Adrien-Marie LEGENDRE

THÉORIE

DES

NOMBRES

Troisième édition

Tomes I et II

Paris, Chez Firmin Didot Frères, Libraires
1830

Auteur :
Adrien-Marie LEGENDRE

Thème :
MATHÉMATIQUES
Théorie des nombres

Reprint 2008
20 x 27 cm
472 p. et 492 p.
Broché
2 volumes (non vendus séparément)
ISBN : 978-2-87647-308-9


PRÉFACE DE LA PREMIÈRE ÉDITION

A en juger par différents fragments qui nous restent, et dont quelques-uns sont consignés dans Euclide, il paraît que les anciens philosophes avaient fait des recherches assez étendues sur les propriétés des nombres. Mais il leur manquait deux instruments pour approfondir cette science : l'art de la numération, qui sert à exprimer les nombres avec beaucoup de facilité, et l'Algèbre, qui généralise les résultats et qui peut opérer également sur les connues et les inconnues. L'invention de l'un et l'autre de ces arts dut donc influencer beaucoup sur les progrès de la science des nombres. Aussi voit-on que l'ouvrage de Diophante d'Alexandrie, le plus ancien auteur d'Algèbre qu'on connaisse, est entièrement consacré aux nombres, et renferme des questions difficiles résolues avec beaucoup d'adresse et de sagacité.
Depuis Diophante jusqu'au temps de Viète et Bachet, les mathématiciens continuèrent de s'occuper des nombres, mais sans beaucoup de succès, et sans faire avancer sensiblement la science.
Viète, en ajoutant de nouveaux degrés de perfection à l'Algèbre, résolut plusieurs problèmes difficiles sur les nombres. Bachet, dans son ouvrage intitulé Problèmes plaisans et délectables, résolut l'équation indéterminée du premier degré par une méthode générale et fort ingénieuse. On doit à ce même savant un excellent commentaire sur Diophante, qui fut depuis enrichi des notes marginales de Fermat.
Fermat , l'un des géomètres dont les travaux contribuèrent le plus à accélérer la découverte des nouveaux calculs, cultiva avec un grand succès la science des nombres, et s'y fraya des routes nouvelles. On a de lui un grand nombre de théorèmes intéressants, mais il les a laissés presque tous sans démonstration. C'était l'esprit du temps de se proposer des problèmes les uns aux autres. On cachait le plus souvent sa méthode, afin de se réserver des triomphes nouveaux tant pour soi que pour sa nation ; car il y avait surtout rivalité entre les géomètres français et les anglais. De là il est arrivé que la plupart des démonstrations de Fermat ont été perdues, et le peu qui nous en reste nous fait regretter d'autant plus celles qui nous manquent.
Depuis Fermat jusqu'à Euler, les géomètres, livrés entièrement à la découverte ou a l'application des nouveaux calculs, ne s'occupèrent point de la Théorie des nombres. Euler, le premier, s'attacha à cette partie ; les nombreux Mémoires qu'il a publié sur cette matière dans les Commentaires de Pétersbourg, et dans d'autres ouvrages, prouvent combien il avait à cœur de faire faire à la science des nombres les mêmes progrès dont la plupart des autres parties des mathématiques lui étaient redevables. Il est à croire aussi qu'Euler avait un goût particulier pour ce genre de recherches, et qu'il s'y livrait avec une sorte de passion, comme il arrive à presque tous ceux qui s'en occupent. Quoi qu'il en soit, ses savantes recherches le conduisirent à démontrer deux des principaux théorèmes de Fermat, savoir 1° que si a est un nombre premier, et x un nombre quelconque non divisible par a, la formule xa-1 - 1 est toujours divisible par a ; 2° que tout nombre premier de forme 4n + 1, est la somme de deux carrés.
Une multitude d'autres découvertes importantes se font remarquer dans les Mémoires d'Euler. On y trouve la théorie des diviseurs de la quantité aⁿ ± bⁿ , le traité de Partitione numerorum, qui est inséré aussi dans son Introd. in Anal. infinit. ; l'usage des facteurs imaginaires ou irrationnels dans la résolution des équations indéterminées ; la résolution générale des équations indéterminées du second degré, en supposant qu'on en connaisse une solution particulière ; la démonstration de beaucoup de théorèmes sur les puissances des nombres, et particulièrement de ces propositions négatives avancées par Fermat, que la somme ou la différence de deux cubes ne peut être un cube, et que la somme ou la différence de deux bi-carrés ne peut être un carré. Enfin on trouve dans ces mêmes écrits un grand nombre de questions indéterminées résolues par des artifices analytiques très ingénieux.
