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CARTAN : Leçons sur la géométrie projective complexe, 1931 + La théorie des groupes finis et ...

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Élie CARTAN

LEÇONS  

SUR LA

GÉOMÉTRIE PROJECTIVE COMPLEXE

Leçons professées à la Sorbonne

D'après des notes recueillies et rédigées par F. Marty

Paris, Gauthier-Villars
1931

[suivi de:]

LA

THÉORIE DES GROUPES FINIS ET CONTINUS

ET

LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE

TRAITÉES PAR LA MÉTHODE DU REPÈRE MOBILE

Leçons professées à la Sorbonne

Rédigées par Jean Leray

Paris, Gauthier-Villars
1937

[suivi de:]

LEÇONS

SUR LA

THÉORIE DES ESPACES

A CONNEXION PROJECTIVE

Leçons professées à la Sorbonne

Rédigées par P. Vincensini

Paris, Gauthier-Villars
1937

Auteur :
Élie CARTAN

Rédaction :

F. MARTY
Jean LERAY

P. VINCENSINI

Cours de la Sorbonne

Thème :
MATHÉMATIQUE
Géométrie analytique et différentielle

Reprint 1992

24,5 x 18 cm, oblong
472 p.
Broché
3 titres en 1 volume
ISBN : 978-2-87647-015-6

 

SOMMAIRE

LEÇONS SUR LA GÉOMÉTRIE PROJECTIVE COMPLEXE


I - La droite projective complexe.
1 - Notions fondamentales.

- L'espace projectif complexe.
- Propriétés caractéristiques des transformations projectives.
2 - Étude de la droite projective complexe.
- La notion de chaîne.
- Classification des homographies.
- Étude des antihomographies non involutives.
- Etude des antiinvolutions.
3 - Métrique des transformations involutives : antiinvolutions de première espèce.
- Géodésiques de l'espace des antiinvolutions de première espèce.
- Étude approfondie des géodésiques ; transvections ; représentation géométrique.
- Étude analytique des éléments géométriques introduits.
4 - L'espace riemannien des antiinvolutions de seconde espèce.
- Construction a priori des géodésiques.
- Étude du ds2 de l'espace riemannien fondamental.
- Représentation dans l'espace riemannien fondamental des différentes transformations involutives.
- Application à la géométrie non euclidienne.
- L'espace riemannien des involutions et la géométrie plane non euclidienne complexe.
- Compléments de géométrie analytique non euclidienne.
5 - Les diverses géométries basées sur le groupe homographique de la droite complexe.
- La notion d'espace symétrique et les automorphies du groupe homographique.
- Etude des géométries subordonnées à la géométrie projective complexe de la droite.
- Applications à l'Arithmétique.

II - La géométrie projective complexe à plusieurs dimensions.
1 - Notions fondamentales sur le groupe projectif à trois dimensions.

- Composition du groupe projectif à trois dimensions.
- Classification des homographies.
- Recherche des homographies involutives.
- Automorphies du groupe homographique.
- Recherche des corrélations involutives.
- Étude des antiinvolutions.
- Étude des antipolarités.
2 - L'espace riemannien symétrique des antipolarités elliptiques.
- Géodésiques et ds2 de l'espace des antipolarités elliptiques.
- Étude approfondie de la structure de l'espace riemannien fondamental.
- Symétries de l'espace riemannien fondamental.
- Les espaces riemanniens des symétries d'une espèce donnée.
3 - Géométries subordonnées à la géométrie projective complexe.
- La géométrie non euclidienne complexe.
- La géométrie d'un complexe linéaire.
- La géométrie projective réelle.
- La géométrie hyperbolique réelle à cinq dimensions.
- La géométrie des sphères orientées réelles.
- La géométrie hermitienne hyperbolique.
- Les géométries à plusieurs absolus.
4 - La géométrie hermitienne elliptique.
- Les différents espaces riemanniens de la géométrie hermitienne elliptique.
- L'espace hermitien elliptique.
- L'espace elliptique et l'espace sphérique à cinq dimensions.
- L'espace hermitien elliptique réglé.
- L'espace riemannien symétrique des antiinvolutions normales de première espèce.
-La géométrie elliptique réelle à trois dimensions.
5 - Les polynomes harmoniques et les représentations réelles de l'espace projectif complexe.
- Les polynomes harmoniques.
- Suites de fonctions fondamentales. Propriétés d'orthogonalité.
- Suites irréductibles. Théorème de complète réductibilité.
- Fonctions zonales.
- Détermination de toutes les suites de fonctions fondamentales.
- Représentations réelles des points de l'espace projectif complexe.


LA THÉORIE DES GROUPES FINIS ET CONTINUS ET LA GÉOMETRIE DIFFÉRENTIELLE TRAITÉES PAR LA MÉTHODE DU REPÈRE MOBILE

I - La méthode du trièdre mobile en géométrie euclidienne.
1 - Trièdre trirectangle mobile. Courbes gauches réelles.

