Quelqu'un demandait un jour à J.-B. Dumas, à propos de Claude Bernard : « Que pensez-vous de ce grand physiologiste ? », et Dumas répondit : « Ce n'est pas un grand physiologiste, c'est la Physiologie elle-même. » On pourrait dire pareillement de Henri Poincaré qu'il ne fut pas seulement un grand mathématicien, mais la Mathématique elle-même.
Dans l'histoire des Sciences mathématiques, peu de mathématiciens ont eu, comme lui, la force de faire rendre à l'esprit mathématique tout ce qu'il était à chaque instant capable de donner. En Mathématiques pures sa puissance d'invention fut prodigieuse, et l'on reste confondu devant la maîtrise avec laquelle il savait forger l'outil le mieux approprié dans toutes les questions qu'il attaquait.
Poincaré ne fut étranger à aucune des sciences parvenues à un stade assez avancé pour être susceptible de prendre, au moins dans certaines de leurs parties, une forme mathématique. Il a été en particulier un grand critique des théories de la Physique moderne, habile à les comparer et à mettre en évidence leur véritable origine, aimant aussi à signaler leurs points faibles et leurs contradictions.
[...]
Ce qui caractérise le génie mathématique de Poincaré, c'est sa puissance à embrasser d'emblée les questions dans toute leur généralité et à créer de toutes pièces l'instrument analytique permettant l'étude des problèmes posés. D'autres, et c'est ainsi qu'opèrent la majorité des chercheurs, commencent par s'enquérir de ce qui a été fait dans la voie qu'ils veulent explorer ; la documentation est pour eux un travail préliminaire. Poincaré s'attarde rarement à étudier les travaux antérieurs. Tout au plus, parcourt-il rapidement quelques-uns d'entre eux ; de vagues indications lui permettent de retrouver des Chapitres entiers d'une théorie.
Émile PICARD, L'œuvre de Henri Poincaré, Annales scientifiques de l'É.N.S., 3^e série, tome 30 (1913)

L'intégration des équations différentielles et aux dérivées partielles est restée jusqu'ici le problème central de la mathématique moderne. Elle en restera vraisemblablement encore l'un des problèmes capitaux, même si la Physique poursuit vers le discontinu l'évolution qui se dessine à l'heure actuelle.
La théorie des équations différentielles fut aussi la première à attirer l'attention de Poincaré. Elle fait l'objet de sa Thèse (1879).
Notons cependant que, sous l'influence du maître qui gouverna la génération précédente, j'ai nommé Hermite, le débutant ne craignait pas de suivre presque au même moment une voie pour ainsi dire opposée à la première, celle de l'Arithmétique.
La Thèse de Poincaré contient déjà sur les équations différentielles un résultat d'une forme remarquable, destinée à être plus tard pour lui un puissant levier dans ses recherches de mécanique céleste. Dès ce premier travail, il était, d'autre part, conduit à perfectionner le principal outil dont se fût servi jusque là, la théorie des équations différentielles, outil qu'il allait utiliser mieux que qui que ce soit, en même temps que le premier, il allait enseigner à s'en passer : la théorie des fonctions analytiques.
Celle-ci allait, presque immédiatement après, lui devoir une de ses plus belles conquêtes : c'est en 1880 que les fonctions fuchsiennes vinrent désigner Poincaré à l'attention et à l'admiration de tous les géomètres.
Jacques HADAMARD, L'œuvre mathématique de Poincaré, Acta Mathematica, Band 38 (1921)

A reparaître

Les recherches et les publications de Henri Poincaré sur l'Algèbre et l'Arithmétique sont très diverses. Certaines se rattachent à des travaux contemporains d'Arithmétique qu'il a enrichis de méthodes et d'idées nouvelles.
C'est ainsi qu'un grand nombre de ses Notes et de ses Mémoires ont été inspirés par des travaux, des exposés ou des méthodes de Clebsch, Steiner,Lie, Sylvester, Laguerre, Appell, Hill, Hadamard, Gauss, Bravais, Eisenstein, Hermite, Selling, Korkine et Zolotareff, Lejeune Dirichlet, Kummer, Dedekind, Jordan, Tchebicheff, Fredholm, etc...
D'autres concernent des applications à l'arithmétique de ses découvertes d'analyse, mais aussi l'utilisation de l'arithmétique dans la construction de cette analyse. C'est le cas pour les études sur les invariants arithmétiques, sur les groupes fuchsiens, dont certains qualifiés arithmétiques sont engendrés par des substitutions automorphes de formes quadratiques, sur les fonctions fuchsiennes définies par ces groupes arithmétiques et qui ont un théorème d'addition ; sur les propriétés arithmétiques des courbes algébriques. On sait notamment que ce dernier travail a été l'origine de nombreuses recherches ultérieures.
Albert CHÂTELET, Note

