A reparaître

Le présent traité est un ouvrage de mathématiques pures, destiné à tous ceux qui doivent appliquer l'algèbre linéaire.
On sait que ces applications jouent un rôle essentiel dans des disciplines très diverses : calcul différentiel et intégral, mécanique des systèmes et des milieux continus, physique classique (optique et électricité notamment) et moderne (relativité et physique quantique), calcul des probabilités, statistique, recherche opérationnelle, art de l'ingénieur, etc.
Le lecteur trouvera ici un exposé complet du point de vue logique, qui ne suppose pas d'autres connaissances que celles de l'enseignement secondaire. Les exercices proposés lui permettront d'acquérir l'aisance indispensable dans le maniement des notions théoriques, et dans leur application aux problèmes concrets.
Nous avons cherché à donner de l'unité aux diverses théories présentées, en considérant directement les opérateurs linéaires, aussi bien dans les raisonnements géométriques que dans les calculs; c'est ce que veut rappeler le titre de l'ouvrage.
D'autre part, ce souci d'unité nous a amené à réduire le plus possible le nombre des définitions axiomatiques, en les remplaçant par des constructions directes; à éviter les théorèmes d'invariance, qui deviennent évidents par l'emploi de méthodes intrinsèques ; à apporter un soin particulier au choix des notations. En la matière, les habitudes courantes dans les diverses théories linéaires sont souvent contradictoires ; il a fallu parfois innover ; l'expérience nous a montré que les notations proposées facilitent la compréhension et les calculs, tout en permettant de lire les traités et ouvrages classiques.
Jean-Marie SOURIAU, Avertissement

A reparaître

Ce livre contient des développements de mathématiques pures, qui peuvent être lus indépendamment du reste ; cette lecture ne demande pas d'autres connaissances que celles du premier cycle des Facultés des Sciences.
Le chapitre I est un exposé des résultats essentiels de la géométrie différentielle ; nous ne donnons que les démonstrations qui servent directement à la compréhension des questions abordées ; le lecteur pourra trouver les autres dans les traités spécialisés.
Le chapitre II, consacré à la géométrie symplectique, contient, non seulement les résultats classiques de la théorie, mais aussi l'étude détaillée des théorèmes de type cohomologique mis en jeu par la notion abstraite de groupe dynamique ; ainsi que la génération réciproque de variétés symplectiques à partir des groupes de Lie.
Le § 16 (Chap. IV) est consacré à la notion de mesure sur une variété ; les démonstrations qui ne sont pas données se trouvent dans le traité de Bourbaki. Le texte est illustré d'exemples variés : convolution sur un groupe de Lie, variables aléatoires, moments, loi normale de Gauss, ensemble de Gibbs d'un groupe dynamique, photométrie classique.
Le § 18 est, lui aussi, purement mathématique ; il semble d'ailleurs que la « quantification géométrique » qui y est exposée puisse servir dans les problèmes de représentation unitaire des groupes. Nous en profitons d'ailleurs pour énoncer les définitions essentielles de cette théorie, espaces de Hilbert et C*-algèbres notamment.
Jean-Marie SOURIAU, Introduction