Paul LÉVY

PROCESSUS STOCHASTIQUES

ET

MOUVEMENT BROWNIEN

Suivi d'une Note de
Michel LOÈVE

Deuxième édition revue et augmentée

Paris, Gauthier-Villars
1965

Auteur :
Paul LÉVY

Note :
Michel LOÈVE

Thème :
MATHÉMATIQUES
Probabilités

Reprint 1992
24,5 x 18 cm, oblong
224 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-091-0

S O M M A I R E

1 - Deux exemples simples de processus stochastiques.
La fonction X (t) du mouvement brownien linéaire.
La fonction réduite. Un théorème d'invariance projective.
Remarques et corollaires.
Exemples de fonctions aléatoires discontinues liées à la loi de Poisson.

2 - Notions générales sur les processus stochastiques.
Processus stochastiques et fonctions aléatoires.
Définition directe des processus stochastiques.
Continuité des processus stochastiques.
Premières notions sur les processus de Markoff.
Les équations différentielles stochastiques.
Le problème de Cauchy pour les équations différentielles stochastiques.
Formation effective de X(t).
Cas particuliers et exemples.
La dérivation et l'intégration des fonctions aléatoires.
Conditions d'existence de la dérivée aléatoire m. q.

3 - Les processus de Markoff et la diffusion de la probabilité.
Les équations de Chapman et de Kolmogoroff.
L'équation de la diffusion de la probabilité.
Cas particuliers.
Les processus fortement continus et la loi de Laplace.
Le mouvement brownien et l'équation de la chaleur. Problème de Cauchy, problèmes de type mixtes.
Applications.
Théorèmes asymptotiques relatifs au mouvement brownien.
Cas des fonctions aléatoires vectorielles.

4 - Les processus stationnaires.
Notions générales.
Exemples.
Théorèmes généraux sur la covariance.
Dérivées des fonctions aléatoires stationnaires.
Analyse harmonique des fonctions aléatoires stationnaires.
Le cas des fonctions aléatoires de plusieurs variables.

5 - Les processus additifs.
Lemmes relatifs aux séries à termes aléatoires indépendants. Leur application aux processus additifs.
Remarques sur certaines fonctions discontinues.
Les trois types de processus additifs.
Le théorème réciproque. Processus additifs faiblement continus et lois indéfiniment divisibles.
L'unicité de la représentation, et l'arithmétique des lois indéfiniment divisibles.
Théorèmes relatifs à la loi de Laplace.
Les lois de plus en plus divisibles.
La méthode de B. de Finetti et A. Kolmogoroff.
Les types de lois stables.
Un groupe de lois de Pearson.
Les processus additifs sur la circonférence.
Les processus additifs dans les espaces à plusieurs dimensions.

6 - Étude approfondie du mouvement brownien linéaire.
La notion d'oscillation brownienne.
Les fonctions M(t) et Y(t).
Les longueurs des intervalles e'
Formules relatives à l'intervalle e' contenant une valeur donnée de t
Formules d'interpolation. Application du théorème 2.
L'inversion de M(t). Propriétés de la fonction inverse T(x).
Construction directe de l'ensemble E₁. Équivalence stochastique de E₀ et E₁. Deuxième méthode pour la construction directe de E.
La reconstruction de X(t) par l'intermédiaire de E.
La fonction sommatoire de X(T). La loi du logarithme itéré.

7 - Le mouvement brownien plan.
L'allure générale de la courbe C.
Mesure superficielle et oscillation brownienne.
La fermeture de la courbe C.
L'aire stochastique de la courbe C.
Propriétés intrinsèques de la courbe C. Représentation conforme et problèmes aux limites.

8 - Le mouvement brownien à plusieurs paramètres.
Remarques préliminaires.
Le lemme de I. J. Schönberg et L. Schwartz.
Définition du mouvement brownien à p paramètres.
Représentation géométrique de la fonction aléatoire du mouvement brownien.
Étude de quelques figures simples.
La droite et un point extérieur.
La sphère et les polyèdres réguliers. Propriétés asymptotiques.

Complément rédigé pour la deuxième édition
PROGRÈS RÉCENTS DE LA THÉORIE DES FONCTIONS ALÉATOIRES LAPLACIENNES

1 - Notions générales sur les fonctions aléatoires laplaciennes.
Définitions et remarques préliminaires.
Probabilités conditionnelles dans un systèmes laplacien.
L'intégrale de G. Maruyama.
L'intégrale à limite supérieure variable et les représentations canoniques.
Une courbe remarquable de l'espace de Hilbert.
Caractérisation des noyaux canoniques.
La variation infinitésimale de X(t). Les noyaux de Goursat.
Recherche des noyaux correspondant à une covariance de Goursat donnée.
Remarques sur l'ensemble des représentations d'une fonction laplacienne définie par sa covariance.
Détermination de la représentation canonique en fonction de la covariance.

2 - Notions complémentaires sur le mouvement brownien classique.
Fonctionnelles quadratiques de X(t).
La série de Fourier-Wiener.
Remarques sur une classe générale de séries de Fourier aléatoires.
La courbe C du mouvement brownien plan et les théorèmes de A. Dvoretsky, P. Erdös et S. Kakutani.
L'aire comprise entre un arc de la courbe C et sa corde.
Le mouvement brownien dans l'espace de Hilbert.

3 - La fonction brownienne de plusieurs paramètres.
La fonction brownienne sur la sphère de Riemann.
Retour au cas euclidien.
La fonction brownienne dans l'espace de Hilbert.
La moyenne de X(A) sur une sphère.
Le déterminisme de X(A) dans l'espace de Hilbert.
Les ensembles K(E).
Sous-ensembles minimisants et éléments conjugués.

Note de Michel LOÈVE
FONCTIONS ALÉATOIRES DU SECOND ORDRE

1 - Covariances.
Généralités.
Propriétés caractéristiques des covariances.
Opérations sur les covariances.
Covariances partielles.
Décompositions orthogonales.

2 - Propriétés des fonctions aléatoires du second ordre.
Propriétés différentielles en moyenne quadratique.
Propriétés intégrales en moyenne quadratique.
Propriétés intégrales : analyse harmonique et spectrale.
Propriétés presque sûres ; propriétés différentielles.
Propriétés intégrales presque sûres.
Cas normal.
Fonctions aléatoires et certaines théories de l'analyse.

3 - Fonctions aléatoires à caractère exponentiel.
Fonctions aléatoires stationnaires.
Fonctions aléatoires exponentiellement convexes et généralisation.