A reparaître

« J'ai presque toujours employé l'appareil analytique imposé par le système de coordonnées au moyen duquel est formé l'élément linéaire, supposé donné, de l'espace à étudier. Cela a nécessité des notions de calcul différentiel absolu, que je me suis efforcé de présenter en en dégageant le plus possible l'élément géométrique essentiel et en gardant toujours le contact le plus étroit avec la Géométrie euclidienne. Les services éminents qu'a rendus et que rendra encore le Calcul différentiel absolu de Ricci et Levi-Civita ne doivent pas nous empêcher d'éviter les calculs trop exclusivement formels, où les débauches d'indices masquent une réalité géométrique souvent très simple. C'est cette réalité que j'ai cherché à mettre partout en évidence.

Je me suis étendu assez longuement sur le problème intéressant des espaces qui, tout en étant localement euclidiens, diffèrent, au point de vue de l'Analysis situs, de notre espace ordinaire ; ce sont les « formes spatiales de Clifford-Klein ». Les perspectives que la solution de ce problème ouvre sur les fondements de la Géométrie élémentaire et sur certaines théories d'Analyse m'ont semblé légitimer la place que je lui ai consacrée. C'est un peu pour les mêmes raisons que j'ai examiné le rôle important joué en Géométrie par l'axiome du plan et l'axiome de libre mobilité, liés d'une manière intime l'un à l'autre. Cela m'a conduit tout naturellement à une étude sommaire des Géométries non euclidiennes, spécialement à deux dimensions : les services qu'une telle étude peut rendre dans différents domaines des Mathématiques ne sont du reste plus à démontrer.
Les deux premières notes qui terminent l'ouvrage reprennent certaines notions étudiées dans le cours du volume, mais en introduisant des hypothèses beaucoup moins restrictives sur la nature analytique des coefficients de la forme différentielle fondamentale. Je crois qu'à cet égard la notion de courbure riemanienne linéaire (et non superficielle) n'avait pas encore été signalée ; elle aurait sans doute des applications dans la théorie de la relativité. La troisième note, consacrée aux espaces à courbure variable, mais négative, se rattache au Mémoire depuis longtemps classique de Jacques Hadamard sur les géodésiques des surfaces à courbures opposées. »
Élie CARTAN, Préface

Ce Volume est divisé en quatre Sections.
La première contient un ensemble de propositions dont l'enchaînement naturel donne lieu à trois théories qui se font suite et sont le développement d'une même notion et d'un même théorème fondamental.
Cette notion se rapporte à une certaine fonction de segments ou d'angles, appelées rapport anharmonique de quatre points ou d'un faisceau de quatre droites.
Les trois théories successives auxquelles donne lieu cette fonction, que l'on considère dans un ou plusieurs systèmes soit de quatre points, soit de quatre droites, peuvent être dites théories du rapport anharmonique, des divisions et faisceaux homographiques, et de l'involution.
Ces théories forment la base de nos procédés de démonstration. Chacune des propositions dont elles se composent s'y trouve comme un anneau nécessaire à leur enchaînement continu, et toutes sont susceptibles d'applications ultérieures très diverses.
Michel CHASLES, Préface

Un ouvrage considérable de géométrie infinitésimale, intitulé : Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, fut le fruit de l'enseignement de Gaston Darboux à la Sorbonne. Il constitue en même temps un traité sur les équations aux dérivées partielles. Parmi celles-ci, l'auteur fait une étude approfondie de certaines équations étudiées d'abord par Laplace, dont il montre le rôle en géométrie, et pour lesquelles il a constitué une théorie des invariants. On lui doit aussi d'importants progrès dans la question de l'applicabilité des surfaces. Il a étudié en particulier celles qui sont applicables sur une surface du second degré, et donné dans le cas de certains paraboloïdes des solutions d'une grande élégance. Tous les géomètres connaissent ses recherches sur la représentation sphérique, sur les surfaces à courbure constante, sur les surfaces isothermiques, sur les surfaces à lignes de courbure planes ou sphériques, sur les cercles géodésiques, ainsi que ses travaux sur les déformations infiniment petites des surfaces, se rattachant à la notion féconde de l'équation aux variations, qu'il avait introduite en analyse dès 1883. Dans ses études de géométrie infinitésimale, Darboux a envisagé systématiquement le déplacement d'un trièdre mobile, dégageant la véritable signification d'éléments introduits antérieurement par Ribaucour.
[...]
Les résultats essentiels de la théorie des systèmes orthogonaux ont été exposés, il y a quelques années, par notre confrère dans ses Leçons sur les systèmes orthogonaux et les coordonnées curvilignes, ouvrage qu'il avait médité pendant toute sa vie. On y trouve en particulier une étude profonde sur l'extension à un nombre quelconque de dimensions du problème de Lamé. Quand ce nombre surpasse trois, des circonstances toutes nouvelles se présentent. De plus, d'un système orthogonal correspondant  à un certain nombre de variables, on peut déduire un système analogue avec une variable de moins, ce qui a permis à Darboux de trouver une infinité de nouveaux systèmes orthogonaux. Rappelons encore cet important résultat que, dans l'espace à trois dimensions, un système de Lamé est en général déterminé par trois surfaces particulières, deux à deux orthogonales et se coupant suivant des lignes de courbure.
Ces grands traités, également remarquables par la richesse du fond et la beauté de la forme, sont dignes d'être proposés comme modèles à ceux qui cultivent les sciences mathématiques. Ils ont fait de Darboux, à l'étranger comme en France, le chef incontesté d'une école de géomètres analystes, qui porte sa marque. Aussi sa réputation scientifique était-elle considérable, et la plupart des Académies étrangères l'avaient élu associé étranger ou correspondant.
En 1916, Darboux reprit dans son cours à la Sorbonne l'étude des Principes de Géométrie analytique, qui le ramenait au temps lointain où il enseignait à l'École Normale ; il a rédigé ces leçons, simples et lumineuses, maintenant accessibles à tous. Ce livre, qui vient de paraître, est le dernier sorti de sa plume. C'est un ouvrage d'enseignement, mais où se reconnaît le maître ouvrier, et où sont établies sur une base algébrique les notions essentielles de la Géométrie moderne, qui ont fait jadis l'objet de tant de discussions.
Émile PICARD, Notice historique sur Gaston Darboux, 1842-1917

