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Algèbre


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Faire de l'Algèbre, c'est essentiellement calculer, c'est-à-dire effectuer, sur des éléments d'un ensemble, des « opérations algébriques », dont l'exemple le plus connu est fourni par les « quatre règles » de l'arithmétique élémentaire.
Ce n'est pas ici le lieu de retracer le lent processus d'abstraction progressive par lequel la notion d'opération algébrique, d'abord restreinte aux entiers naturels et aux grandeurs mesurables, a peu à peu élargi son domaine, à mesure que se généralisait parallèlement la notion de « nombre », jusqu'à ce que, dépassant cette dernière, elle en vînt à s'appliquer à des éléments qui n'avaient plus aucun caractère « numérique », par exemple aux permutations d'un ensemble. C'est sans doute la possibilité de ces extensions successives, dans lesquelles la forme des calculs restait la même, alors que la nature des êtres mathématiques soumis à ces calculs variait considérablement, qui a permis de dégager peu à peu le principe directeur des mathématiques modernes, à savoir que les êtres mathématiques , en eux-mêmes, importent peu : ce qui compte, ce sont leurs relations. Il est certain, en tout cas, que l'Algèbre a atteint un niveau d'abstraction bien avant les autres parties de la Mathématique, et il y a longtemps déjà qu'on s'est accoutumé à la considérer comme l'étude des opérations algébriques, indépendamment des êtres mathématiques auxquels elles sont susceptibles de s'appliquer.

BOURBAKI, Éléments de Mathématique, Algèbre, Chap. 1, Structures algébriques, 2e éd., Hermann, 1955

 

 



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 Jean Dieudonné, l'éminent algébriste bien connu, exprimait récemment l'espoir que bientôt "le monde mathématique tout entier, et non seulement une poignée de spécialistes, soit mis en état d'apprécier l'ouvrage d'Artin et de le mettre à la place qui lui revient, à côté des célèbres  Grundlagen der Geometrie de Hilbert". On ne saurait mieux dire.
Gaston JULIA, Avant-propos
35,00 *
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LIVRE I
ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE
- Polynômes entiers. Analyse combinatoire.
- Nombres irrationnels. Calcul des radicaux. Limite d'une suite.
- Rappel de notions fondamentales. Nombres complexes.
- Division des polynômes.
- Premières notions sur les fonctions, les limites, la variation des fonctions et la continuité.
- Déterminants.
- Équations et formes linéaires.
- Décomposition en facteurs d'un polynôme entier d'une variable. Relations entre les coefficients et les racines.
- Fonctions symétriques. Élimination.
- Transformation et abaissement des équations. Propriétés spéciales aux équations à coefficients réels.

LIVRE II
ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE
- Coordonnées. Produits de vecteurs. Directions et angles. Homogénéité.
- Introduction à l'étude de la géométrie plane.
- Introduction à l'étude de la géométrie dans l'espace.
- La droite en géométrie plane.
- Le plan et la droite dans l'espace.
- Le Cercle en géométrie plane.
- La Sphère.
- Rapport anharmonique. Divisions et faisceaux homographiques. Divisions et faisceaux en involution.
- Lieux géométriques. Génération des surfaces.

72,00 *
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LIVRE III
LES ÉLÉMENTS D'ANALYSE ET LEURS APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
- Fonction de fonction. Fonction composée. Inversion d'une fonction. Fonctions exponentielle, logarithmique et puissance.
- Infiniment petits. Infiniment grands.
- Séries.
- Nombre e. Fonctions hyperboliques.
- Calcul des dérivées.
- Formules des accroissements finis, de Taylor et de Mac-Laurin. Développements limités et formes indéterminées.
- Séries entières et développements en séries. Fonction exponentielle, fonctions circulaires et fonctions hyperboliques d'une variable complexe.
- Variation des fonctions. Courbes définies par une équation cartésienne résolue par rapport à l'une des coordonnées.
- Séparation et calcul des racines d'une équation.
- Courbes définies par une représentation paramétrique.
- Coordonnées polaires.
- Fonctions de plusieurs variables. Fonctions implicites. Applications géométriques. Différentielles.
- Étude des courbes planes et des surfaces définies par des équations cartésiennes non résolues par rapport à l'une des coordonnées.
- Enveloppes. Développées. Notions sur les équations tangentielles et les surfaces développables.