- Déplacement infinitésimal d'un trièdre trirectangle.
- Application de la théorie des familles de trièdres dépendant d'un paramètre à l'étude des courbes gauches.
- Étude des courbes gauches basée sur la théorie des familles de trièdres à plusieurs paramètres.
- La méthode des équations réduites.
2 - Théorie des courbes minima.
- Trièdres cycliques.
- Définition des éléments des divers ordres attachés à une courbe minima.
- Problèmes d'égalité et de contact.
- Compléments.
3 - Étude des surfaces réglées réelles.
- Éléments des divers ordres.
- Problèmes d'égalité et de contact ; constructions géométriques.
4 - Étude des surfaces réglées isotropes.
- Éléments d'ordre 1 : contacts d'ordre 1.
- Surfaces sur lesquelles k est constant.
- Surfaces sur lesquelles k est variable.

II - Les premières notions de la théorie des groupes continus et finis.
5 - Le repère mobile d'un groupe continu et fini.

- Transformations ; groupe ; repère mobile.
- Composantes du déplacement infinitésimal du repère mobile.
- Trois théorèmes concernant les composantes du déplacement infinitésimal d'un repère mobile.
- Le groupe des paramètres.
- Quelques problèmes d'intégration.
6 - Sur diverses relations qui peuvent exister entre deux groupes.
- Groupes semblables.
- Notion d'isomorphie.
- Repérage des objets d'une classe d'objets donnée.
- Groupes isomorphes à un groupe donné.
7 - Relations existant entre un groupe et son groupe des paramètres.
- Groupe simplement transitif.
- Groupe transitif.
- Groupe intransitif.
8 - Équations de définition des opérations d'un groupe fini et continu.
- Cas d'un groupe simplement transitif.
- Cas d'un groupe transitif
- Cas d'un groupe intransitif.
9 - Réalisations d'un groupe abstrait donné. Sous-groupes d'un groupe.
- Groupe transitif réalisant un groupe abstrait donné.
- Groupe intransitif réalisant un groupe abstrait donné.
- Compléments.
10 - Géométrie différentielle.
- La méthode du repère mobile.
- Géométrie affine unimodulaire ; étude des courbes planes réelles.
- Géométrie projective ; étude des courbes planes réelles.

III - Les constantes de structure des groupes finis et continus.
11 - Les équations de structure d'Élie Cartan.

- Introduction ; équations de Darboux.
- Différentielles ; dérivation extérieures.
- Les équations de structure d'Elie Cartan ; le second théorème fondamental de la théorie des groupes.
- Détermination de groupes et de sous-groupes.
12 - Géométrie différentielle (suite).
- Mise en oeuvre de la méthode du repère mobile.
- Géométrie projective ; étude des courbes planes.
- Géométrie euclidienne ; étude des surfaces.
13 - Le troisième théorème fondamental de la théorie des groupes.
- Partie directe du troisième théorème fondamental.
- Les paramètres canoniques de Sophus Lie.
- Démonstration (incomplète) du troisième théorème fondamental.
14 - Les équations de structure de Sophus Lie.
- Le crochet de deux transformations infinitésimales.
- Le deuxième théorème fondamental de Sophus Lie.
- Détermination de groupes et de sous-groupes.
- Les groupes adjoints et le troisième théorème fondamental.


LEÇONS SUR LA THÉORIE DES ESPACES A CONNEXION PROJECTIVE

I - La Géométrie différentielle projective.
1 - Étude projective de la droite.

- La droite projective réelle.
- Notions succintes sur la géométrie projective de la droite complexe.
2 - La géométrie projective plane réelle. Étude des courbes.
- Le point de vue de la théorie des équations différentielles.
- Étude géométrique des courbes du plan projectif.
- Les invariants différentiels projectifs d'une courbe.
- La méthode du repère mobile.
- Introduction directe du repère mobile.
- Les repères des différents ordres.
- Les équations de structure du groupe projectif.
- Leur application à la théorie des courbes planes.
3 - Notions sur la géométrie projective différentielle des surfaces.
- Équation réduite d'une surface au voisinage d'un de ses points.
- Les formules de Frenet pour une surface.
- Surfaces projectivement applicables.

II - Les espaces à connexion projective.
1 - La notion d'espace à connexion projective.

- Introduction géométrique de la notion d'espace à connexion projective.
- Variétés à deux dimensions.
- Les espaces généraux à connexion projective.
2 - Différentiation des espaces à connexion projective et de l'espace projectif ordinaire.
 - Cycles et déplacements associés. Introduction de la notion de cycle.
- Étude d'un espace à connexion projective au voisinage de l'un de ses points.
3 - Courbure et torsion d'un espace à connexion projective.
- Notions sur le calcul tensoriel en géométrie projective.
- Algèbre tensorielle.
- Analyse tensorielle.
- Le tenseur de courbure et de torsion et les propriétés internes de l'espace.
4 - Les identités de Bianchi.
- Les formes différentielles du second degré et le calcul différentiel extérieur.
- Les identités de Bianchi.
5 - Équations différentielles du deuxième ordre liées à la théorie des espaces à connexion projective.
- Géométrisation des équations différentielles
- Représentation géodésique plane des surfaces.
- Les géodésiques des espaces à connexion projective à n dimensions.
6 - Géométrie différentielle des surfaces plongées dans les espaces à connexion projective à trois dimensions.
- Étude des éléments du deuxième ordre.
- Étude des éléments du troisième ordre.
7 - Le groupe d'holonomie d'un espace à connexion projective.
- Définition et propriétés du groupe d'holonomie.
- Espaces à connexion projective admettant des groupes d'holonomie donnés.
- Espaces à connexion projective normale à deux dimensions.

 

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