TISSERAND : Traité de Mécanique céleste, t. I à IV, 1889-1896 + Leçons sur la détermination des ...

François-Félix TISSERAND

TRAITÉ

DE

MÉCANIQUE CÉLESTE

Tome I
Perturbation des planètes
d'après la méthode de la variation des constantes arbitraires
1889

Tome II
Théorie de la figure des corps célestes
et de leur mouvement de rotation
1891

Tome III
Exposé de l'ensemble des théories relatives au mouvement de la Lune
1894

Tome IV
Théorie des satellites de Jupiter et de Saturne.
Perturbation des petites planètes
1896

[suivi de :]

Leçons sur la détermination des orbites
Préface de Henri Poincaré
1899

Paris, Gauthier-Villars

Auteur :
François-Félix TISSERAND

Préface des Leçons sur la détermination des orbites :
Henri POINCARÉ

Cours de la Sorbonne

Thème :
MÉCANIQUE
Mécanique céleste. Astronomie

Reprint 1990
17 x 24 cm
486 p., 558 p., 440 p. et 704 p.
Broché
4 volumes non vendus séparément
ISBN : 978-2-87647-029-3

 

Henri POINCARÉ, Éloge de François-Félix TISSERAND, Annuaire du Bureau des Longitudes, 1900
(Extrait)

Ils sont rares ceux qui réunissent toutes ces qualités : profondeur de la pensée, lucidité de l'exposition, ardeur qu'aucun travail ne peut rebuter ; c'est pourquoi Tisserand seul pouvait entreprendre et mener à bien la grande œuvre de sa vie : son Traité de Mécanique céleste.
Quand, au commencement de ce siècle, Laplace écrivait son immortel ouvrage, il nous donnait un résumé fidèle et complet de l'état de l'Astronomie mathématique.
Les progrès de la Science ont été d'abord assez lents et le monument élevé par Laplace n'a longtemps reçu que de légères additions qui n'en rompaient pas l'ordonnance.
Il y a quinze ans, il n'en était déjà plus de même, et la Mécanique céleste attendait, pour ainsi dire, un nouveau Laplace, qui sût, non certes, faire oublier le premier ni dispenser de le lire, mais le compléter et continuer son œuvre.
Tisserand ne croyait certainement pas avoir égalé son modèle ; et pourtant sa modestie avait peut-être tort. Si Laplace a des qualités propres, qui ne seront jamais surpassées, par exemple je ne sais quelle ampleur de pensée et de style, Tisserand ne le rappelle-t-il pas par la concision et l'élégance? et même ne l'emporte-t-il pas sur lui par la clarté de son exposition que le lecteur suit sans fatigue?
D'ailleurs, ce ne sont là que des nuances, et je donnerais une impression plus juste en disant simplement : c'est le livre que Laplace aurait écrit s'il avait vécu de nos jours.
Heureusement pour nous, Tisserand eut le temps d'achever ce livre ; mais il ne devait pas, hélas, jouir longtemps de la satisfaction de la tâche accomplie.

André DANJON, L'Œuvre de François-Félix TISSERAND, Académie des Sciences, Notices et discours, 1962
(Extraits)

