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LUCAS : Théorie des nombres, 1891

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Édouard LUCAS

THÉORIE DES NOMBRES

Tome I
(seul paru)

LE CALCUL DES NOMBRES ENTIERS
LE CALCUL DES NOMBRES RATIONNELS
LA DIVISIBILITÉ ARITHMÉTIQUE

Paris, Gauthier-Villars
1891

Auteur :
Édouard LUCAS

Thème :
MATHÉMATIQUES
Théorie des nombres

Reprint 1991
24,5 x 18 cm, oblong
278 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-042-2



S O M M A I R E

I - LES NOMBRES ENTIERS

1 - Addition des nombres entiers.
- Les nombres et les signes.
- Addition des nombres entiers.
- Suite de Fibonacci.
- Triangle arithmétique de Pascal.
- Tableau de sommes.
- Généralisation du Tableau des sommes et de la suite de Fibonacci.
2 - Soustraction des nombres entiers.
- Soustraction des nombres entiers.
- Introduction des nombres entiers négatifs.
- Somme algébrique.
- Inégalités.
- Tableau de différences.
- Tableau de sommes et de différences.
- Sommes alternées.
- Des variations de signes.
3 - Multiplication des nombres entiers.
- Multiplication de deux nombres entiers.
- Multiplication des sommes algébriques.
- Numération décimale.
- Tables de multiplication.
- Multiplication rapide.
- Bâtons népériens.
- Réglettes multiplicatrices.
- Du produit de plusieurs facteurs.
- Puissances d'un nombre. Multiplication des monômes.
- Table des carrés.
- Table des quarts de carrés.
- Les derniers chiffres des carrés.
4 - Division et classification des entiers.
- Division des entiers.
- Division accélérée.
- Systèmes de numération.
- Échange des systèmes de numération.
- Classification des nombres.
- Nombres congrus ou équivalents pour un module.
- Impossibilité de congruences.
- Preuves par congruences.
5 - Les nombres figurés.
- Progressions arithmétiques.
- Les nombres polygonaux.
- Sommation des factorielles.
- Les nombres figurés.
- Piles d'obus et piles de boulets.
- Binôme de Newton.
- Propriétés des coefficients du développement de (1 + x)p
6 - L'analyse combinatoire.
- Permutations.
- Permutations figurées.
- Permutations avec répétition.
- Arrangements simples.
- Arrangements complets.
- Combinaisons simples.
- Addition des combinaisons simples.
- Combinaisons complètes.
- Addition des combinaisons complètes.
- Les inversions.
- Les cycles.
7 - La Géométrie de situation.
- Le carré arithmétique de Fermat.
- Échiquier triangulaire de Delannoy.
- Pentagone arithmétique de Delannoy.
- Hexagone arithmétique de Delannoy.
- Décomposition des polygones convexes.
- Les réseaux. Théorèmes d'Euler, de Clausen et de Trémaux.
- Le tracé des réseaux.
- Nombre des tracés des réseaux.
- Théorèmes des impasses.
- Théorème des carrefours. Théorème de G. Tarry.
- Les régions.
- Le problème des quatre couleurs. Théorème de Guthrie.
- Les polyèdres convexes. Théorème de Descartes.
- Les polyèdres convexes réguliers.
8 - La multiplication algébrique.
- Multiplication des polynômes.
- Le carré magico-magique de Fermat.
- Formules d'Euler pour les produits des sommes de quatre carrés.
- Formules de Lagrange.
- Valeur numérique d'un polynôme ordonné.
- Divisibilité de f(x) par (x - a).
- Identité et similitude des polynômes.
- Binôme de Vandermonde.
Théorèmes généraux sur le calcul des sommes et des différences.
- Relation entre les termes d'une même ligne.
- Relation entre les termes d'une même colonne.
- Relation entre les termes d'une même diagonale.
- Démonstrations figurées.
Puissances des polynômes.
- Puissances du trinôme et du quadrinôme.
- Puissances des polynômes.
- Arrangements figurés. Formules de Waring et de Wronski.

