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Poincaré - Physique

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Dans l'histoire de l'Astronomie, Poincaré restera toujours au premier rang des explorateurs les plus éminents qui par la force irrésistible de leur génie ont réussi à étendre les limites de la science de l'Univers. Au premier coup d'œil, cette opinion peut paraître étrange, puisque Poincaré n'était ni observateur ni calculateur. Mais pour justifier notre sentiment, il suffit de rappeler que l'Astronomie – dans ses efforts pour connaître les lois du mouvement et l'état physique des corps célestes et de l'Univers – doit nécessairement rester en coopération intime avec l'Analyse mathématique, la Mécanique et la Physique. C'est l'honneur impérissable de Poincaré d'avoir renforcé les liens qui doivent rattacher l'Astronomie à ces autres branches de la Science. 
Hugo von ZEIPEL : L'œuvre astronomique d'Henri Poincaré, Acta Mathematica 38, 1921, dans POINCARÉ, Œuvres, tome 11, 1955-1956

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Nous commencerons par la théorie des petits mouvements dans un milieu élastique ; nous établirons les lois générales du mouvement vibratoire et de la propagation des ondes planes ; nous aborderons successivement l'étude de la diffraction, des diverses théories de la dispersion, de celles de la double réfraction, ainsi que de la réflexion et de la réfraction à la surface des corps transparents et isotropes, puis des corps cristallisés et enfin des surfaces métalliques ; nous terminerons par l'étude de l'aberration et de la propagation de la lumière dans un milieu en mouvement.
Henri POINCARÉ, tome I

En revenant, après quatre ans, à l'étude de l'Optique, j'ai eu à traiter un grand nombre de matières nouvelles que le défaut de temps m'avait autrefois contraint à laisser de côté. Je ne citerai que la théorie de Helmholtz, sur la dispersion dont je n'avais pu dire qu'un mot en passant.
D'autre part, dans cet intervalle, la science a progressé, et bien des points de vue se sont modifiés. C'est ainsi, par exemple, que la théorie électromagnétique de Maxwell a conquis une place qu'on lui contestait encore il y a quelques années. Il est difficile aujourd'hui de parler d'Optique en la passant sous silence.
J'ai donc été conduit à traduire dans ce nouveau langage ce qu'avaient dit en d'autres termes les fondateurs de la théorie ondulatoire. Je ne me suis pas proposé de comparer ces deux doctrines afin de choisir entre elles. En ce qui concerne les phénomènes optiques, ce que la première explique, la seconde en rend également bien compte ; il ne peut d'ailleurs en être autrement. C'est dans le domaine des électricités qu'est le seul champ de bataille possible entre les champions des deux théories.
Henri POINCARÉ, tome II

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SOMMAIRE
- Étude cinématique des déformations.
- Étude des forces élastiques.
- Équations d'équilibre. – Pressions.
- Étude de quelques cas particuliers d'équilibre.
- Petits mouvements d'un corps élastique.
- Propagation des ondes planes. – Réflexion. – Exemples de vibration.
- Problème de Saint-Venant.
- Problème de l'élastique

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La théorie de la chaleur de Fourier est un des premiers exemples de l'application de l'analyse à la physique ; en partant d'hypothèses simples qui ne sont autre chose que des faits expérimentaux généralisés, Fourier en a déduit une série de conséquences dont l'ensemble constitue une théorie complète et cohérente. Les résultats qi'il a obtenus sont certes intéressants par eux-mêmes, mais ce qui l'est plus encore est la méthode qu'il a employée pour y parvenir et qui servira toujours de modèle à tous ceux qui voudront cultiver une branche quelconque de la physique mathématique.
J'ajouterai que le livre de Fourier a une importance capitale dans l'histoire des mathématiques et que l'analyse pure lui doit peut-être plus encore que l'analyse appliquée.
Rappelons succintement quel est le problème que s'est proposé Fourier : il a voulu étudier la propagation de la chaleur, mais il faut distinguer.
La chaleur peut, en effet, se propager de trois manières : par rayonnement, par conductibilité et par convection.
Henri POINCARÉChapitre I

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De nombreuses expériences ont été faites dans ces dernières années sur les oscillations électriques.
Hertz entreprit les siennes pour vérifier la théorie de Maxwell, à l'occasion d'une question mise au concours par l'Académie de Berlin. Il s'agissait de mettre en évidence l'action électrodynamique des variations d'un champ électrique. Hertz fit d'abord usage des décharges d'une bouteille de Leyde ou d'une bobine de Ruhmkorff, mais il s"aperçut bientôt qu'il était nécessaire d'avoir recours à des oscillations plus rapides. Certains appareils de démonstration, qu'il eut l'occasion de voir à Karlsruhe, le frappèrent et le conduisirent à modifier heureusement les dispositions expérimentales. Ainsi la théorie de Maxwell, d'une part, une particularité expérimentale observée par Hertz, d'autre part, voila le point de départ des expériences de Hertz.
Henri POINCARÉIntroduction