58,00 *
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Le premier volume de ce Traité a pour but d' exposer de la manière la plus simple les notions élémentaires sur lesquelles repose toute l'Analyse moderne : calcul booléien, nombres réels, espaces métriques et espaces de Banach, calcul différentiel, fonctions analytiques. Sur cette base, les volumes suivants développent, d'une part ce qu'on peut appeler "l'Analyse sur les espaces vectoriels" (chapitres XIII à XV, XXII et XXIII), de l'autre "l'Analyse globale" ou "Analyse sur les variétés" (chap. XVI à XXI et XXIV), non sans interactions réciproques, bien entendu. La conception qui domine ce volume a été de reporter aux volumes suivants toutes les notions secondaires nécessaires au développement de ces théories plus avancées, en se limitant au strict minimum, de manière à mettre en valeur les idées les plus fondamentales (comme celles d'espace compact, d'espace complet et d'espace connexe) et à en faciliter l'assimilation. Mises à part les règles de la logique et les propriétés usuelles des entiers naturels, toute l'Analyse est reprise à la base et n'exige en principe aucune connaissance préliminaire ; quant aux notions d'Algèbre nécessaires, en dehors des définitions les plus élémentaires (groupe, anneau, idéal, corps), elles sont introduites au fur et à mesure dans une Annexe. Toutefois, il n'est pas conseillé d'aborder la lecture de ce volume sans avoir bien assimilé les mathématiques enseignées dans le Premier cycle de l'Université.

Jean DIEUDONNÉ
 

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Avec le chapitre XI, les chapitres XIII à XV peuvent, dans ce Traité, être groupés en un "bloc d'Analyse fonctionnelle linéaire". En simplifiant à l'extrême, on peut dire en effet que les chapitres XIII et XIV étudient en détail un des types les plus importants de "formes linéaires", l'intégrale envisagée d'un point de vue général, qui est à l'Analyse ce que la notion de somme finie est à l'Algèbre ; tandis que le chapitre XV, approfondissant les idées introduites au chapitre XI sous un aspect plus élémentaire, s'appuie sur l'outil puissant fourni par l'intégrale pour analyser les opérateurs linéaires et leur spectre : on y observera le rôle prépondérant qu'y joue un des concepts algébriques de base, la notion d'anneau, qui jusque là n'était intervenue que sporadiquement en Analyse.

Le cadre de ces chapitres demeure encore assez abstrait, bien qu'on ait cherché à donner de nombreux exemples d'applications dans les problèmes ; les grandes théories de l'Analyse plus "concrète" auxquelles ils préparent font l'objet des chapitres XXI à XXIII.
Les notions élémentaires d'Analyse fonctionnelle introduites aux chapitres III, V, VI et VII ne sont plus tout à fait suffisantes pour les besoins des chapitres XIII à XV ; aussi a-t-on groupé en un chapitre XII les compléments nécessaires ; on y a aussi inséré les rudiments de la théorie des groupes topologiques, qui va intervenir de façon essentielle à partir du chapitre XVI.
Jean DIEUDONNÉ

65,00 *
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Avec le chapitre XVI commence ce que l'on s'accorde à considérer comme le cœur de l'Analyse moderne, l' "Analyse sur les variétés", ou "Analyse globale", dont l'étude des aspects les plus accessibles forme l'objet du reste de ce Traité. Malheureusement, avant d'aborder les problèmes principaux de cette branche des mathématiques, il est encore nécessaire de forger les outils permettant de les attaquer.
Les concepts essentiellement linéaires de l'Analyse classique dans les espaces Rn, développés aux chapitres VII à X, sont en effet inadéquats pour travailler dans les variétés différentielles ; ou plutôt, il faut commencer par les adapter au fait que l'aspect "linéaire", s'il demeure fondamental, est maintenant uniquement local ; il faut donc se garder de l'utilisation de "cartes" tant qu'on ne s'est pas assuré que les notions que l'on étudie sont intrinsèques, c'est à dire indépendantes du choix des cartes. Les chapitres XVI à XVIII sont donc consacrés à rendre "intrinsèques" les concepts classiques des chapitres VIII à X ; dérivées, dérivées partielles, équations différentielles, etc.
Chemin faisant, on élargira au chapitre XVII la théorie de l'intégrale : cette dernière ne nécessite à la base qu'une structure assez pauvre, celle d'espace localement compact ; lorsqu'on dispose d'une structure beaucoup plus riche comme celle de variété différentielle, on peut développer une théorie plus vaste, celle des distributions, qui complète harmonieusement l'intégration à bien des égards et joue un rôle capital dans l'Analyse contemporaine, comme on pourra le voir aux chapitres XXII et XXIII.
Jean DIEUDONNÉ