Extrait de l'Introduction du célèbre Mémoire Sur le problème des trois corps et les équations de la Dynamique (Mémoire couronné du Prix de S. M. le roi Oscar II de Suède) (Acta Mathematica, t. 13, 1890)
Le travail qui va suivre et qui a pour objet l'étude du problème des trois corps est un remaniement du Mémoire que j'avais présenté au Concours pour le prix institué par sa Majesté le Roi de Suède. Ce remaniement était devenu nécessaire pour plusieurs raisons. Pressé par le temps, j'avais dû énoncer quelques résultats sans démonstration ; le lecteur n'aurait pu, à l'aide des indications que je donnais, reconstituer les démonstrations qu'avec beaucoup de peine. J'avais songé d'abord à publier le texte primitif en l'accompagnant de notes explicatives ; mais j'avais été amené à multiplier ces notes de telle sorte que la lecture du Mémoire serait devenue fastidieuse et pénible.
J'ai donc préféré fondre ces notes dans le corps de l'ouvrage, ce qui a l'avantage d'éviter quelques redites et de faire ressortir l'ordre logique des idées.
Je dois beaucoup de reconnaissance à M. Phragmén qui non seulement a revu les épreuves avec beaucoup de soin, mais qui, ayant lu le Mémoire avec attention et en ayant pénétré le sens avec une grande finesse, m'a signalé les points où des explications complémentaires lui semblaient nécessaires pour faciliter l'entière intelligence de ma pensée.

Extrait de la Table des matières du Mémoire Sur le problème des trois corps et les équations de la Dynamique
- Introduction
Première Partie : Généralités
- Propriétés générales des équations différentielles.
- Théorie des invariants intégraux.
- Théorie des solutions périodiques.
Deuxième Partie : Équations de la Dynamique et Problème des n corps
- Étude des cas où il n'y a que deux degrés de liberté.
- Étude des surfaces asymptotiques.
- Résultats divers.
- Tentatives de généralisation.

Les tomes 9 et 10 de la présente publication contiennent les travaux de Henri Poincaré sur la Physique mathématique et sur divers problèmes de théorie physique. Comme à toutes les branches des Mathématiques, comme à la Mécanique générale et à la Mécanique céleste, comme au Calcul des Probabilités, Poincaré a apporté à la Physique mathématique et théorique de son temps des contributions d'une importance capitale portant la marque de l'originalité et de la profondeur d'un esprit extraordinairement puissant dont la capacité de travail était véritablement inouïe.
Louis de BROGLIE, Préface

Extrait de l'allocution d'Émile BOREL à la Sorbonne le 15 mai 1954

Le trait le plus frappant du caractère d'Henri Poincaré, pour ceux qui l'ont approché, c'est sa passion pour la recherche scientifique et son désir d'y consacrer tout son temps, sans en détourner une parcelle dans des travaux qu'il regarde comme accessoires. Il n'accepta jamais des fonctions administratives, comme celles de doyen ou de secrétaire perpétuel, non qu'il en méconnut l'utilité, mais il pensait que d'autres pouvaient l'y remplacer, tandis que lui seul pourrait résoudre certains problèmes.
Le souci d'économiser son temps se manifestait dans les plus petits détails. C'est ainsi qu'un jour où je lui demandais un tirage à part d'un de ses Mémoires, il me dit : « Je ne fais plus de tirage à part, car c'était ma femme qui les envoyait et, depuis que nous avons des enfants, elle n'en a plus le loisir.
En me remettant les épreuves d'un article, qu'il avait bien voulu écrire pour La Revue du mois, il me dit : « Bien entendu, je n'ai corrigé que les fautes qui trahissaient ma pensée ; c'est l'affaire des imprimeurs et des secrétaires de rédaction de découvrir les fautes typographiques ; je ne perds jamais mon temps à les corriger, même si je les aperçois! »
Quand il inventa les fonctions fuchsiennes, il constata qu'il y a économie de temps à appeler droites les cercles qui ont leur centre sur l'axe des X et de définir également les angles et les distances d'une manière qui correspond à une certaine géométrie non euclidienne. Ces manières de parler abrégées sont commodes, donc tout se passe comme si elles étaient vraies ; de là à dire que les diverses géométries non euclidiennes sont également vraies, il n'y a qu'un pas qu'il franchit aisément.
De même , lorsqu'il découvre la divergence des séries de la Mécanique céleste, il ne perd pas son temps à rechercher des séries convergentes ; il préfère montrer que les séries divergentes peuvent être aussi utiles et efficaces que des séries convergentes.
En Calcul des probabilités, il montre que la définition de la probabilité élémentaire peut comporter une fonction arbitraire assujettie seulement à des conditions très larges de continuité, sans modifier les conséquences les plus importantes.
Il en est de même dans la théorie de la Relativité. L'espace-temps de Newton est parfois le plus commode, tandis que pour d'autres problèmes, ce sont les formules de la Relativité générale qui doivent être employées.
C'est dans le même esprit qu'il a traité les questions posées par la Physique nouvelle, notamment pour les quanta, mais je n'ai pas à revenir sur ces questions dont on vient de parler mieux que je ne saurais le faire.
Certains ont regardé Poincaré comme un sceptique, d'autres comme le précurseur des théories axiomatiques ; mais il aurait refusé de se laisser embrigader dans une secte quelconque, même si cette secte pouvait se réclamer de sa pensée.
Pour lui, la morale du savant se résume en une règle que réprouve la simple morale : la fin justifie les moyens.
La fin, c'est la connaissance de l'Univers, c'est l'accord entre les résultats numériques déduits des formules et les nombres inscrits par les physiciens et les astronomes sur leurs cahiers d'observations. Les moyens, pour le mathématicien, ce sont les formules et un langage qu'il a le droit de créer à sa convenance du moment qu'ils lui sont commodes ; ces moyens ne sont jamais immoraux, ils ne sont ni vrais ni faux et le savant doit être laissé libre de les choisir à son gré.