Prisonnier de guerre lors de la retraite de Moscou en 1812, Poncelet occupa ses loisirs forcés à retrouver les éléments de géométrie qui, bien des années auparavant lui avaient été enseignés, et à approfondir quelques idées neuves que ce travail lui avait suggérées. Ses très remarquables découvertes furent exposées plus tard dans son Traité des propriétés projectives des figures, publié en 1822, et qui fut pendant de longues années le seul ouvrage propre à initier les mathématiciens à cette géométrie moderne que Poncelet a la gloire d’avoir fondée.
L’objet principal de ce grand ouvrage est d’établir certaines relations entre deux figures qui sont la perspective l’une de l’autre, ce qui permet de ramener la recherche des propriétés d’une figure à celle des propriétés d’une figure plus simple. Par exemple, deux cercles donnent par projection conique deux courbes du second ordre, dont les propriétés découlent de celles des cercles.
En perspective, ces figures sont situées dans deux plans différents. Il est plus simple de supposer l’un des plans rabattus sur l’autre. Les deux figures sont alors dites homologiques l’une de l’autre ; le point de concours des droites qui joignent les points correspondants est le centre d’homologie et l’arête commune l’axe d’homologie. Le centre et l’axe d’homologie définissent la figure homologique d’une figure donnée.
Les principales propriétés des coniques que Poncelet découvrit au moyen de l’homologie sont celles-ci : les foyers d’une conique peuvent être considérés comme des cercles de rayon nul ayant un double contact avec la conique, définition qui a permis à Plücker de généraliser la notion de foyer ; lorsque plusieurs coniques ont mêmes sécantes communes, si l’on inscrit dans l’une de ces courbes un polygone dont tous les côtés moins un soient tangents aux autres courbes puis que l’on déforme le polygone en faisant glisser ses sommets sur la première conique et ses côtés sur les autres coniques, le côté libre et toutes les diagonales du polygone rouleront sur d’autres coniques ayant mêmes sécantes communes avec les proposées. Jacobi a fait une heureuse application de ce théorème aux fonctions elliptiques.
L’ouvrage de Poncelet renferme en outre l’exposé de la théorie des polaires réciproques, fondée sur une loi qui reçut de Gergonne le nom de principe de dualité.
W. W. Rouse BALL, Histoire des mathématiques, t. II, 1907