Dans ce livre on étudie, sous le nom d'Algèbres de von Neumann, les algèbres communément appelées « anneaux d'opérateurs » ou « W*-algèbres ». La nouvelle terminologie, suggérée par Jean Dieudonné, est amplement justifiée du point de vue historique.
Certains des résultats sont valables pour des algèbres plus générales. Mais on a systématiquement évité ce genre de généralisation (sauf lorsque cela facilitait l'étude des algèbres de von Neumann elles-mêmes). Les chapitres I et II groupent les résultats qui semblent, à l'heure actuelle, les plus utiles pour les applications (mais on n'aborde pas l'étude de ces applications). Le chapitre III, plus technique, est destiné surtout aux spécialistes ; il est pratiquement indépendant du chapitre II.
Jacques DIXMIER, Introduction

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L'étude des algèbres enveloppantes repose bien entendu sur une connaissance assez approfondie des algèbres de Lie. D'autre part, certaines propriétés des algèbres de Lie s'établissent commodément par l'emploi des algèbres enveloppantes ; dans ce livre, il importe d'exploiter cette possibilité. Mais le lecteur peut alors avoir l'impression d'un cercle vicieux. C'est pourquoi on établit au chapitre 1, par les méthodes les plus banales, les propriétés des algèbres de Lie nécessaires pour la suite. (On est passé assez vite sur les premières démonstrations : ce livre ne doit pas être considéré comme une introduction aux algèbres de Lie. Toutefois, comme les propriétés des systèmes de racines ne reposent évidemment pas sur la théorie des algèbres de Lie, on s'est contenté de rappeler en appendices, sans démonstration, celles de ces propriétés qui sont indispensables).
Le chapitre 2 introduit les personnages principaux : les algèbres enveloppantes. Pour étudier leurs idéaux primitifs, il faut certaines informations concernant leurs idéaux bilatères quelconques : c'est l'objet du chapitre 3. Le chapitre 4 considère l'un des ponts (ce n'est pas le seul) entre les algèbres enveloppantes et les algèbres commutatives, à savoir les centres des algèbres enveloppantes, de leurs quotients, de leurs anneaux de fractions.
C'est principalement grâce à la notion de représentation induite et à ses variantes qu'on sait construire des représentations simples des algèbres de Lie, donc des idéaux primitifs des algèbres enveloppantes. Cette notion est étudiée au chapitre 5.
Les outils principaux sont alors en main. Au chapitre 6, on détermine tous les idéaux primitifs de U(g) quand g est résoluble et le corps de base algébriquement clos. On utilise pour cela la méthode des orbites, introduite par A. A. Kirillov à propos des groupes de Lie nilpotents.
Les chapitres 7, 8 et 9 concernent le cas où g est semi-simple. Aux chapitres 7 et 9, on étudie des représentations simples particulières, liées au chois d'une sous-algèbre de Cartan (chap. 7), ou d'une décomposition symétrique (chap. 9). Au chapitre 8, on détermine entre autres choses les idéaux primitifs minimaux de U(g) pour un corps de base algébriquement clos. Ces chapitres laissent beaucoup à désirer : d'une part, bien des problèmes restent à résoudre ; d'autre part, certains résultats importants n'ont pu être établis ici parce qu'ils reposent sur des méthodes non algébriques. On peut espérer que cette situation s'améliorera dans un proche avenir.
Le chapitre 10 repose sur l'ensemble des chapitres 1 à 8. Si g est une algèbre de Lie quelconque sur un corps algébriquement clos, il est probable que la méthode des orbites s'applique encore sous une forme convenable. On réussit en tous cas à construire une vaste famille d'idéaux primitifs de U(g) attachés aux formes linéaires « régulières » sur g.
Jacques DIXMIER, Introduction