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LADRIÈRE : Les limitations internes des formalismes. Étude sur la signification du théorème de Gödel

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Jean LADRIÈRE

LES LIMITATIONS INTERNES

DES FORMALISMES

Étude sur la signification du théorème de Gödel
et des théorèmes apparentés dans la théorie
des fondements des mathématiques

Louvain, E. Nauwelaerts
Paris, Gauthier-Villars

1957

 


Auteur :
Jean LADRIÈRE

Thème :
MATHÉMATIQUES
Logique. Théorie des ensembles

Reprint 1992
24,5 x 18 cm, oblong
384 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-087-3



S O M M A I R E

I - INTRODUCTION. LES SYSTÈMES FORMELS
1 - Les recherches sur les fondements

- La théorie des ensembles et les paradoxes 
- La méthode axiomatique
- La logistique
- Exemple d'une théorie logique axiomatisée
- Utilité de la méthode axiomatique
- Exemple d'un système formel

2 - Les grandes directions de recherches
- Directions des recherches sur les fondements 
- L'axiomatique des ensembles
- Le logicisme
- L'intuitionnisme
- La théorie de la démonstration 
- Le formalisme 
- Formalisme, intuitionnisme et théorie de la démonstration
- Mathématique et système formel 
- Les résultats de Gödel

3 - La formalisation
- De l'axiomatique intuitive au système formel pur
- Définition et structure d'un système formel 
- Présentation plus abstraite 
- Système formel et théorie intuitive 
- Présentation d'un système 
- Représentation d'un système  
- Interprétation d'un système 
- La notion de calcul

4 - Interprétation et modèle
- La notion de modèle 
- Exemple d'un modèle 
- Présentation plus abstraite 
- Modèles isomorphes 
- Champ d'interprétation
- Définitions relatives à l'interprétation

II - SYSTÈME FORMEL ET MÉTATHÉORIE
1 - Les propriétés du système formel

- Langue-objet et métalangue 
- Les métathéorèmes 
- Les démonstrations métathéoriques 
- Syntaxe et sémantique 
- Les propriétés des systèmes 
- La cohérence 
- L' ω-cohérence 
- La saturation 
- La résolubilité 
- La catégoricité 
- L'utilisation d'un système 
- Remarque terminologique

2 - Les principaux systèmes formels et la formalisation des mathématiques
- Les systèmes de base et les systèmes apparentés 
- Les logiques à schémas 
- Les logiques combinatoires 
- Puissance relative des systèmes 
- Variables et constantes 
- Systèmes logiques purs 
- Les principaux résultats métathéoriques positifs
- Les principaux résultats métathéoriques négatifs

3 - Les paradoxes
- Les théorèmes de limitation et les paradoxes 
- Les deux catégories de paradoxe 
- Le paradoxe du menteur 
- Le paradoxe de Richard

4 - L'arithmétisation et les fonctions récursives
- Le principe d'arithmétisation et la notion de fonction récursive 
- Le schéma de récursion primitive 
- Autres schémas de récursion 
- Les fonctions récursives primitives 
- L'arithmétique récursive
- Les fonctions récursives générales 
- La notion de prédicat récursif 
- La notion de classe récursive 
- L'énumérabilité récursive 
- L'opérateur Min et son utilisation 
- Les fonctions partiellement récursives 
- L'utilisation métathéorique des fonctions récursives

III - LE THÉORÈME DE GÖDEL    
1 - Première idée du théorème

- Portée générale du théorème de Gödel 
- La démonstration de Finsler 
- L'arithmétisation 
- Arithmétisation et métathéorie 
- Notations utilisées pour l'arithmétique récursive 
- Un critère de vérité pour les énoncés arithmétiques 
- Mécanisme général de la démonstration de Gödel 
- Conditions de la démonstration

2 - Le formalisme LFG
- Les constantes du système 
- Les variables du système 
- Morphologie de LFG. Première  partie : composantes primitives 
- Morphologie de LFG. Deuxième partie : règles de formation 
- Composantes introduites par voie de définition 
- Axiomes de LFG 
- Règles de dérivation de LFG 
- La notion de dérivabilité dans LFG 
- Symboles abréviatifs 
- Hypothèses faites sur LFG
3 - Arithmétisation de LFG et lemme de Gödel