Tisserand était parfaitement conscient du caractère un peu rébarbatif de la Mécanique céleste, sa science de prédilection, et il en souffrait. Jeune astronome, il avait longuement étudié les œuvres des grands devanciers, Laplace, Le Verrier, Delaunay ; il avait admiré la puissance de ces esprits pénétrants, mais la formation mathématique qu'il avait reçue à l'École Normale, l'avait rendu sensible au manque d'élégance et de rigueur formelle de leurs méthodes. Son mémoire de thèse nous livre sur ce point le fond de sa pensée. C'est un exposé de la théorie de la Lune de Delaunay, d'après les principes de Jacobi. « Toutes les transformations employées par Delaunay se présentent ici d'une façon naturelle et élégante, écrivait le jeune savant ; il nous semble que c'est là un résultat important, car la Mécanique céleste serait moins délaissée, si l'on arrivait à la présenter aussi élégamment et rigoureusement que la Mécanique analytique ». Telle sera la préoccupation constante de Tisserand tout au long de sa carrière. Très justement, Henri Poincaré observait que ce chercheur de 23 ans avait, mieux que Delaunay lui-même, compris la portée de sa méthode et qu'il en avait « exprimé tout le suc », « Dédaigneux d'un appareil mathématique inutile, il va droit au point essentiel et néglige ce qui n'est qu'accessoire », ajoutait Poincaré.
Avec une tenacité et une patience inlassables, Tisserand repense ainsi l'œuvre de ses prédécesseurs des deux siècles précédents. En la survolant, il en découvre les intentions profondes, souvent cachées sous un algorithme exubérant. Il en reprend tous les calculs, en les rattachant à des méthodes analytiques éprouvées, chaque fois qu'il peut le faire sans dénaturer la pensée des auteurs. Cet immense labeur suppose un véritable génie créateur, mais aussi, une grande sagacité et une faculté de travail exceptionnelle.
[...]
Les résultats de ses belles recherches se trouvent rassemblés et ordonnés dans les quatre volumes in-quarto du Traité de Mécanique céleste publiés par Tisserand de 1888 à 1896, et qui comptent ensemble tout près de 2000 pages, bourrées d'équations et de formules. Cet ouvrage capital est, aujourd'hui encore, avec celui de Laplace, le seul où soient traités à fond tous les problèmes, sans exception, relatifs au système solaire. Mais il a, sur son devancier, l'avantage de près d'un siècle de recherches nouvelles. A propos de chaque problème, Tisserand expose les différentes méthodes qui permettent de l'aborder ; il en fait comprendre, en termes simples, souvent imagés, les avantages et les inconvénients ; il donne les motifs de son choix. Puis il pousse aussi loin que possible la solution qu'il a adoptée. Ainsi, le lecteur, qui se sent guidé, avance sans fatigue sur un terrain bien déblayé.
Le Traité de Tisserand n'est pas seulement un tableau soigneusement recomposé de tout ce qui avait été fait avant lui et de ce qu'il a fait lui-même. A propos de chaque question, il indique clairement ce qui reste à faire. Certains des problèmes ainsi posés ont reçu depuis lors leur solution : ce sont les seuls points sur lesquels le Traité soit aujourd'hui dépassé. Pour tout le reste, il est encore, après bientôt trois quarts de siècle, l'ouvrage fondamental où les étudiants du monde entier s'initient à la Mécanique céleste. C'est aussi le livre de chevet de tous les véritables spécialistes.
Louis Pasteur, qui n'avait pas oublié l'ancien élève de la rue d'Ulm, écrivait au Ministre de l'Instruction Publique, lors de la publication de la Mécanique céleste : « Il est de notoriété, parmi les astronomes et les mathématiciens les plus compétents, que seul, en France et en Europe, Tisserand était capable d'entreprendre et de mener à bien cet immense travail qui fait le plus grand honneur à la France ».
On pouvait espérer que la brillante carrière de Tisserand se poursuivrait longtemps encore, lorsqu'il mourut soudain à l'âge de 51 ans. Ayant achevé son grand Traité, il s'était peut-être réservé d'examiner plus à loisir les travaux récemment parus de Henri Poincaré sur l'évolution à longue échéance du système solaire et sur sa stabilité, travaux qu'il avait seulement indiqués dans un bref chapitre du dernier tome de son ouvrage. En astronome attaché par métier à la résolution de problèmes concrets, Tisserand aurait peut-être apporté d'utiles compléments à l'œuvre du grand mathématicien dont le regard se portait plus volontiers vers les principes fondamentaux que sur leurs applications. De son côté, Poincaré, succédant à Tisserand dans sa chaire de la Sorbonne, devait y développer et y commenter, avec un intérêt évident, certaines idées de son prédécesseur, notamment dans ses leçons sur la loi de Newton, manifestement conçues à la suite d'une lecture du Traité de Tisserand. Ces deux esprits, pourtant si dissemblables, étaient bien faits pour s'entendre, et l'on ne peut que déplorer la fin prématurée de leur association, puisque la science bénéficiait de leur amitié et leur mutuelle compréhension.