« Ceux qui l'ont entendu, nous dit Émile Picard, garderont toujours le souvenir de cet enseignement incomparable. Quelles merveilleuses causeries, d'un ton grave que relevait par moment l'enthousiasme, où à propos de la question la plus élémentaire, il faisait surgir tout à coup d'immenses horizons et où, à côté de la Science d'aujourd'hui, on apercevait tout à coup la Science de demain. Jamais professeur ne fut moins didactique, mais ne fut plus vivant. »
« Ceux qui ont eu l'heureuse fortune d'être les élèves du grand géomètre, écrit  Paul Painlevé, ne sauraient oublier l'accent presque religieux de son enseignement, le frisson de beauté et de mystère qu'il faisait passer à travers son auditoire devant quelque admirable découverte ou devant l'inconnu. Hermite fut un professeur incomparable, sa parole saisissante ouvrait brusquement de larges horizons sur les régions de la Science ; elle suggérait à la curiosité et à l'attention les problèmes nouveaux et essentiels, mais surtout elle communiquait l'amour et le respect des idéales vérités. Dans l'inoubliable journée de son jubilé, en accueillant l'hommage d'admiration de tous les pays, l'illustre Analyste parle en termes pleins de noblesse de la corrélation étroite et secrète qui existe entre le sentiment de la justice et du devoir et l'intelligence de vérités absolues de la Géométrie. Cette corrélation semblait évidente quand on écoutait ses leçons. »
« Nos élèves, nous dit Jules Tannery en parlant de l'École Normale, continuent de recevoir à la Sorbonne un enseignement dont l'éclat n'a fait que grandir ; ils écoutent cette parole d'une éloquence si particulière où il y a du recueillement, de la solennité et une sorte de tendresse passionnée. Ils jouissent de cette lumière qui va jusqu'au fond des choses, qui les sépare et les réunit, qui en montre les liens les plus délicats, qui donne aux abstractions mathématiques la couleur et la vie. »
« C'est à la Sorbonne, écrit Émile Borel, que j'ai suivi les leçons d'Hermite ; c'est là que j'ai entendu cette parole si vivante exposer, avec respect à la fois et avec amour, les belles vérités de l'Analyse. C'était un grand prêtre de la divinité du Nombre qui nous en dévoilait les mystères redoutables et sacrés. Les questions les plus arides, les calculs en apparence les plus ingrats, se transfiguraient, tant il avait l'intuition de leurs secrètes beautés. Quelques uns peut-être ont eu, autant qu'Hermite le pouvoir de faire comprendre et admirer les Mathématiques ; nul n'a su les faire aimer aussi profondément que lui. »
Gaston DARBOUX, Notice historique sur Charles Hermite, 1905

Cette quatrième édition de mon Algèbre supérieure est divisée en cinq Sections, composées chacune de plusieurs Chapitres.
La première Section renferme la théorie générale des équations et les principes sur lesquels repose leur résolution numérique ; on trouvera en particulier dans cette première Section une théorie très développée des fractions continues.
La deuxième Section comprend la théorie des fonctions symétriques, celle des fonctions alternées et des déterminants, et les nombreuses questions qui s'y rattachent, avec des applications importantes à la théorie générale des équations.
La troisième Section a pour objet l'ensemble des propriétés des nombres entiers qui sont indispensables dans la théorie de la résolution algébrique des équations ; on trouvera dans cette Section une étude complète et nouvelle des fonctions entières d'une variable prises relativement à un module premier.
La quatrième Section renferme la théorie des substitutions ; elle comprend tous les faits principaux acquis à la science, dans cette partie difficile de l'analyse algébrique.
Enfin j'ai réuni dans la cinquième Section tout ce qui se rapporte directement à la résolution algébrique des équations.
Joseph-Alfred SERRET, Avertissement

