La structure des Mathématiques a subi au cours des dernières années, une évolution considérable. Les récents développements utilisent certains concepts nouveaux tels que "module", "catégorie" et "morphisme" qui sont de nature algébrique et peuvent très bien être présentés de façon naturelle à partir de notions élémentaires. L'efficacité de ces idées nous incite à rénover la présentation de l'algèbre.
La clef de tout cet exposé est l'usage systématique des méthodes abstraites et axiomatiques qui remonte à l'algèbre moderne des années 1920. On se rendit compte à cette époque que l'algèbre ne s'intéresse pas primordialement à la manipulation des sommes et produits de nombres (tels que rationnels, réels, complexes) mais aux sommes et produits d'éléments quelconques – sous l'hypothèse que les sommes et produits d'éléments considérés satisfont aux règles de base convenables ou "axiomes" ; plus précisément, les axiomes d'"anneau" (addition, soustraction, multiplication) ou de "corps" (les trois opérations précédentes plus la division).
Il se produisit une transformation analogue dans le traitement des vecteurs. Initialement un vecteur de l'espace à trois dimensions était donné en termes de composantes relatives à un système donné d'axes, de telle sorte qu'un vecteur était défini comme un triplet de nombres. L'accent mis sur l'addition vectorielle et la multiplication d'un vecteur par un nombre réel (un scalaire) montra qu'il y aurait avantage à traiter les vecteurs, indépendamment de tout choix d'axes, comme les éléments d'un "espace vectoriel" réel dans lequel ces opérations sont définies et doivent satisfaire aux axiomes appropriés. Les mêmes axiomes (et la plupart des théorèmes) s'appliquent encore quand les scalaires ne sont plus des nombres réels mais des éléments d'un corps quelconque. De ce fait, l'algèbre des matrices apparut d'une façon plus claire et intrinsèque comme l'algèbre des applications linéaires.
D'autres branches de l'algèbre furent éclaircies par des reformulations analogues. Par exemple, on s'aperçut que la théorie de Galois avait affaire, non pas aux substitutions des racines d'un polynôme, mais au groupe des automorphismes du corps engendré par ces racines.
Toutes ces idées de l'algèbre moderne ont fait leur chemin dans l'enseignement au cours de la décennie suivante (celle des années 1930), au niveau 3^e cycle grâce à l'influence de Modern Algebra  de van der Waerden et plus tard au niveau première année de Faculté, grâce à divers ouvrages tel que notre A survey of modern algebra. Actuellement l'usage de ces idées est généralement admis.
Saunders MacLANE et Garrett BIRKHOFF, Avant-Propos