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La Thermodynamique repose sur deux principes :
1° Le principe de la conservation de l'énergie dont un cas particulier, le plus intéressant au point de vue qui nous occupe, est le principe de l'équivalence de la chaleur appelé aussi principe de Mayer ;
2° Le principe de la dissipation de l'entropie, plus souvent nommé principe de Carnot ou principe de Clausius.
Nous étudierons successivement ces deux principes, ainsi que leurs conséquences les plus immédiates. Les premiers Chapitres seront principalement consacrés à l'historique de la découverte de ces principes.
Henri POINCARÈIntroduction

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SOMMAIRE
Première partie
- Cinématique.
- Mouvement d'une figure plane invariable glissant sur un plan.
- Mouvement d'un corps solide invariable.
- Mouvement hélicoïdal.
- Mouvement relatif d'un point.
- Mécanismes.

Deuxième partie
- Fonctions des forces. – Potentiel.
- Théorème de Green et applications.
- Attraction exercée par un ellipsoïde.
- Mécanique des fluides.
- Hydrodynamique.

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SOMMAIRE
1 - Les théories de Maxwell et la théorie électromagnétique de la lumière.
2 - Théories électrodynamiques d'Ampère, Weber, Helmholtz.
3 - Nouvelles théories électrodynamiques. Théories de Hertz et de Lorentz.
4 - A propos de la théorie de Larmor.

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SOMMAIRE
- Théorie de Laplace.
- Théories de Gauss et de Poisson.

- Lames minces.
- Les expériences de Plateau.
- Problèmes où la pesanteur intervient.
- Applications de la thermodynamique aux phénomènes capillaires.

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SOMMAIRE
1 - Potentiel en un point extérieur aux masses agissantes. Équation de Laplace. Exemples. Développements en séries.
2 - Potentiel en un point intérieur aux masses agissantes. Formule de Poisson.
3 - Surfaces attirantes et lignes attirantes.
4 - La fonction de Green et le problème de Dirichlet.
5 - Résolution du problème de Dirichlet dans le cas du cercle et de la sphère. Théorème de Harnack.
6 - Doubles couches.
7 - Résolution du problème de Dirichlet. La méthode du balayage.
8 - Résolution du problème de Dirichlet. La méthode de Neumann.
9 - Extension de la méthode de Neumann au cas des domaines simplement connexes. Les fonctions fondamentales.

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SOMMAIRE
- Introduction. 
- Définition des probabilités. 
- Probabilités totales et composées. 
- L'espérance mathématique. 
- Le théorème de Bernoulli. 
- Application de la formule de Stirling. 
- La loi de Gauss et les épreuves répétées. 
- Probabilité du continu. 
- Applications diverses. 
- Probabilités des causes. 
- La théorie des erreurs et la moyenne arithmétique. 
- Justification de la loi de Gauss
- Erreurs sur la situation d'un point. 
- Méthode des moindres carrés. 
- Calcul de l'erreur à craindre. 
- Théorie de l'interpolation. 
- Questions diverses.

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Un mois ne s'était pas écoulé depuis l'envoi du Mémoire d'Einstein aux Annalen der Physik que Henri Poincaré faisait parvenir (23 juillet 1905) au Cercle mathématique de Palerme une étude d'une richesse rare.
Reprenant l'exposé de Lorentz, il en confirme les résultats principaux et montre les conséquences très importantes que comporte la nouvelle transformation. Tout d'abord, l'illustre géomètre en déduit la règle d'addition des vitesses, partageant ainsi avec Einstein la gloire de la découverte de cette célèbre formule. En outre, il montre que l'ensemble des transformations de Lorentz forme un groupe, et que cette propriété est nécessaire si l'on veut écarter la possibilité du mouvement absolu, c'est-à-dire sauvegarder le principe de la relativité des mouvements uniformes. Il parvint à rattacher de la sorte les transformations de Lorentz à la Théorie des Invariants, et eut le premier l'idée de représenter les coordonnées horaires à l'aide d'une quatrième dimension imaginaire de l'espace. 
En un mot, Poincaré fut un génial précurseur, et son Mémoire contient les principes fondamentaux sur lesquels, trois ans plus tard (1908), Minkowski édifiera son fameux « Espace-Temps » à quatre dimensions.
Édouard GUILLAUME, Introduction