II - LES NOMBRES RATIONNELS

9 - Les nombres fractionnaires.
- Les nombres fractionnaires.
- Les nombres inverses ou réciproques.
- Les fractions algébriques. Exposants négatifs.
- Les progressions harmoniques.
- Sommation des inverses des factorielles. Formules de Stirling.
- Triangle harmonique de Leibniz.
- Les progressions géométriques.
- Somme des termes d'une progression géométrique.
- Propriétés des polynômes ordonnés.
10 - Le calcul des probabilités.
- Probabilité et certitude.
- Probabilité composée.
- Probabilité totale.
- Théorème de Bayes.
- Théorème de Jacques Bernoulli.
- De l'espérance mathématique.
- Des jeux de hasard.
- Sur l'effet des jeux de hasard. Ruine des joueurs. Durée du jeu.
11 - La division algébrique.
- Division des polynômes ordonnés suivant les exposants décroissants.
- Division d'un polynôme par (x - a).
- Division d'un polynôme par un produit de binômes.
- Expression d'un polynôme de degré n comme somme algébrique de polynômes.
- Division des polynômes ordonnés suivant les exposants croissants.
- Méthode des coefficients indéterminés.
L'interpolation.
- Formule d'interpolation de Lagrange.
- Identités d'Euler.
- Sommation de fractions rationnelles.
- Formules d'interpolation de Newton.
- Fonctions interpolaires d'Ampère.
12 - Les polynômes dérivés.
- Polynômes dérivés.
- Dérivées d'un produit et d'un quotient.
- Formule de Taylor.
- Facteurs multiples d'un polynôme.
- Règle de L'Hospital.
- Formule d'Abel.
- Binôme de Leibniz.
Des fonctions de plusieurs variables.
- Dérivées partielles.
- Formule de Taylor pour une fonction de plusieurs variables.
- Fonctions homogènes.
- Théorème d'Euler.
13 - Le calcul symbolique.
- Du symbole potentiel.
- Du symbole exponentiel.
- Problème des rencontres.
- Des permutations figurées, symétriques par rapport à une diagonale de l'échiquier.
- Des permutations figurées qui sont symétriques par rapport aux deux diagonales de l'échiquier.
- Des permutations figurées qui sont symétriques par rapport à une diagonale et qui n'ont aucune tour sur cette diagonale.
- Des permutations figurées qui sont symétriques par rapport au centre et qui n'ont aucune tour sur une diagonale.
- Des permutations figurées qui sont symétriques par rapport aux deux diagonales de l'échiquier et qui ne contiennent aucune tour sur une ou deux diagonales.
14 - Sommation des puissances numériques.
- Sommation des carrés et des cubes.
- Sommation des bicarrés.
- Méthode indienne.
- Extension de la méthode de Pascal.
- Propriétés des polynômes Sp.
- Développements des polynômes Sp.
- Nombres de Bernoulli.
- Formules générales de sommation.
- Extension de la méthode de Fermat.
- Sommations successives des puissances.
- Extension de la méthode indienne.
- Développement du produit SmSn en fonction linéaire des sommes S.
- Somme alternée des puissances des nombres entiers.
- Nombres de Genocchi.
- Somme des puissances des nombres impairs.
- Sommation alternée des puissances des nombres impairs.
- Nombres d'Euler.
- Relations entre les nombres d'Euler et les nombres de Bernoulli.
- Formules de Cesaro.
- Suites de Cesaro.
- Tableau des principales formules symboliques.
15 - Les fonctions symétriques.
- Fonctions symétriques fondamentales.
- Formules de Newton.
- Démonstration figurée.
- Fonctions symétriques doubles, triples.
- Rangement et nombre des termes d'une fonction symétrique entière.
- Méthode de Waring.
- Degré et poids d'une fonction symétrique.
- Formules de Waring.
Fonctions de différences.
- Formules de Lagrange.
- Méthode de Serret.
- Fonction alternée de Vandermonde.
- Développement de la fonction de Vandermonde.
16 - Les déterminants.
- Définition et propriétés du déterminant.
- Développement du déterminant.
- Calcul des déterminants.
- Éléments à deux indices.
- Multiplication des déterminants.
Équations du premier degré.
- Formules de Cramer.
- Théorème de M. Rouché.
- Équations linéaires et homogènes.
- Formes linéaires et homogènes.
17 - Les suites récurrentes linéaires.
- Des suites récurrentes proprement dites.
- Propriétés des suites récurrentes.
- Fonctions récurrentes fondamentales.
- Théorème de Lagrange.
- Récurrence des fonctions alternées.
- Multiplication des suites récurrentes.
18 - Les fonctions numériques du second ordre.
- Définition des fonctions Un et Vn.
- Les trois genres de fonctions numériques.
- Développements de Un et Vn suivant les puissances de p et de q.
- Généralisation des formules.
- Formules d'addition des arguments.
- Développements de Un et de Vn.
- Multiplication des arguments.
- Fonctions circulaires et fonctions hyperboliques.
- Développement des puissances de Un et de Vn, en somme algébrique de fonctions dont les arguments sont des multiples de n.
- Sommation des fonctions U et V.
- Décomposition des fonctions numériques.
- Sommation de fractions.