- Arithmétisation du système LFG 
- Représentation de propriétés métathéoriques dans LFG 
- Théorèmes préparatoires 
- Exemple de représentation récursive 
- Opérations récursivement représentables
- Propriétés récursivement représentables 
- Lemme de Gödel

4 - Le théorème de Gödel et sa démonstration
- Énoncé du théorème 
- La fonction abrégée de substitution 
- Construction de la proposition γ* 
- Sens de la proposition γ*   
- Remarque auxiliaire 
- Démonstration du caractère indécidable de γ*

5 - Les critiques opposées à la démonstration de Gödel
- La critique de Perelman 
- Discussion de cette critique 
- La critique de Helmer à l'égard de Perelman 
- La critique de Barzin. Principe de cette critique 
- La critique de Barzin. Détail de l'argumentation 
- Conclusions de Barzin et remarques de Fitch 
- Discussion de la critique de Barzin 
- La critique de Kuczynski 
- Remarque de Church

IV - LES GÉNÉRALISATIONS DIRECTES DU THÉORÈME DE GÖDEL 
1 - Généralité des hypothèses

- Hypothèses fondamentales du théorème de Gödel 
- Analyse de la troisième hypothèse 
- Caractère général du théorème de Gödel 
- Aspects sémantiques de la démonstration de Gödel 
- Extensions et généralisations du théorème de Gödel

2 - Le théorème de Kleene
- La fonction et le prédicat de Kleene 
- Le lemme de Kleene 
- Hypothèses du théorème de Kleene 
- Énoncé et démonstration du théorème de Kleene

3 - Les théorèmes de Rosser
- Le premier théorème de Rosser
- Énoncé du second théorème de Rosser. Les prédicats Fdr-R et Dem-R 
- Propriétés des prédicats Fdr-R et Dem-R 
- Construction de la proposition   
- Démonstration du second théorème de Rosser 
- Caractérisation de certaines classes de propositions

4 - Extension du théorème de Gödel à des logiques non-constructives
- Les logiques non-constructives de Rosser 
- Existence de propositions indécidables dans ces logiques

5 - Propositions indécidables de forme simple
- Propositions indécidables correspondant à des problèmes élémentaires 
- Le procédé de Kalmár. Hypothèses de Kalmár 
- Le théorème de Kalmár

V - LE COROLLAIRE DE GÖDEL ET LA THÉORIE DE LA DÉMONSTRATION         
1 - Le corollaire de Gödel

- Énoncé et démonstration du corollaire de Gödel 
- Extensions du corollaire de Gödel

2 - Conséquences pour la théorie de la démonstration
- Application du corollaire de Gödel au formalisme de la théorie classique des nombres
- Procédés finitistes et procédés constructifs 
- Le sens nouveau de la théorie de la démonstration -  La démonstration par modèle direct et le procédé de la réduction 
- Interprétation du système LFN dans l'arithmétique intuitive 
- Interprétation du système LFN dans l'arithmétique intuitionniste

3 - La démonstration de Gentzen
- Le système de Gentzen 
- Programme de la démonstration
- Première partie de la démonstration 
- Deuxième partie de la démonstration. La notion de réduction 
- Deuxième partie de la démonstration. L'induction transfinie 
- La démonstration de Gentzen et le corollaire de Gödel

4 - La théorie de la démonstration et la notion de constructivité
- Les deux conceptions de l'infini 
- Exemple d'une interprétation constructive 
- La méthode de Gentzen et la théorie de la démonstration 
- Méthodes formelles et intuition

VI - LE THÉORÈME DE CHURCH ET LES PROBLÈMES DE DÉCISION  
1 - Fonctions λ
-définissables et fonctions M-définissables

- Le calcul de LF- λ  -
- Les fonctions λ-définissables 
- Les fonctions M-définissables 
- Théorèmes d'équivalence 
- La notion de procédé effectif
2 - Le théorème de Church
- Énoncé du théorème 

- Démonstration du théorème 
- Application du théorème de Church au problème de la décision 
- Corollaires du théorème de Church
3 - Les résultats de Kleene et de Turing
- Les résultats de Kleene 

