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TARSKI : Introduction à la logique, 2e éd., 1969

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Alfred TARSKI

INTRODUCTION

À LA

LOGIQUE

Deuxième édition revue et augmentée

Traduit de l'anglais par Jacques Tremblay (s.j.)

Paris, Gauthier-Villars
Louvain, E. Nauwelaerts

1969

Auteur :
Alfred TARSKI

Traduction :
Jacques TREMBLAY (s.j.)

Thèmes :
MATHÉMATIQUES
Logique. Théorie des ensembles
Raisonnement. Méthodes. Invention

Reprint 2008
17 x 24 cm
268 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-295-2


S O M M A I R E

I - ÉLÉMENTS DE LOGIQUE. MÉTHODE DÉDUCTIVE

1. L'usage des variables.
- Constantes et variables.
- Expressions contenant des variables – Fonctions propositionnelles et fonctions descriptives.
- Formation de propositions au moyen de variables.
- Quantificateur universel et quantificateur existentiel ; variables libres et variables liées.
- L'importance des variables en mathématiques.

2. Le calcul des propositions.
- Les constantes logiques ; l'ancienne logique et la nouvelle logique.
- Le calcul des propositions ; négation d'une proposition, conjonction et disjonction des propositions.
- Implication ou proposition conditionnelle ; implication au sens matériel.
- L'usage de l'implication en mathématiques.
- Équivalence des propositions.
- La formulation des définitions et ses règles.
- Lois du calcul des propositions.
- Symbolisme du calcul des propositions ; fonctions de vérité et tables de vérité.
- Application des lois du calcul des propositions dans les inférences.
- Règles d'inférence, preuves complètes.

3. La théorie de l'identité.
- Les concepts logiques en dehors du calcul des propositions.
- Lois fondamentales de la théorie de l'identité.
- L'identité des choses et l'identité de leurs désignations ; usage des guillemets.
- L'égalité en arithmétique et en géométrie, et sa relation avec l'identité logique.
- Quantificateurs numériques.

4. La théorie des classes.
- Les classes et leurs éléments.
- Classes et fonctions propositionnelles à une variable libre.
- La classe universelle et la classe nulle.
- Les relations fondamentales entre les classes.
- Opérations sur les classes.
- Classes équipotentes, nombre cardinal d'une classe, classes finies et classes infinies ; l'arithmétique comme une partie de la logique.

5. La théorie des relations.
- Les relations, leurs domaines et leurs contre-domaines ; les relations et les fonctions propositionnelles à deux variables libres.
- Le calcul des relations.
- Quelques propriétés des relations.
- Relations qui sont réflexives, symétriques et transitives.
- Relations d'ordre ; exemples d'autres relations.
- Relations univoques ou fonctions.
- Relations ou fonctions biunivoques, et correspondances biunivoques.
- Relations à plusieurs termes ; fonctions à plusieurs variables et opérations.
- L'importance de la logique pour les autres sciences.

6. La méthode déductive.
- Les constituants fondamentaux d'une théorie déductive – Termes primitifs et termes définis, axiomes et théorèmes.
- Modèle et interprétation d'une théorie déductive.
- La loi de déduction ; caractère formel des sciences déductives.
- Choix des axiomes et des termes primitifs ; leur indépendance.
- La formalisation des définitions et des preuves, les théories déductives formalisées.
- Consistance et complétude d'une théorie déductive ; le problème de décision (decision problem).
- La conception élargie de la méthodologie des sciences déductives.

II - APPLICATIONS DE LA LOGIQUE ET DE LA MÉTHODOLOGIE A LA CONSTRUCTION DES THÉORIES MATHÉMATIQUES

7. Construction d'une théorie mathématique : lois d'ordre pour les nombres.
- Termes primitifs de la théorie à construire ; axiomes concernant les relations fondamentales entre les nombres.
- Lois de non réflexivité pour les relations fondamentales ; preuves indirectes.
- Autres théorèmes portant sur les relations fondamentales.
- Autres relations entre les nombres

8. Construction d'une théorie mathématique : lois de l'addition et de la soustraction.
- Axiomes concernant l'addition ; propriétés générales des opérations, concepts de groupe et de groupe abélien.
- Les lois commutative et associative pour un nombre plus grand d'éléments à additionner.
- Lois de monotonie pour l'addition et leurs converses.
- Systèmes fermés de propositions.
- Conséquences des lois de monotonie.
- Définition de la soustraction ; opérations inverses.
- Définitions dont le definiendum contient le signe d'identité.
- Théorèmes sur la soustraction.

9. Considérations méthodologiques sur la théorie que nous venons de construire.
- Élimination des axiomes superflus dans le système d'axiomes original.
- Indépendance des axiomes du système simplifié.
- Élimination des termes primitifs superflus et simplification subséquente du système d'axiomes ; concept de groupe abélien ordonné.
- Autre simplification du système d'axiomes ; transformations possibles du système de termes primitifs.
- Le problème de la consistance de la théorie que nous venons de construire.
- Le problème de la complétude de la théorie que nous avons construite.

10. Extension de la théorie construite : fondements de l'arithmétique des nombres réels.
- Premier système d'axiomes pour l'arithmétique des nombres réels.
- Caractérisation plus stricte du premier système d'axiomes ; ses avantages méthodologiques et ses inconvénients didactiques.
- Second système d'axiomes pour l'arithmétique des nombres réels.
- Caractérisation plus stricte du second système d'axiomes ; concept de corps et de corps ordonné.
- Équipollence des deux systèmes d'axiomes ; désavantages méthodologiques et avantages didactiques du second système.

LECTURES CONSEILLÉES       

A. Développement systématique de la logique.
B. Théorie générale des ensembles.
C. Fondements de l'arithmétique en logique et en théorie des ensembles.
D. Méthodologie des sciences déductives.
E. Fondements axiomatiques de théories mathématiques particulières.
F. Histoire de la logique.
G. Philosophie de la logique et des mathématiques.

Index Français-Anglais.

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