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La théorie des mouvements tourbillonnaires repose sur un théorème dû à Helmholtz et qui constitue le plus grand progrès qu'aient fait jusqu'aujourd'hui les théories hydrodynamiques.
[...]
Après avoir rappelé les équations de l'hydrodynamique, je démontrerai le théorème de Helmholtz et je développerai ses conséquences relatives au mouvement des fluides, en comparant les résultats à ceux de l'électrodynamique.
Henri POINCARÉ, Introduction

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Nous allons étudier la figure d'équilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation : les seules forces auxquelles est soumis le système sont des forces intérieures dues à l'attraction newtonienne : deux points s'attirent en raison directe de leur masse et en raison inverse du carré de leur distance.
Nous allons d'abord rappeler quelques résultats connus sur le potentiel newtonien.
Henri POINCARÉ, Objet du cours
 

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Il paraît bien naturel que Henri Poincaré, mathématicien de génie, ait fait réaliser de grands progrès aux méthodes de la Physique mathématique et à l'étude des équations qu'elle utilise. Mais, en joignant l'intuition physique à la rigueur abstraite, il a su aussi, fait assez rare chez les grands géomètres, faire réaliser de véritables progrès aux théories physiques de son époque en leur apportant des conceptions et des résultats nouveaux. Il a même réussi parfois à apporter une aide efficace aux techniciens.
Comme celles qu'il avait effectuées dans d'autres branches de la Science ou en philosophie scientifique, l'Œuvre de Poincaré en Physique mathématique et théorique restera un monument d'une impérissable grandeur.
Louis de BROGLIE, Préface du tome 9

 

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Extrait de l'Introduction du célèbre Mémoire Sur le problème des trois corps et les équations de la Dynamique (Mémoire couronné du Prix de S. M. le roi Oscar II de Suède) (Acta Mathematica, t. 13, 1890)
Le travail qui va suivre et qui a pour objet l'étude du problème des trois corps est un remaniement du Mémoire que j'avais présenté au Concours pour le prix institué par sa Majesté le Roi de Suède. Ce remaniement était devenu nécessaire pour plusieurs raisons. Pressé par le temps, j'avais dû énoncer quelques résultats sans démonstration ; le lecteur n'aurait pu, à l'aide des indications que je donnais, reconstituer les démonstrations qu'avec beaucoup de peine. J'avais songé d'abord à publier le texte primitif en l'accompagnant de notes explicatives ; mais j'avais été amené à multiplier ces notes de telle sorte que la lecture du Mémoire serait devenue fastidieuse et pénible.
J'ai donc préféré fondre ces notes dans le corps de l'ouvrage, ce qui a l'avantage d'éviter quelques redites et de faire ressortir l'ordre logique des idées.
Je dois beaucoup de reconnaissance à M. Phragmén qui non seulement a revu les épreuves avec beaucoup de soin, mais qui, ayant lu le Mémoire avec attention et en ayant pénétré le sens avec une grande finesse, m'a signalé les points où des explications complémentaires lui semblaient nécessaires pour faciliter l'entière intelligence de ma pensée.

Extrait de la Table des matières du Mémoire Sur le problème des trois corps et les équations de la Dynamique
- Introduction
Première Partie : Généralités
- Propriétés générales des équations différentielles.
- Théorie des invariants intégraux.
- Théorie des solutions périodiques.
Deuxième Partie : Équations de la Dynamique et Problème des n corps
- Étude des cas où il n'y a que deux degrés de liberté.
- Étude des surfaces asymptotiques.
- Résultats divers.
- Tentatives de généralisation.

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SOMMAIRE 

- Fonction perturbatrice et périodes des intégrales doubles.
- Figure de la Terre
- Théorie des Marées.
- Théorie de la Lune.
- Théorie des Planètes.
- Quadratures mécaniques.
- Hypothèses cosmogoniques.
- Articles.
- Rapports.
- Conférences.

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Les tomes 9 et 10 de la présente publication contiennent les travaux de Henri Poincaré sur la Physique mathématique et sur divers problèmes de théorie physique. Comme à toutes les branches des Mathématiques, comme à la Mécanique générale et à la Mécanique céleste, comme au Calcul des Probabilités, Poincaré a apporté à la Physique mathématique et théorique de son temps des contributions d'une importance capitale portant la marque de l'originalité et de la profondeur d'un esprit extraordinairement puissant dont la capacité de travail était véritablement inouïe.
Louis de BROGLIE, Préface

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