Les questions traitées dans cet Ouvrage appartiennent à la théorie descriptive des fonctions dont MM. Borel, Baire et Lebesgue sont les fondateurs. Je me suis proposé, d'une part, de continuer et d'étendre les recherches de M. R. Baire arrêtées à l'étude des fonctions de classe 3. J'ai, d'autre part, cherché à étudier des familles d'ensembles de points qui sont au delà de la classification de Baire. Cette étude s'est heurtée à des difficultés qui débordent la technique ordinaire de la théorie des ensembles, et qui sont visiblement liées aux controverses sur le continu considéré du point de vue arithmétique. C'est ici que nous pénétrons pratiquement dans le domaine des idées de M. É. Borel.
Ainsi, pendant mes recherches, je me suis placé sur le terrain des idées de M. É. Borel, idées qui m'ont aidé à m'orienter dans mes travaux et ont toujours guidé mon choix sur leur direction. Et en même temps ce sont les travaux de M. H. Lebesgue qui m'ont fourni la matière même de mes recherches. Son célèbre Mémoire Sur les fonctions représentables analytiquement est non seulement le point de départ de mon travail ; mais il est si étroitement lié à cet Ouvrage que ce dernier peut être considéré simplement comme un développement sur quelques points de ce Mémoire. Un autre point du Mémoire de M. H. Lebesgue, bien plus difficile que ceux traités ici et cependant encore plus important, est signalé à la fin de ce Livre.
Enfin, il ne m'est pas possible de passer sous silence les travaux synthétiques fondamentaux de M. Ch. de La Vallée Poussin et les recherches si importantes de M. A. Denjoy sur les ensembles clairsemés. Ces dernières recherches ont servi de base à mes études sur les classes supérieures de la classification de Baire.
Nicolas LUSIN, Avertissement

A reparaître

Ce livre est très connu en Europe de l'Est, où il sert souvent de base à un entraînement progressif aux compétitions (Olympiades) d'où se dégagent les noms des meilleurs mathématiciens de demain. Quel domaine est plus apte à déceler les qualités naturelles de finesse, d'intuition et de rigueur que la théorie des nombres ? Un exercice dont l'énoncé est compréhensible par tous, mais qui demande la mise en jeu complète de toutes les facultés mathématiques sans érudition inutile: voilà le patron de la plupart des problèmes ici rassemblés. On trouvera également de nombreuses « curiosités », dont on connaît le rôle éminemment positif dans le développement des mathématiques. La passion qui saisit, un jour, beaucoup de scientifiques pour ce genre de problèmes ne se dément presque jamais, que ce soit chez les mathématiciens professionnels ou les amateurs – qui sont légion.

Denis GERLL et André WARUSFEL, Préface

La théorie élémentaire des nombres est la discipline la mieux adaptée à un enseignement primaire des mathématiques. Elle ne demande que très peu de connaissances antérieures, et le sujet de son étude est concret et familier ; les méthodes de raisonnement employées sont simples, générales et peu nombreuses ; et elle est unique parmi les diverses branches des mathématiques pour la curiosité humaine qu'elle requiert.
G. H. HARDY, Bull. Amer. Soc. 35 (1929)