Euler a été pendant longtemps presque le seul géomètre qui se soit occupé de la Théorie des nombres. Enfin Lagrange est entré aussi dans la même carrière, et ses premiers pas ont été signalés par des succès égaux à ceux qu'il avait déjà obtenus dans des recherches d'un genre plus sublime. Une méthode générale pour résoudre les équations indéterminées du second degré, et, ce qui était plus difficile, une méthode pour les résoudre en nombres entiers, fut le coup d'essai de ce savant illustre ; bientôt après il appliqua les fractions continues à cette branche d'analyse ; il démontra le premier que la fraction continue égale à la racine d'une équation rationnelle du second degré, devait être périodique, et il en conclut que le problème de Fermat, concernant l'équation x² - Ay² = 1,  est toujours résoluble ; proposition qui n'avait pas encore été établie d'une manière rigoureuse, quoique plusieurs géomètres eussent donné des méthodes pour la résolution de cette équation.
Le même savant, par des recherches ultérieures qui sont consignées dans les Mémoires de Berlin, a démontré le premier que tout nombre entier est la somme de quatre carrés ; on lui doit également plusieurs autres démonstrations importantes ; mais la plus remarquable de ses découvertes est une méthode générale de laquelle découlent comme corollaires une infinité de théorèmes sur les nombres premiers.
Cette méthode, singulièrement féconde, est fondée sur la considération des formes tant quadratiques que linéaires qui conviennent aux diviseurs de la formule  t² + au², où t et u sont deux indéterminées, et a un nombre donné. Il restait cependant à établir, d'une manière générale, la relation qui doit exister entre les formes linéaires et les formes quadratiques appliquées aux nombres premiers ; car au défaut du principe qui contient cette relation, la Théorie de Lagrange, qui donne une infinité de théorèmes pour les nombres premiers 4n + 3, n'en fournit qu'un très petit nombre relatifs aux nombres premiers 4n + 1.
Un Mémoire que j'ai publié dans le volume de l'Académie des Sciences pour l'année 1785, offre les moyens de démontrer le principe dont il s'agit, et renferme d'ailleurs des propositions qui paraissent avancer la science des nombres. J''y ai donné 1° la démonstration d'un théorème pour juger de la possibilité ou de l'impossibilité de toute équation indéterminée du second degré, ramenée à la forme ax² + by² = cz² ; 2° la démonstration d'une loi générale qui existe entre deux nombres premiers quelconques, et qu'on peut appeler loi de réciprocité ; 3° l'application de cette loi à diverses propositions, et son usage, tant pour perfectionner la Théorie de Lagrange, que pour vaincre d'autres difficultés du même genre.
Le même Mémoire contient en outre l'ébauche d'une théorie entièrement nouvelle sur les nombres considérés en tant qu'ils sont décomposables en trois carrés ; théorie à laquelle appartient le fameux théorème de Fermat, qu'un nombre quelconque est la somme de trois triangulaires, et cet autre théorème du même auteur, que tout nombre premier 8n + 7 est de la forme p² + q² + 2r².
Depuis l'époque de la publication de ce Mémoire, je me suis occupé à diverses reprises de développer les vues qu'il contient, et d'apporter quelques perfectionnements à différents points de la Théorie des nombres ou de l'Analyse indéterminée. Mes recherches à cet égard ayant été suivies de quelques succès, je me proposais d'abord d'en publier le résultat dans un Mémoire particulier ; j'ai cru ensuite devoir profiter de cette occasion pour traiter la Théorie des nombres avec plus d'étendue qu'on ne l'a fait jusqu'à présent, en y comprenant le résultat des principales recherches d'Euler et de Lagrange sur la même matière.
C'est ainsi que je me suis déterminé à composer l'ouvrage que j'offre en ce moment au public ; je le donne non comme un traité complet, mais simplement comme un essai qui fera connaître à peu près l'état actuel de la science, et qui contribuera peut-être à en accélérer les progrès.
Adrien-Marie LEGENDRE

Extrait de l'Histoire des mathématiques, t. I, 1906 et t. II, 1907, par W. W. Rouse BALL
Reprint Jacques Gabay, 2005

La Loi de réciprocité des résidus quadratiques, qui établit une relation entre deux nombres premiers impairs quelconques, se trouve démontrée pour la première fois dans la Théorie des nombres de Legendre, mais ce résultat avait déjà été énoncé dans un mémoire de 1785. Gauss appelait cette proposition « le joyau de l'Arithmétique » et on n'en trouve pas moins de six démonstrations différentes dans ses œuvres.


Extrait des Recherches arithmétiques, 1807, par Carl Friedrich GAUSS
Reprint Jacques Gabay, 1989

Il a paru un excellent ouvrage d'un homme qui avait déjà rendu de très grands services à l'Arithmétique transcendante (Essai sur la Théorie des Nombres, Legendre, An VI [1798]), dans lequel il a non seulement rassemblé et mis en ordre tout ce qui a paru jusqu'à présent sur cette science, mais ajouté beaucoup de choses nouvelles qui lui sont propres.