Le premier Volume est consacré tout entier à la théorie ; dans les treize premiers Chapitres, elle est exposée complètement et sans faire appel à la théorie générale des fonctions ; dans le quatorzième, l'auteur retrouve les mêmes résultats en s'appuyant sur les principes de l'Analyse moderne. A-t-il voulu par là montrer, par un exemple éclatant, la puissance de cette analyse qui conduit, en si peu de pages, à un but que l'on ne pouvait atteindre sans elle qu'à l'aide de tant de génie et au prix de tant d'efforts ? Non, son but est tout différent et il l'explique lui-même dans sa Préface : ses premiers Chapitres n'ont pas été écrits pour les géomètres de profession ; sans doute, ils trouveront beaucoup à y apprendre et ils se réjouiront d'y rencontrer le spectacle de nombreuses difficultés vaincues et d'une sorte de gageure gagnée. Mais cette première partie de ce grand Ouvrage est avant tout destinée aux savants qui veulent devenir capables d'appliquer ces transcendances à la Mécanique et à la Physique, et qui ne sont pas au courant des travaux de Cauchy. Ils pourront y étudier la théorie des fonctions elliptiques réduite à une sorte de Trigonométrie, un peu plus compliquée que celle qu'on enseigne aux élèves d'élémentaires, et n'auront besoin que de connaître la définition des intégrales réelles.
Halphen a-t-il réussi à rendre cette doctrine abordable à des mathématiciens aussi peu avancés ? Je crois que oui, mais ce n'est pas à nous d'en juger.
Les divers développements en séries ou en produits tiennent une grande place dans ce premier Volume ; aucun, sans doute, n'est nouveau, mais ils sont tous reliés les uns aux autres d'une façon simple et exposés par des procédés élégants et ingénieux.
Je citerai surtout, page 405, la manière d'obtenir le développement de θ en produit en partant du développement en série ; elle est plus directe que celle que nous devons à Jacobi.
Le second Volume a pour objet les principales applications des fonctions elliptiques.
L'auteur commence par les applications mécaniques, et il traite successivement de la rotation d'un corps solide soustrait à l'action de toute force et tournant autour d'un point fixe, de celle d'un corps grave de révolution suspendu par un point de son axe, du mouvement d'un corps solide dans un liquide parfait indéfini en l'absence de force accélératrice, de la courbe élastique, de l'attraction de l'anneau elliptique de Gauss.
Viennent ensuite les applications géométriques aux lignes géodésiques des ellipsoïdes de révolution, auxquelles se rattachent divers problèmes pratiques de Géodésie, aux polygones de Poncelet, inscrits à une conique et circonscrits à une autre conique, aux cubiques planes et enfin aux biquadratiques gauches.
Puis les applications au Calcul intégral, la quadrature des intégrales pseudo-elliptiques, l'intégration de l'équation d'Euler, l'étude approfondie de l'équation de Lamé, si intimement liée à tant de problèmes importants de Physique et d'Astronomie, et enfin l'intégration de plusieurs classes étendues d'équations différentielles linéaires.
Henri POINCARÉ, Notice sur Halphen, Journal de l'École Polytechnique, 60^e Cahier, 1890