III - LA DIVISIBILITE ARITHMETIQUE

19 - Codiviseurs et comultiples.
- Codiviseurs de deux nombres.
- De deux nombres premiers entre eux.
- Propriétés du plus grand codiviseur.
- Théorème d'Euclide.
- Codiviseurs de plusieurs nombres.
- Comultiples.
- Codiviseurs de formes linéaires.
- Codiviseurs et comultiples de nombres fractionnaires.
20 - Les nombres premiers.
- Nombres premiers.
- Suite des nombres premiers.
- Distribution des nombres premiers.
- Décomposition d'un entier en différence de deux carrés.
- Des nombres composés.
- Suite de nombres composés consécutifs.
- Divisibilité des factorielles.
- Quotient de factorielles.
- Théorèmes de Tchebychef et de Polignac.
21 - Les diviseurs des nombres.
- Codiviseurs et comultiples des nombres décomposés.
- Nombre, somme et produit des diviseurs d'un nombre décomposé.
- Nombres parfaits.
- Tables de la somme des diviseurs.
- Nombres aliquotaires. Nombres abondants et déficients.
- Nombres amiables.
- Ordre et genre des nombres composés.
- Classification des diviseurs.
- Théorème de Dedekind.
- Théorèmes de Liouville et de Lejeune-Dirichlet.
22 - De l'indicateur.
- De l'indicateur. Formule d'Euler.
- Table des indicateurs.
- Deux extensions de l'indicateur.
- Indicateur d'un produit.
- Somme des indicateurs des diviseurs d'un nombre.
- Troisième extension de l'indicateur.
- Théorèmes de Hammond.
- Théorème de Smith.
- Formules de Legendre.
23 - Les restes.
- Propriétés des congruences relativement à la division.
- Restes de la progression arithmétique.
- Nombres associés à 1 pour le module m.
- Restes du triangle arithmétique.
- Théorème de Fermat. - Théorème de Fermat généralisé par Euler.
- Deuxième démonstration des théorèmes de Fermat et d'Euler.
- Perfectionnements du théorème d'Euler. Indicateur réduit.
- Restes d'un Tableau de sommes ou de différences.
- Théorème de Clausen et de Staudt.
- Théorèmes de Genocchi et d'Adams.
- Restes des nombres d'Euler.
- Restes des sommes des puissances semblables des entiers inférieurs à un nombre premier.
- Théorème de Wilson.
- Restes de la progression géométrique. Gaussien.
- Réciproque du théorème de Fermat.
24 - Les fractions continues.
- Fractions continues.
- Calcul des réduites.
- Différence de deux réduites.
- Propriétés des réduites.
- Approximation des réduites.
- Renversement des fractions continues.
- Addition des fractions continues.
- Multiplication des fractions continues.
- Fractions continues symétriques.
- Sur les décompositions des nombres en carrés.
- Multiplication des fractions continues symétriques.
Fractions continues généralisées.
- Algorithme d'Euler. Cumulants.
- Propriétés des cumulants.
- Fractions continues généralisées.
- Développement du cumulant formé d'éléments égaux.
Intercalation et Médiation.
- Intercalation des suites.
- De la médiation.
- Suites de Brocot.
- Suites de Farey.
Sur l'équation ax + by = c.
- Objet de l'analyse indéterminée du premier degré.
- Sur la partition des nombres.
- Résolution de l'équation à deux inconnues.
- Systèmes minimums.
- Théorèmes de Paoli et de Cesaro.
- Sommes de fractions simples.
- Décomposition des nombres fractionnaires en somme de fractions simples.

NOTES ET ADDITIONS

- Sur la partition des polygones.
- Sur le problème des rencontres.
- Sur le problème des ménages.
- Sur les nombres d'Hamilton.
- Sur les réseaux d'un quinconce.
- Sur la sommation des indicateurs.
- Sur les permutations circulaires avec répétition.
- Sur les restes du triangle arithmétique.
- Sur les nombres de Clausen et de Staudt.
- Sur l'extraction des racines par les moyennes.
- Sur les réduites intermédiaires.

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