- Le théorème de Turing 
- Démonstration du théorème de Turing 
- Corollaire du théorème de Turing 
- Les résultats de Turing et le problème de la décision
4 - Les méthodes de Post
- Systèmes canoniques et systèmes normaux 

- Le problème de la décision pour les systèmes canoniques et pour les systèmes normaux
- Ensembles récursifs et ensembles récursivement énumérables 
- Le théorème de Post 
- Conséquences relatives aux propositions indécidables
5 - Problèmes insolubles
- Problèmes de décision insolubles  -

- Théories non-résolubles et théories essentiellement non-résolubles 
- Le problème insoluble de Skolem 
- Le problème de Thue et le problème des mots pour les semi-groupes
6 - Résultats positifs. Degrés d'insolubilité
- Résultats positifs au sujet du problème de la décision pour les systèmes formels 

- Degré d'insolubilité d'un problème insoluble
- Théorèmes de Turing et de Tarski 
- Degrés d'insolubilité des problèmes de décision insolubles relatifs à des ensembles récursivement énumérables

VII - LA THÉORIE DES PRÉDICATS DE KLEENE   
1 - Le théorème de stratification

- Introduction 
- Le lemme fondamental de la théorie des prédicats de Kleene 
- Énoncé du théorème de stratification 
- Démonstration du théorème de stratification

2 - La théorie des prédicats de Kleene et les théorèmes de limitation
- Théorie relative à un prédicat 
- La forme de Kleene du théorème de Church 
- La forme de Kleene du théorème de Gödel 
- Construction de propositions indécidables par la méthode de Kleene 
- Élimination de l'hypothèse d' ω-cohérence 
- Cas où la forme de Kleene du théorème de Gödel se ramène à la forme de Kleene du théorème de Church
3 - Extension de la forme de Kleene du théorème de Gödel à des logiques non-constructives
- Les logiques ordinales 

- Extension de la forme de Kleene du théorème de Gödel aux logiques ordinales
- Extension de la forme de Kleene du théorème de Gödel à d'autres catégories de logiques non-constructives et limite de cette extension 
- Les ensembles d'entiers définissables de Mostowski 
- Généralisation par Mostowski du théorème de stratification de Kleene

VIII - LA MÉTHODE SÉMANTIQUE. LES THÉORÈMES DE TARSKI ET DE MOSTOWSKI
1 - La méthode sémantique

- La notion de vérité relative à un système formel 
- Définition du prédicat Vri pour le système LFN-V
2 - Les théorèmes de Tarski
- Les résultats de Tarski. Le formalisme
LFT  
- Le lemme de Tarski
- Existence de classes incomplètes dans LFT

- La généralisation sémantique du théorème de Gödel 
- Extension de cette généralisation à des logiques non-constructives 
- Élargissements successifs du système LFT  
- Le théorème sur la vérité
3 - Le théorème de Mostowski. Comparaison entre les différentes formes du théorème de Gödel
- Formulation du théorème de Gödel en termes de classes de propositions 

- La forme de Mostowski du théorème de Gödel 
- Les lemmes de Mostowski 
- Démonstration de la forme de Mostowski du théorème de Gödel
- Les différentes formes du théorème de Gödel. Comparaison de ces formes entre elles
4 - Démonstration directe du théorème sur la vérité. Nouvelle forme du théorème de Gödel
- Démonstration du théorème sur la vérité à partir du lemme de Tarski 

- Démonstration autonome du théorème sur la vérité 
- Nouvelle forme du théorème de Gödel démontrale par la méthode sémantique
- Démonstration de cette nouvelle forme du théorème de Gödel

IX - AUTRES FAITS DE LIMITATION        
1 - Le résultat de Tarski relatif à la notion de définissable