S O M M A I R E

T. I
Perturbations des planètes d'après la méthode de la variation des constantes arbitraires.

- De la loi de la gravitation universelle tirée des observations.
- Généralités sur l'attraction. Attraction des couches sphériques. Attraction d'un corps sur un point éloigné.
- Équations différentielles des mouvements des centres de gravité des corps célestes.
- Forme symétrique des équations différentielles du mouvement relatif des planètes.
- Équations différentielles du mouvement des planètes en coordonnées polaires.
- Problème des deux corps. Première approximation du mouvement des planètes. Mouvement elliptique. Mouvement parabolique. Mouvement hyperbolique.
- Intégration des équations différentielles du mouvement elliptique par la méthode de Jacobi.
- Recherches de Lagrange sur le problème des trois corps.
- Méthode de la variation des constantes arbitraires. Variation des éléments canoniques. Éléments osculateurs. Variation des éléments elliptiques.
- Variation des constantes arbitraires. Méthode de Lagrange.
- Considérations générales sur les perturbations planétaires; Perturbations des divers ordres. Perturbations du premier ordre. Inégalités périodiques. Inégalités séculaires. Inégalités à longues périodes. Perturbations du second ordre.
- Transcendantes de Bessel.
- Application des transcendantes de Bessel au mouvement elliptique.
- Théorème de Cauchy. Nombres de Cauchy.
- Formules de Hansen pour le développement de certaines fonctions des coordonnées du mouvement elliptique.
- Convergence des séries du mouvement elliptique.
- Sur certaines fonctions des grands axes qui se présentent dans le développement de la fonction perturbatrice.
- Développement de la fonction perturbatrice dans le cas où les excentricités et les inclinaisons mutuelles des orbites sont peu considérables.
- Transformation des différentielles des éléments elliptiques.
- Perturbations du premier ordre des éléments elliptiques.
- Perturbations du premier ordre des coordonnées héliocentriques.
- Premiers termes des perturbations périodiques des coordonnées.
- Découverte de Neptune.
- Inégalités du second ordre par rapport aux masses.
- Théorème de Poisson. Invariabilité des grands axes dans la deuxième approximation par rapport aux masses.
- Expressions générales des inégalités séculaires.
- Sur la méthode de Gauss pour le calcul des inégalités séculaires.
- Sur le développement de la fonction perturbatrice lorsque l'inclinaison mutuelle des orbites est considérable.
- Transformation de Hansen pour les équations différentielles des mouvements des planètes.

T. II
Théorie de la figure des corps célestes et de leur mouvement de rotation.

- Théorèmes généraux sur l'attraction.
- Transformations des dérivées premières du potentiel. Expressions des dérivées secondes. Équation de Poisson. Potentiel des surfaces. Potentiel logarithmique.
- Surfaces et couches de niveau. Théorèmes de Chasles et de Green.
- Attraction d'un ellipsoïde homogène sur un point matériel. Analyse de Lagrange. Théorème d'Ivory. Attraction d'un cylindre elliptique indéfini. Méthode de Gauss.
- Attraction des ellipsoïdes de révolution. Développements en séries. Attraction de quelques solides simples.
- Figure d'une masse fluide homogène animée d'un mouvement de rotation et dont toutes les parties s'attirent mutuellement suivant la loi de Newton. Ellipsoïdes de révolution de Maclaurin.
- Ellipsoïdes à trois axes inégaux de Jacobi. Théorème de Poincaré.
- Figure d'équilibre d'une masse fluide soumise à l'attraction d'un point éloigné.
- Figure de l'anneau de Saturne. Recherches de Laplace. Calculs de Maxwell.
- Anneau de Saturne. Mémoire de Sophie Kowalewski.
- Recherches de Poincaré sur les figures d'équilibre.
- Théorie de Maxwell pour l'anneau de Saturne.
- Figure d'équilibre d'une masse fluide hétérogène discontinue. Théorie de Clairaut.
- Équilibre d'une masse fluide hétérogène continue. Théorie de Clairaut.
- Examen des principales hypothèses proposées pour la constitution intérieure de la Terre.
- Théorie de la figure des planètes, fondée sur les développements en séries de fonctions sphériques. Polynômes de Legendre.
- Forme générale et propriétés des fonctions Y_n.
- Attraction des sphéroïdes. Théorie de Laplace.
- Remarques sur la théorie de Laplace. Potentiel d'un ellipsoïde de révolution. Potentiel d'une planète. Énergie potentielle de deux planètes. Théorème de Stokes.
- Aperçu des théories géodésiques.
- Figure de la Terre déterminée par le pendule.
- Équations différentielles du mouvement de rotation de la Terre.
- Intégration des équations du mouvement non troublé. Méthode élémentaire. Méthode de Hamilton-Jacobi. Variation des constantes arbitraires.
- Petitesse du module. Transformation des équations différentielles.
- Développement de la fonction perturbatrice.
- Fixité des pôles à la surface de la Terre. Invariabilité de la vitesse de rotation.
- Des formules de la précession et de la nutation.
- Libration de la Lune.
- Influence des actions géologiques sur la rotation de la Terre. Épaisseur et rigidité relative de l'écorce.
- Mouvement de rotation d'un corps de forme variable.

