A reparaître

Le présent volume des « Œuvres de Henri Poincaré » contient tous les mémoires ou notes relatifs à la théorie générale des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables, et à la théorie des fonctions abéliennes ou connexes. On y a joint quelques notes brèves sur les séries trigonométriques, préliminaires aux travaux d'Astronomie qui seront publiés dans les tomes VII et VIII.
M. Georges Valiron, professeur à la Faculté des Sciences de Paris, avec sa compétence reconnue dans la théorie des fonctions analytiques, a établi le manuscrit définitif et ajouté une série de notes, destinées à orienter le lecteur vers les développements que ces travaux de Poincaré ont reçus jusqu'ici.
Gaston JULIA, Préface

A reparaître

Dans la théorie des fonctions de variables réelles, qui forme les onze premiers chapitres de ce livre, j'ai considéré plus particulièrement les fonctions qui sont en général continues ; ce sont celles que l'on rencontre le plus souvent dans les applications. Aussi ai-je donné la place principale à l'intégrale au sens de Riemann, et n'ai-je introduit l'intégrale de Stieltjes que dans les cas les plus simples. Mais j'ai exposé brièvement, à titre de complément, les premiers éléments de la théorie de Lebesgue : théorie de la mesure des ensembles linéaires et théorie des fonctions mesurables d'une variable (Chap. V). C'est également comme complément que je donne des indications sur les fractions continues arithmétiques (Chap. I, § III), la démonstration de la transcendance de e et de π (n° 50), une théorie indépendante des fonctions analytiques d'une variable réelle (Chap. VI, II), des considérations sur certaines intégrales curvilignes planes (n° 58) et sur les notions d'aire et de volume (n° 158).
J'ai insisté un peu plus qu'on ne le fait ordinairement sur les procédés de calcul numérique des intégrales définies ; la formule d'Euler et Mac-Laurin et la méthode de Gauss sont données en détail. La théorie de la série de Fourier, déjà connue en partie des étudiants de mathématiques générales, a été traitée par la méthode des moyennes arithmétiques ; elle est appliquée au problème des cordes vibrantes.
Dans la théorie des fonctions d'une variable complexe, j'ai fait jouer un rôle important à la représentation géométrique, c'est à dire à la représentation conforme. La transformation homographique est étudiée avec quelques détails et des indications sont données sur la géométrie de Poincaré, image de la géométrie de Lobatchewsky. J'ai apporté quelques compléments aux questions habituellement traitées dans les cours de calcul différentiel et intégral : théorème d'Hadamard sur la partie réelle (n° 184), théorème de Laguerre sur les polynômes à zéros réels (n° 193), théorème de Poincaré et Volterra sur le prolongement analytique (n° 201), formules de Jensen, Poisson et Nevanlinna (n°^s 207-208), théorème d'Hadamard sur la décomposition en facteurs des fonctions entières d'ordre fini (n° 210).
D'autre part, j'ai amorcé l'étude de quelques théories dont l'exposition, grâce aux efforts de nombreux mathématiciens contemporains, se présente désormais sous une forme simple et n'exigeant pas de longs développements. Je donne au Chapitre XV la démonstration du théorème sur la représentation conforme des aires simplement connexes à partir de théorèmes sur les suites de fonctions holomorphes ; j'en déduis les propositions les plus simples sur la représentation conforme d'un demi-plan sur un polygone ou sur un triangle circulaire (théorèmes de Schwarz), puis à l'aide de la fonction modulaire elliptique des théorèmes de Picard, Landau, Schottky, Julia. Dans la théorie des fonctions elliptiques (Chap. XVI), les fonctions de Jacobi sont introduites à la suite de l'étude des fonctions qui restent invariantes par la multiplication de la variable par un facteur fixe. Dans le dernier chapitre, je donne d'abord les théorèmes de Borel et de Mittag-Leffler sur le prolongement analytique, comme applications des propriétés de la fonction eulérienne gamma et de théorèmes de Lindelöf et Phragmén ; puis, après avoir étudié les fonctions introduites par Riemann dans la théorie analytique des nombres, je termine ce premier volume par la démonstration, d'après Hadamard et Landau, de la formule donnant l'expression asymptotique du n^ième nombre premier.
Georges VALIRON, Préface