- La notion de définissable 
- Le théorème de Tarski relatif à cette notion

2 - Le théorème de Löwenheim-Skolem
- Le théorème de Löwenheim et sa généralisation par Skolem 
- Nouvelle forme du théorème de Löwenheim-Skolem 
- Le paradoxe de Skolem et la relativité des concepts mathématiques
- Les modèles internes de Shepherdson 
- Concepts absolus relativement à certains modèles
3 - Les théorèmes de Henkin et les modèles non-réguliers
- La non-saturation de la logique des prédicats du 2
ème ordre n'est pas une propriété absolue 
- La notion de champ d'interprétation régulier  
- La notion de champ d'interprétation général  
- Les théorèmes de Henkin 
- Les modèles non-réguliers et le problème de la catégoricité 
- Les modèles non-réguliers et l' ω-cohérence 
- Les résultats de Rosser et de Wang au sujet des modèles non-réguliers 
- Les modèles non-réguliers et la cohérence 
- Les résultats de Carnap au sujet de la logique des propositions
4 - Limitations propres aux logiques combinatoires
- La saturation combinatoire et la saturation déductive 

- Le théorème de Kleene-Rosser-Curry
5 - Systèmes non-gödeliens. Systèmes à stratification interne
- Le système
LFM de Myhill 
- Les systèmes à stratification interne 
- La hiérarchie d'implications de Church 
- Rôle du paradoxe de Richard 
- La hiérarchie de niveaux de canonicité de Curry 
- La hiérarchie d'implications de Myhill 
- Le système de Wang 
- Remarques générales sur la portée des résultats précédents

X - SUGGESTIONS PHILOSOPHIQUES       
- Aperçu générale sur les faits de limitation

- L'interprétation des faits de limitation. Remarque préalable 
- Intuition et formalisation 
- Signification des faits de limitation 
- La dualité irréductible de l'intuitif et du formel 
- Raison d'être des faits de limitation 
- Signification et limites du formalisme 
- Esquisse d'une problématique d'interprétation

NOTES
1 - Résumé du mémoire de Gödel sur les propositions indécidables

- Introduction 
- Théorème principal (Description du système P. Arithmétisation du système P et théorèmes préparatoires. Théorème principal et remarques à son sujet)
- Autres théorèmes sur les propositions indécidables (Théorème sur les relations arithmétiques. Théorème sur les propositions arithmétiques indécidables. Théorèmes sur le calcul restreint des fonctions) 
- Théorème relatif à la démonstration de non-contradiction de P (Énoncé et démonstration du théorème. Remarques à propos de ce théorème)

2 - Les exposés non-techniques du théorème de Gödel
- Exposé de Gödel 
- Exposé de Rosser (Préliminaires. Lemme fondamental. Démonstration de la forme de Rosser du théorème de Gödel. Démonstration de la forme de Kleene du théorème de Gödel) 
- Exposé de Bernays 
- Exposé de Wang 
- Exposé de Beth 
- Exposé de Findlay (Construction d'un énoncé indécidable non arithmétique. Construction d'un énoncé indécidable de forme arithmétique) 
- Autres exposés et allusions diverses
3 - Indications complémentaires sur les propositions indécidables
- Théorèmes de Chwister 

- Démonstration de Mostowski 
- Généralisation de Chauvin 
- Généralisation de Kalmár 
- Résultat de Mostowski pour la théorie des ensembles 
- Les théorèmes d'Uspénskij 
- La proposition indécidable de Kreisel (Le lemme et le théorème de Kreisel. Le lemme de Wang. La forme de Wang du théorème de Kreisel) 
- Les propositions indécidables de Wang (Existence de propositions indécidables faisant intervenir la notion de vérité. Théorème de Wang relatif à la notion de désignation. Existence d'une proposition indécidable faisant intervenir la notion de désignation)
- Remarques de Helmer et de Finsler 
- Propositions indécidables et modèles non-réguliers
4 - L'induction transfinie
- Rappel de quelques notions relatives aux nombres ordinaux 

- Le principe d'induction transfinie

TABLEAU DES NOTATIONS         
- Indications générales sur les catégories d'expression utilisées (Langue de base et langue formalisée. Variables et constantes. Éléments appartenant à la langue de base. Éléments appartenant aux langues formalisées) 
- Tableau complet des notations utilisées (Langues utilisées. Symboles de LB. Langues formalisées de type classique. Formalisme de la conversion-λ. Systèmes canoniques. Logiques combinatoires)

 

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