T. III
Exposé de l'ensemble des théories relatives au mouvement de la Lune.

- Étude de l'équation différentielle de Gyldén-Lindstedt.
- Équation de Hill.
- Théorie de la Lune de Newton.
- Théories de la Lune de Clairaut et d'Alembert.
- Première théorie de la Lune d'Euler.
- Deuxième théorie de la Lune d'Euler.
- Laplace, Damoiseau et Plana.
- Perfectionnements récents apportés à la méthode de Laplace.
- Théorie de Poisson.
- Théories de Lubbock et de Pontécoulant.
- Théorie de la Lune de Delaunay.
- Suite de la théorie de la Lune de Delaunay.
- Accélération séculaire de la Lune.
- Recherches de Hill sur la variation.
- Recherches de Hill sur les inégalités qui contiennent en facteur la première puissance de e.
- Travaux d'Adams sur la théorie de la Lune.
- Théorie de la Lune de Hansen.
- Calcul des inégalités planétaires du mouvement de la Lune.
- Sur l'état actuel de la théorie de la Lune.

T. IV
Théorie des satellites de Jupiter et de Saturne.
Perturbations des petites planètes.

- Théorie des satellites de Jupiter. Équations différentielles et fonctions perturbatrices.
- Inégalités principales des longitudes et des rayons vecteurs.
- Inégalités séculaires des nœuds et des inclinaisons.
- Inégalités périodiques des latitudes. Équations séculaires des longitudes.
- Des éclipses des satellites - Détermination des constantes.
- Perturbations de Japet.
- Théorie des satellites de Saturne - Perturbations d'Hypérion.
- Perturbations des satellites intérieurs.
- Les satellites de Neptune, de Mars et d'Uranus.
- Formules et méthodes d'interpolation.
- Formules de quadrature .Calcul numérique des perturbations.
- Des perturbations du mouvement des comètes lorsqu'elles approchent très près des planètes.
- Influence d'un milieu résistant sur les mouvements des planètes et des comètes.
- De la figure des atmosphères du Soleil et des planètes. Théorie cosmogonique de Laplace.
- Figure des comètes. Recherches de Roche.
- Recherches de Schiaparelli, Bessel et Charlier.
- Méthode de Cauchy pour le calcul des inégalités à longues périodes.
- Sur une méthode de Jacobi.
- Développement de Newcomb pour la fonction perturbatrice;
- Méthode de Hansen pour les perturbations des petites planètes.
- Suite de la méthode de Hansen. Développement de la fonction perturbatrice.
- Méthode de Hansen. Intégration.
- Méthode de Gyldén pour les perturbations des petites planètes.
- Suite de la méthode de Gyldén pour les perturbations des petites planètes.
- Recherches sur les cas de commensurabilité très approchée entre les moyens mouvements des petites planètes et celui de Jupiter
- Sur la forme générale des développements des coordonnées dans le mouvement de trois corps qui s'attirent mutuellement suivant la loi de Newton.
- Indication des travaux de Poincaré sur le problème des trois corps.
- Vitesse de propagation de l'attraction.
- Confrontation de la loi de Newton avec les observations. Le Verrier et Newcomb

LEÇONS SUR LA DÉTERMINATION DES ORBITES
- Préface de Henri Poincaré.

I - Méthode d'Olbers pour la détermination de l'orbite d'une comète.
- Formules du mouvement elliptique.
- Détermination de la position de la planète sur son orbite à une époque quelconque.
- Mouvement parabolique.
- Théorème d'Euler.
- Expression de l'aire du triangle rectiligne formé par les trois positions de l'astre.
- Résolution d'un problème fondamental dans la méthode d'Olbers.
- Méthode d'Olbers pour la détermination des orbites paraboliques.
- Simplification d'Encke pour la résolution des équations précédentes.
- Calcul des lieux héliocentriques.
- Résumé des formules pour la détermination d'une orbite parabolique, avec trois observations, par la méthode d'Olbers.
- Calcul de l'éphéméride d'une comète

II - Méthode de Gauss pour la détermination de l'orbite d'une planète avec trois observations.
- Marche à suivre pour faire les calculs.
- Équation en z de Gauss.
- Calcul des coordonnées héliocentriques correspondant aux observations extrêmes.
- Calcul des éléments elliptiques d'une planète connaissant deux lieux héliocentriques et le temps employé par la planète pour passer de la première position à la seconde.
- Résumé des formules employées pour le calcul des lieux héliocentriques extrêmes.
- Calcul des éléments.
- Sur les corrections de parallaxe et d'aberration.
- Résumé des formules pour obtenir, en première approximation, les éléments d'une orbite elliptique.
- Première détermination des éléments d'une orbite elliptique, avec trois observations, quand l'intervalle des observations extrêmes est au moins égal à deux mois.
- Deuxième détermination des éléments d'une orbite elliptique, avec trois nouvelles observations.
- Calcul de l'éphéméride d'une petite planète.
- Calcul de l'orbite elliptique d'une planète à l'aide des observations de toute une opposition. Méthode d'Oppolzer.
- Calcul d'une orbite circulaire.
- Modèle de calcul d'orbite.

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