Les éléments des Mathématiques présentent deux divisions bien tranchées : d'une part, l'Arithmétique et l'Algèbre ; de l'autre, la Géométrie. Rien de plus différent, à leur début, que les considérations et les méthodes propres à ces deux parties d'une même science, et, bien qu'associées dans la Géométrie analytique, elles restent essentiellement distinctes si loin qu'on les poursuive, et paraissent se rapporter à des aptitudes et à des tendances intellectuelles spéciales. Ce double point de vue de l'Algèbre et de la Géométrie se retrouve dans le Calcul différentiel et le Calcul intégral ; on peut dire en effet de ces nouvelles branches de Mathématiques qu'elles sont comme une Algèbre plus vaste et plus féconde, appliquées à des questions de Géométrie inaccessibles au Calcul élémentaire, telles que la quadrature des courbes, la détermination des volumes limités par des surfaces quelconques, la rectification des courbes planes ou gauches, etc.
Cet aperçu ne justifie point au premier abord la dénomination , souvent employée, de Calcul infinitésimal, qui semble annoncer une étude et une science de l'infini, résultant d'un rôle plus étendu de cette notion que dans les éléments. En réalité, le rôle de l'infini, dans ces régions élevées des Mathématiques, est en entier résumé dans un petit nombre de propositions du caractère le plus simple, et telles qu'on pourrait les énoncer et les démontrer dès le commencement de la Géométrie. C'est l'application répétée de ces mêmes propositions qui constitue ce qu'on nomme la méthode infinitésimale, méthode qui sera bientôt exposée, et dont il sera donné dans ce Cours de nombreux exemples. Mais, dès à présent, nous devons dire qu'en se montrant de plus en plus féconde, la notion de l'infini reste toujours simplement la notion d'une grandeur supérieure à toute grandeur donnée, et que les conditions de son emploi restent toujours celles des éléments de la Géométrie. Autant que peut le donner un premier aperçu, l'objet de ces leçons est donc une continuation de l'Algèbre, en y joignant quelques principes très élémentaires sur l'infini, qui conduisent à résoudre par le calcul les questions de Géométrie dont il a été parlé précédemment. Avant d'entrer dans ces matières, il est donc naturel de jeter un coup d'œil sur l'Algèbre, afin de ne laisser aucune solution de continuité entre ce cours et l'enseignement qui l'a précédé.
Je rappellerai d'abord qu'on a commencé par étendre aux quantités littérales les opérations ordinaires de l'Arithmétique, addition, soustraction, multiplication et division. On traite ensuite de la résolution des équations et systèmes d'équations du premier degré, et l'on aborde enfin les équations de degré quelconque. Or, à propos de la division algébrique, apparaît déjà la considération toute spéciale des polynômes ordonnés par rapport aux puissances d'une variable, dont l'étude plus approfondie, constitue plus précisément ce qu'on nomme la théorie générale des équations. Les éléments d'Algèbre ont donc pour principal objet les propriétés des fonctions rationnelles et entières d'une variable, et ils conduisent ainsi à l'Analyse, c'est à dire à l'étude générale des fonctions. Ce qui concerne la résolution des équations du premier degré à plusieurs inconnues se rattache d'ailleurs au même point de vue, car alors on ne fait au fond qu'établir certaines propriétés d'un système de fonctions linéaires de plusieurs variables. Mais ici il importe de rendre parfaitement clair ce qu'on entend dire par étude générale des fonctions.
Il a été question tout à l'heure de polynômes ; or les éléments conduisent encore à d'autres expressions qu'on nomme transcendantes, par exemple l'exponentielle et le logarithme, et en second lieu le sinus, le cosinus, la tangente d'un arc. Les premières sont étudiées en Algèbre même, et les autres sont le sujet de la Trigonométrie, qui n'est visiblement qu'un chapitre spécial d'Algèbre, donnant, parmi bien d'autres conséquences, la résolution numérique des triangles. Maintenant on peut poser une question : N'existe-t-il de fonctions que celles dont nous venons de parler et leurs combinaisons ? Si la réponse était affirmative, l'Analyse laisserait apercevoir ses bornes, son champ serait fini et limité ; mais il est bien loin d'en être ainsi, le Calcul différentiel et le Calcul intégral étendent indéfiniment leur domaine en fournissant l'origine et posant la base de l'étude d'un nombre infini de fonctions nouvelles. Ainsi l'on comprend que Lagrange ait donné à l'un de ses Ouvrages, qui est précisément consacré à une exposition des principes du Calcul différentiel et du Calcul intégral, le titre de Leçons sur le Calcul des fonctions. En suivant la pensée de ce grand géomètre, nous allons présenter sur les fonctions connues par les éléments quelques considérations qui serviront d'introduction à ce Cours, et dont il sera souvent fait usage par la suite.
Charles HERMITE, Introduction

Les Leçons suivantes, destinées à servir de commentaire et de supplément à la première Partie de la Théorie des fonctions analytiques, offrent un cours d'Analyse sur cette partie du calcul qu'on nomme communément infinitésimale ou transcendante, et qui n'est proprement que le Calcul des fonctions.
Ceux qui ont étudié le Calcul différentiel pourront se former, dans ces Leçons, des notions simples et exactes de ce Calcul ; ils y trouveront aussi des formules et des méthodes nouvelles, ou qui n'ont pas encore été présentées avec toute la clarté et la généralité qu'on pourrait désirer.
Dans cette nouvelle Édition, on a retouché plusieurs endroits pour y mettre plus de clarté et de simplicité, et on a inséré différentes additions dont les principales se trouvent dans les Leçons dix-huitième, vingt et unième et vingt-deuxième. Cette dernière contient un traité complet du Calcul des variations.
Joseph-Louis LAGRANGE, Avertissement

Les Feuilles d'Analyse appliquée à la Géométrie contiennent avec la présentation nouvelle de théories déjà connues, la systématisation et l'extension de résultats dispersés dans les études antérieures de Monge ainsi que l'exposé de résultats nouveaux de la plus haute importance.
Si les chapitres relatifs aux plans tangents et aux normales ou à la courbure des surfaces n'apportent pas de grands progrès sur les travaux antérieurs relatifs aux mêmes sujets, ils en renouvellent ou en précisent l'exposé. Les divers types de surfaces étudiés ne sont pas nouveaux et Monge avait rencontré la plupart d'entre eux dans ses travaux précédents, mais il ne leur avait consacré que des études très brèves, tandis que les différents chapitres des Feuilles d'Analyse en constituent des monographies assez complètes. Deux fils directeurs le guident dans cette voie : l'étude conjuguée des familles de surfaces définies par un même mode de génération et des équations aux dérivées partielles correspondantes et la théorie des caractéristiques qui apparaît pour la première fois de façon explicite dans cet ouvrage.
Cette œuvre tient une place de premier plan dans l'histoire de la géométrie infinitésimale.
René TATON, L'œuvre scientifique de Monge, 1951