandeurs conjuguées.
- Propriétés fondamentales des grandeurs conjuguées.
- Grandeurs primitives. Grandeurs imprimitives.
- Corps primitifs. Corps imprimitifs.

XV - Corps isomorphes.
- Isomorphisme de corps conjugués.
- Isomorphisme de corps factorisants.

XVI - Les automorphismes d'un corps normal. Le groupe de Galois.
- Corps algébriques normaux. Èquations normales.
- Automorphismes d'un corps normal.
- Propriétés fondamentales des substitutions automorphiques.
- Substitutions automorphiques d'un ensemble générateur.
- Groupe de Galois d'une équation.
- Propriétés fondamentales du groupe de Galois.
- Automorphismes d'un sous-corps normal.
- Groupe de Galois d'une équation réductible.

XVII - Le groupe de Galois. Sa construction.
- Recherche du groupe de Galois d'une équation à coefficients numériques entiers.
- Dépendance du groupe de Galois et du corps de base.
- Groupe de l'équation générale.
- Groupe de l'équation binome de degré premier.

XVIII - Le groupe de Galois. Sa réduction.
- Relation entre les groupes d'une même équation considérée par rapport à des corps différents.
- Réduction du groupe d'une équation par l'adjonction de la racine carrée du discriminant.
- Résolvante de Galois.
- Résolvante et groupe d'une équation normale.
- Relation entre les grandeurs du corps factorisant et les sous-groupes du groupe de Galois.
- Réduction du groupe de Galois par une adjonction.
- Calcul d'une grandeur appartenant à un sous-groupe donné.
- Recherche de la résolvante de Galois par rapport au nouveau corps de base.
- Relation entre les sous-corps du corps factorisant et les sous-groupes du groupe de Galois.
- Réduction du groupe d'une équation par l'adjonction simultanée de plusieurs grandeurs.
- Relation entre le groupe d'une équation et les groupes de ses résolvantes.
- Irrationnelles naturelles et irrationnelles accessoires.
- Adjonction de grandeurs normales.

XIX - La théorie de Galois.
- Résolution progressive d'une équation et construction progressive du corps factorisant.
- Résolution des résolvantes partielles.
- Corps normaux successifs.
- Application à l'équation générale du troisième degré.
- Application aux équations imprimitives.

XX - Les équations cycliques.
- Racines primitives de l'unité.
- Équations cycliques en général.
- Équations cycliques de degré premier.
- Résolvantes de Lagrange.
- Application à l'équation générale du troisième degré.
- Équations à groupe cyclique.

XXI - Représentation des racines de l'unité par des radicaux.
- Les corps considérés comme des groupes.
- Corps formé de classes de restes suivant un module premier.
- Racines primitive dun nombre premier.
- Représentation des racines n^ièmes de l'unité par des extractions de racines d'ordre inférieur à n.

XXII - Les équations résolubles par des extractions de racines.
- Adjonction de radicaux.
- Adjonction de racines primitives de l'unité.
- Équations métacycliques.
- Équation dont une racine est représentable par des radicaux.
- Impossibilité de résoudre algébriquement l'équation générale de degré supérieur à quatre.

XXIII - Les équations abéliennes. Quelques questions spéciales.
- Équations abéliennes.
- Cas irréductible de l'équation du troisième degré.
- Réduction réciproque.
- Affect d'une équation.

XXIV - L'équation de la division du cercle.
- Racines del'unité.
- Racines primitives de l'unité.
- Nombre de racines primitives n^ièmes de l'unité.
- Équations aux racines primitives.
- Équation et corps de la division du cercle.
- Groupe de l'équation de la division du cercle.
- Résolution de l'équation de la division du cercle.
- Résolution de l'équation X_p = 0.
- Problèmes géométriques résolubles à l'aide de la règle et du compas.

APPENDICE
ÉVARISTE GALOIS ET LA THÉORIE DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

- La vie d'Évariste Galois.
- La résolution algébrique des équations avant Galois.
- L'équation générale de degré n.
- Les équations particulières.
- L'importance des radicaux.
- Les travaux de Lagrange.
- La théorie de Galois.