Comme certaines recherches sur les propriétés des solutions des équations différentielles analytiques nécessitent la connaissance de quelques points de la théorie des fonctions algébriques, j'ai été amené à consacrer deux chapitres à cette théorie et à celle des intégrales abéliennes. Cela m'a permis de donner la démonstration de quelques théorèmes relatifs aux courbes algébriques planes, qui ne sont plus enseignés dans les cours de mathématiques spéciales, et de mettre ainsi en évidence, une fois de plus, l'unité des mathématiques.
Trois sortes d'équations définissant des fonctions sont ainsi étudiées dans ce livre : les équations algébriques à deux variables, les équations différentielles et les équations aux dérivées partielles. Toutes ces équations sont des équations fonctionnelles. Ainsi se trouve justifiée la première partie du titre donné à ce volume : équations fonctionnelles. Quant aux applications, ce sont les applications de l'analyse à la géométrie, y compris quelques applications du théorème d'Abel sur les intégrales abéliennes.
Georges VALIRON, Préface

A reparaître

Dans la théorie des fonctions de variables réelles, qui forme les onze premiers chapitres de ce livre, j'ai considéré plus particulièrement les fonctions qui sont en général continues ; ce sont celles que l'on rencontre le plus souvent dans les applications. Aussi ai-je donné la place principale à l'intégrale au sens de Riemann, et n'ai-je introduit l'intégrale de Stieltjes que dans les cas les plus simples. Mais j'ai exposé brièvement, à titre de complément, les premiers éléments de la théorie de Lebesgue : théorie de la mesure des ensembles linéaires et théorie des fonctions mesurables d'une variable (Chap. V). C'est également comme complément que je donne des indications sur les fractions continues arithmétiques (Chap. I, § III), la démonstration de la transcendance de e et de π (n° 50), une théorie indépendante des fonctions analytiques d'une variable réelle (Chap. VI, II), des considérations sur certaines intégrales curvilignes planes (n° 58) et sur les notions d'aire et de volume (n° 158).
J'ai insisté un peu plus qu'on ne le fait ordinairement sur les procédés de calcul numérique des intégrales définies ; la formule d'Euler et Mac-Laurin et la méthode de Gauss sont données en détail. La théorie de la série de Fourier, déjà connue en partie des étudiants de mathématiques générales, a été traitée par la méthode des moyennes arithmétiques ; elle est appliquée au problème des cordes vibrantes.
Dans la théorie des fonctions d'une variable complexe, j'ai fait jouer un rôle important à la représentation géométrique, c'est à dire à la représentation conforme. La transformation homographique est étudiée avec quelques détails et des indications sont données sur la géométrie de Poincaré, image de la géométrie de Lobatchewsky. J'ai apporté quelques compléments aux questions habituellement traitées dans les cours de calcul différentiel et intégral : théorème d'Hadamard sur la partie réelle (n° 184), théorème de Laguerre sur les polynômes à zéros réels (n° 193), théorème de Poincaré et Volterra sur le prolongement analytique (n° 201), formules de Jensen, Poisson et Nevanlinna (n°^s 207-208), théorème d'Hadamard sur la décomposition en facteurs des fonctions entières d'ordre fini (n° 210).
D'autre part, j'ai amorcé l'étude de quelques théories dont l'exposition, grâce aux efforts de nombreux mathématiciens contemporains, se présente désormais sous une forme simple et n'exigeant pas de longs développements. Je donne au Chapitre XV la démonstration du théorème sur la représentation conforme des aires simplement connexes à partir de théorèmes sur les suites de fonctions holomorphes ; j'en déduis les propositions les plus simples sur la représentation conforme d'un demi-plan sur un polygone ou sur un triangle circulaire (théorèmes de Schwarz), puis à l'aide de la fonction modulaire elliptique des théorèmes de Picard, Landau, Schottky, Julia. Dans la théorie des fonctions elliptiques (Chap. XVI), les fonctions de Jacobi sont introduites à la suite de l'étude des fonctions qui restent invariantes par la multiplication de la variable par un facteur fixe. Dans le dernier chapitre, je donne d'abord les théorèmes de Borel et de Mittag-Leffler sur le prolongement analytique, comme applications des propriétés de la fonction eulérienne gamma et de théorèmes de Lindelöf et Phragmén ; puis, après avoir étudié les fonctions introduites par Riemann dans la théorie analytique des nombres, je termine ce premier volume par la démonstration, d'après Hadamard et Landau, de la formule donnant l'expression asymptotique du n^ième nombre premier.
Georges VALIRON, Préface