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COURS DE PHYSIQUE MATHÉMATIQUE
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Henri POINCARÉ
FIGURES
D'ÉQUILIBRE
D'UNE
MASSE FLUIDE
Leçons professées à la Sorbonne en 1900
Rédigées par L. Dreyfus
Paris, C. Naud
1902
Auteur :
Henri POINCARÉ
Rédacteur :
L. DREYFUS
Cours :
Poincaré - Sorbonne
Série :
Poincaré - Physique
Thèmes :
MÉCANIQUE
Mécanique des solides et des fluides
Mécanique céleste. Astronomie
Reprint 1990
16 x 24 cm
216 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-027-9
S O M M A I R E
1 - Théorèmes généraux sur le potentiel newtonien.
- Objet du cours.
- Définition et propriétés du potentiel.
- Théorème de Gauss.
- Théorème de Green.
- Travail de l'attraction.
- Conditions d'équilibre.
- Relation entre la masse, le volume et la vitesse de rotation.
2 - Masse homogène fluide.
La masse est sans mouvement de rotation.
- Simplification des formules générales.
- Théorie de Liapounoff.
- L'énergie a un maximum.
- La capacité électrique a un minimum.
- Le minimum est atteint pour la sphère.
- La sphère est la seule figure d'équilibre.
La masse est animée d'un mouvement de rotation.
- Formules générales.
- Limite de la vitesse de rotation.
- Permanence de l'axe de rotation.
- Stabilité de l'équilibre.
- Solide équivalent.
- Condition de stabilité de Lejeune-Dirichlet.
- L'axe de rotation est le petit axe de l'ellipsoïde d'inertie.
3 - Fonctions sphériques.
- Système triple orthogonal.
- Polynômes sphériques. Fonctions sphériques.
- Fonctions sphériques fondamentales.
- Détermination des polynômes (Xn)p
- Propriétés des fonctions sphériques.
- Couche sphéroïdale.
- Développement en série de 1/MM'.
- Développement en série du potentiel d'une couche sphéroïdale.
- Potentiel en un point de la couche sphéroïdale.
- Théorème de Laplace.
4 - Masse fluide hétérogène. Problème de Clairaut.
- Préliminaires.
- Développement du potentiel en série.
- Détermination des coefficients du développement.
- Les surfaces de niveau sont des ellipsoïdes.
- Équation de Clairaut.
- Forme des courbes intégrales.
- Une seule est acceptable.
- Relation entre l'aplatissement, la pesanteur et la force centrifuge à l'équateur.
- Détermination complète des coefficients H.
- Détermination précise de l'aplatissement.
- Moments d'inertie de l'ellipsoïde.
- Comparaison de la théorie et des observations.
5 - Masse solide recouverte d'une masse fluide.
- Théorème de Stokes.
- Développement de 1/MM' en série de polynômes.
- Application.
- Relation entre l'aplatissement, la pesanteur et la force centrifuge à l'équateur.
- Pesanteur en un point de la surface.
- Influence de l'altitude.
- Pesanteur en un point de la surface du géoïde.
6 - Fonctions de Lamé.
- Coordonnées elliptiques.
- Élément linéaire en coordonnées elliptiques.
- Équation de Laplace.
- Fonctions de Lamé.
- Leur formation.
- Détermination de K.
- Analogie avec les fonctions sphériques.
- Cas des ellipsoïdes de révolution.
- Résumé.
- Les valeurs de K sont réelles.
- Les fonctions de Lamé sont linéairement indépendantes.
- Les polynômes de Lamé ont leurs racines réelles.
- Développement d'une fonction en une somme de fonctions de Lamé.
- Les fonctions S.
7 - Attraction des ellipsoïdes.
Figures d'équilibre.
- Problème de Dirichlet sur l'ellipsoïde.
- Application.
- Attraction d'un ellipsoïde homogène.
- Théorème d'Ivory.
- Ellipsoïde de Mac Laurin.
- Ellipsoïde de Jacobi.
- Discussion de l'équation des ellipsoïdes de Jacobi.
- Figures dérivées de l'ellipsoïde de Mac Laurin.
- Figures dérivées de l'ellipsoïde de Jacobi.
Stabilité des figures trouvées.
- Représentation graphique des résultats précédents.
- Courbes d'équilibre.
- Échange des stabilités.
- Stabilité de l'équilibre des figures trouvées.
- Conclusion.
8 - Anneau de Saturne.
Hypothèse de l'anneau solide.
- Historique.
- Équations du mouvement.
- Stabilité du mouvement.
Anneau liquide.
- Potentiel d'une circonférence homogène.
- Masse annulaire de révolution.
- Section méridienne de l'anneau.
Hypothèse de Cassini.
- Vraisemblance de l'hypothèse.
- Équations du mouvement.
- Changement de variables.
- Discussion des équations.
- Stabilité de l'anneau supposé liquide.
- Conclusion.
