« Ceux qui l'ont entendu, nous dit Émile Picard, garderont toujours le souvenir de cet enseignement incomparable. Quelles merveilleuses causeries, d'un ton grave que relevait par moment l'enthousiasme, où à propos de la question la plus élémentaire, il faisait surgir tout à coup d'immenses horizons et où, à côté de la Science d'aujourd'hui, on apercevait tout à coup la Science de demain. Jamais professeur ne fut moins didactique, mais ne fut plus vivant. »
« Ceux qui ont eu l'heureuse fortune d'être les élèves du grand géomètre, écrit  Paul Painlevé, ne sauraient oublier l'accent presque religieux de son enseignement, le frisson de beauté et de mystère qu'il faisait passer à travers son auditoire devant quelque admirable découverte ou devant l'inconnu. Hermite fut un professeur incomparable, sa parole saisissante ouvrait brusquement de larges horizons sur les régions de la Science ; elle suggérait à la curiosité et à l'attention les problèmes nouveaux et essentiels, mais surtout elle communiquait l'amour et le respect des idéales vérités. Dans l'inoubliable journée de son jubilé, en accueillant l'hommage d'admiration de tous les pays, l'illustre Analyste parle en termes pleins de noblesse de la corrélation étroite et secrète qui existe entre le sentiment de la justice et du devoir et l'intelligence de vérités absolues de la Géométrie. Cette corrélation semblait évidente quand on écoutait ses leçons. »
« Nos élèves, nous dit Jules Tannery en parlant de l'École Normale, continuent de recevoir à la Sorbonne un enseignement dont l'éclat n'a fait que grandir ; ils écoutent cette parole d'une éloquence si particulière où il y a du recueillement, de la solennité et une sorte de tendresse passionnée. Ils jouissent de cette lumière qui va jusqu'au fond des choses, qui les sépare et les réunit, qui en montre les liens les plus délicats, qui donne aux abstractions mathématiques la couleur et la vie. »
« C'est à la Sorbonne, écrit Émile Borel, que j'ai suivi les leçons d'Hermite ; c'est là que j'ai entendu cette parole si vivante exposer, avec respect à la fois et avec amour, les belles vérités de l'Analyse. C'était un grand prêtre de la divinité du Nombre qui nous en dévoilait les mystères redoutables et sacrés. Les questions les plus arides, les calculs en apparence les plus ingrats, se transfiguraient, tant il avait l'intuition de leurs secrètes beautés. Quelques uns peut-être ont eu, autant qu'Hermite le pouvoir de faire comprendre et admirer les Mathématiques ; nul n'a su les faire aimer aussi profondément que lui. »
Gaston DARBOUX, Notice historique sur Charles Hermite, 1905

Les éléments des Mathématiques présentent deux divisions bien tranchées : d'une part, l'Arithmétique et l'Algèbre ; de l'autre, la Géométrie. Rien de plus différent, à leur début, que les considérations et les méthodes propres à ces deux parties d'une même science, et, bien qu'associées dans la Géométrie analytique, elles restent essentiellement distinctes si loin qu'on les poursuive, et paraissent se rapporter à des aptitudes et à des tendances intellectuelles spéciales. Ce double point de vue de l'Algèbre et de la Géométrie se retrouve dans le Calcul différentiel et le Calcul intégral ; on peut dire en effet de ces nouvelles branches de Mathématiques qu'elles sont comme une Algèbre plus vaste et plus féconde, appliquées à des questions de Géométrie inaccessibles au Calcul élémentaire, telles que la quadrature des courbes, la détermination des volumes limités par des surfaces quelconques, la rectification des courbes planes ou gauches, etc.
Cet aperçu ne justifie point au premier abord la dénomination , souvent employée, de Calcul infinitésimal, qui semble annoncer une étude et une science de l'infini, résultant d'un rôle plus étendu de cette notion que dans les éléments. En réalité, le rôle de l'infini, dans ces régions élevées des Mathématiques, est en entier résumé dans un petit nombre de propositions du caractère le plus simple, et telles qu'on pourrait les énoncer et les démontrer dès le commencement de la Géométrie. C'est l'application répétée de ces mêmes propositions qui constitue ce qu'on nomme la méthode infinitésimale, méthode qui sera bientôt exposée, et dont il sera donné dans ce Cours de nombreux exemples. Mais, dès à présent, nous devons dire qu'en se montrant de plus en plus féconde, la notion de l'infini reste toujours simplement la notion d'une grandeur supérieure à toute grandeur donnée, et que les conditions de son emploi restent toujours celles des éléments de la Géométrie. Autant que peut le donner un premier aperçu, l'objet de ces leçons est donc une continuation de l'Algèbre, en y joignant quelques principes très élémentaires sur l'infini, qui conduisent à résoudre par le calcul les questions de Géométrie dont il a été parlé précédemment. Avant d'entrer dans ces matières, il est donc naturel de jeter un coup d'œil sur l'Algèbre, afin de ne laisser aucune solution de continuité entre ce cours et l'enseignement qui l'a précédé.
Je rappellerai d'abord qu'on a commencé par étendre aux quantités littérales les opérations ordinaires de l'Arithmétique, addition, soustraction, multiplication et division. On traite ensuite de la résolution des équations et systèmes d'équations du premier degré, et l'on aborde enfin les équations de degré quelconque. Or, à propos de la division algébrique, apparaît déjà la considération toute spéciale des polynômes ordonnés par rapport aux puissances d'une variable, dont l'étude plus approfondie, constitue plus précisément ce qu'on nomme la théorie générale des équations. Les éléments d'Algèbre ont donc pour principal objet les propriétés des fonctions rationnelles et entières d'une variable, et ils conduisent ainsi à l'Analyse, c'est à dire à l'étude générale des fonctions. Ce qui concerne la résolution des équations du premier degré à plusieurs inconnues se rattache d'ailleurs au même point de vue, car alors on ne fait au fond qu'établir certaines propriétés d'un système de fonctions linéaires de plusieurs variables. Mais ici il importe de rendre parfaitement clair ce qu'on entend dire par étude générale des fonctions.
Il a été question tout à l'heure de polynômes ; or les éléments conduisent encore à d'autres expressions qu'on nomme transcendantes, par exemple l'exponentielle et le logarithme, et en second lieu le sinus, le cosinus, la tangente d'un arc. Les premières sont étudiées en Algèbre même, et les autres sont le sujet de la Trigonométrie, qui n'est visiblement qu'un chapitre spécial d'Algèbre, donnant, parmi bien d'autres conséquences, la résolution numérique des triangles. Maintenant on peut poser une question : N'existe-t-il de fonctions que celles dont nous venons de parler et leurs combinaisons ? Si la réponse était affirmative, l'Analyse laisserait apercevoir ses bornes, son champ serait fini et limité ; mais il est bien loin d'en être ainsi, le Calcul différentiel et le Calcul intégral étendent indéfiniment leur domaine en fournissant l'origine et posant la base de l'étude d'un nombre infini de fonctions nouvelles. Ainsi l'on comprend que Lagrange ait donné à l'un de ses Ouvrages, qui est précisément consacré à une exposition des principes du Calcul différentiel et du Calcul intégral, le titre de Leçons sur le Calcul des fonctions. En suivant la pensée de ce grand géomètre, nous allons présenter sur les fonctions connues par les éléments quelques considérations qui serviront d'introduction à ce Cours, et dont il sera souvent fait usage par la suite.
Charles HERMITE, Introduction