Le Calcul des variations n'est autre chose qu'un premier chapitre de la doctrine qu'on nomme aujourd'hui le Calcul Fonctionnel et dont le développement sera sans doute l'une des tâches qui s'imposeront les premières à l'Analyse de l'avenir.
Cette idée est celle dont je me suis inspiré avant tout, tant dans le cours professé sur ce sujet au Collège de France que dans la rédaction du présent ouvrage.
Un chapitre spécial a été, en conséquence, consacré au Calcul Fonctionnel envisagé en lui-même. Des travaux tels que ceux de MM. Volterra, Pincherle, Bourlet, etc. ont, on le sait, ouvert la voie à suivre et permettent d'ores et déjà de généraliser parallèlement à la notion de différentielle, celle de variation première.
Leur exposition avait sa place marquée dans ce qui va suivre.
Le point de vue ainsi adopté a entraîné certains changements que je n'ai pu me dispenser d'apporter à la terminologie en usage.
Ce n'est pas sans peine que je me suis résigné, en particulier, à m'écarter de la tradition de Weierstrass en renonçant à la locution de champ d'extrémales, d'autant plus que j'ai dû lui substituer plusieurs mots nouveaux (ceux de faisceaux et de régulier). Ce dédoublement est peut-être, cependant, plus conforme à la nature des choses : et, surtout, je n'avais pas le choix : j'étais obligé, par la conception générale de l'ouvrage, telle que je l'ai indiquée dans ce qui précède, d'introduire la locution de champ fonctionnel, consacrée, elle aussi, par l'usage, et qui paraît impossible à remplacer.
Il m'a fallu, d'autre part, introduire, tant pour les extrêma ordirnaires que pour ceux du Calcul des variations, les mots "extremum libre" et "extremum lié", substitués à ceux d'extremum absolu ou relatif. Ces derniers étaient jusqu'ici, employés chacun dans deux sens différents : une telle ambiguïté m'a paru inadmissible dans l'étude qui nous occupe.
C'est avec la même préoccupation de mettre en évidence les analogies et les différences qui existent entre les variations des nombres et celles des fonctions, qu'ont été examinées les difficultés de diverse nature que soulève le Calcul des variations. Aussi ai-je insisté avant tout sur celles qui lui sont particulières, en donnant aussi peu d'importance que possible aux questions qui appartiennent au domaine du Calcul différentiel et intégral classique. Ces dernières ont été élucidées dans d'excellents traités tels que celui d'Adolf Kneser - qui, faisant connaître d'une manière complète les principales découvertes de Weierstrass sur le sujet qui nous occupe, a été l'occasion de mon enseignement au Collège de France - et celui, plus récent de M. Bolza. Je n'ai d'ailleurs pu citer, toutes les fois que je les ai utilisés, ces deux ouvrages, non plus que les nombreux travaux auxquels le Calcul des variations a donné lieu dans ces dernières années : J'espère que leurs auteurs voudront bien m'en excuser.
Je ne veux plus maintenant qu'adresser mes remerciements à mon ami et ancien élève Maurice Fréchet, qui a pris une si large part à la rédaction de ces leçons. Le Calcul Fonctionnel lui doit déjà, d'ailleurs, de belles et importantes contributions personnelles, et lui en devra, sans doute, d'autres encore dans l'avenir.
Jacques HADAMARD, Avant-Propos

Dans le cours que j'ai professé au Collège de France, pendant les années 1898-1899 et 1899-1900, et dont diverses circonstances ont retardé la publication, je me suis proposé principalement de rechercher comment s'exerce l'influence des conditions aux limites sur le mouvement des fluides.
S'il s'agit des liquides, la question revient à un problème analogue à celui de Dirichlet, le problème de Neumann qui fait l'objet du premier Chapitre de cet ouvrage. La théorie des fonctions harmoniques a subi, dans ces derniers temps, d'importants perfectionnements dont la plupart ne se rattachaient que de loin à mon sujet; j'ai utilisé, en les empruntant à un mémoire de M. Stekloff, ceux qui intéressent directement le problème de Neumann.
Dans le cas des gaz, on est, au contraire, conduit à la théorie d'Hugoniot, sur laquelle l'attention a été attirée depuis quelques années, grâce aux leçons d'Hydrodynamique, Élasticité et Acoustique de M. Duhem.
Pour rendre tous les services que la Mécanique peut en attendre, cette théorie, m'a paru réclamer quelques compléments. C'est .ainsi que j'ai dû mettre en évidence les faits d'ordre purement cinématique en les séparant de ceux qui dépendent des propriétés dynamiques du mouvement. Moyennant cette distinction, ainsi qu'on devait s'y attendre, beaucoup de points de vue s'éclaircissent. Grâce à elle, en particulier, une représentation géométrique apparaît immédiatement. Celle-ci, à son tour, permet de rendre plus étroite l'analogie qui existe entre les .ondes telles que les conçoit Hugoniot et celles que considère la mécanique vibratoire.
Enfin, il y avait lieu de rapprocher de la théorie d'Hugoniot celle des caractéristiques des équations à plus de deux variables indépendantes qui en est l'expression analytique et dont J. Beudon, avant sa mort cruellement prématurée, a pu poser les fondements.
La résolution du problème de Cauchy pour les équations linéaires, suivant la voie ouverte par Kirchhoff, se relie d'une manière directe à la notion de caractéristique et se plaçait naturellement après elle.
Jacques HADAMARD, Avant-Propos

ARTICLES :

I-9 : FONCTIONS RATIONNELLES
E. Netto - R. Le Vavasseur

I-10 : PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES CORPS ET DES VARIÉTES ALGÉBRIQUES
G. Landsberg - J. Hadamard - J. Kurschak

I-11 : THÉORIE DES FORMES ET DES INVARIANTS *
W .F. Meyer - J. Drach

* La fin de l'article n'a pas été publiée en raison de la guerre.