 

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Le chapitre XVIII est le dernier des trois chapitres qui posent les bases de l'Analyse sur les variétés différentielles, en précisant ce qu'il faut entendre dans cette théorie par équation différentielle ou aux dérivées partielles. Déjà dans les espaces Rn, il est clair que la notion classique d'équations aux dérivées partielles est liée au système d'axes choisi, et cela n'a pas laissé de causer bien des difficultés aux mathématiciens qui, au XIXe siècle, ont cherché à classer les équations aux dérivées partielles suivant leurs propriétés, même du point de vue purement local. Ce n'est qu'en ne perdant jamais de vue le sens géométrique d'un système différentiel (donnée d'un "élément tangent" en chaque point) qu'on a pu, à la suite de Élie Cartan, parvenir à des conceptions pleinement satisfaisantes à ce sujet ; la théorie générale est d'ailleurs loin d'être achevée, et nous n'en donnons que les premiers rudiments.
C'est également le point de vue local qui prédomine dans les chapitres XIX et XX, où sont exposés les premiers résultats d'Analyse "intrinsèque". Le chapitre XIX est entièrement consacré à l'exploitation de l'idée fondamentale de Lie, l'existence d'un "dictionnaire" qui traduit en termes algébriques les propriétés infinitésimales d'un groupe de Lie. La méthode suivie diffère un peu de la plupart des exposés, en prenant d'emblée comme objet algébrique fondamental l'algèbre de tous les opérateurs différentiels invariants par translation à gauche, d'ordre quelconque. Cela a l'avantage de faire correspondre à une structure associative une autre qui l'est également ; le fait (spécial à la caractéristique 0) que la connaissance des opérateurs invariants d'ordre 1 et de leur structure d'algèbre de Lie détermine tous les autres, n'est présenté que postérieurement, fournissant d'ailleurs aussitôt l' "algèbre enveloppante" dont on donne souvent une définition abstraite tout à fait inutile
La plus grande partie du chapitre XX est elle aussi consacrée à une étude locale, celle des variétés riemanniennes, envisagée dans le contexte plus général des "G-structures", forme moderne de la méthode du "repère mobile" de Élie Cartan, qui exploite la richesse de la structure d'espace fibré principal, grâce à la théorie de Lie
On a toutefois pu aborder dans les chapitres XVIII et XX un aspect de la géométrie différentielle "globale", l'étude des géodésiques d'une connexion inaugurée par Jacobi, qui constitue la partie la plus élémentaire du Calcul des variations.
Jean DIEUDONNÉ

 

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Contrairement à beaucoup d'exposés classiques, dans ce chapitre, la théorie des groupes de Lie semi-simples est, autant que possible, axée sur son aspect global, les algèbres de Lie n'intervenant que comme outils de démonstration. C'est pourquoi le chapitre débute par une analyse de la structure des groupes de Lie compacts et connexes, où la géométrie riemannienne permet une étude directe complète des tores maximaux (objets beaucoup plus "naturels" que les sous-algèbres de Cartan de la théorie classique). En outre, cette méthode à l'avantage de mettre dès le début l'accent sur l'une des notions les plus fondamentales des mathématiques, celle de représentation linéaire d'un groupe : c'est en effet des propriétés générales des représentations linéaires d'un groupe compact (non nécessairement de Lie), étudiées dès les premiers paragraphes du chapitre, que sont déduites, par la considération de la représentation adjointe, toutes les propriétés des "racines" et des "poids", qui paraissent toujours quelque peu miraculeuses quand on les aborde d'un point de vue strictement algébrique. 
Une fois étudiés les groupes semi-simples compacts, les propriétés de leurs complexifications et des formes réelles (non compactes) de ces complexifications s'obtiennent presque sans effort. Il faut malheureusement montrer qu'on obtient ainsi tous les groupes de Lie semi-simples complexes (resp. réels), ce qui nécessite une étude de type classique des algèbres de Lie semi-simples complexes (où toutefois la connaissance préalable de ce qui se passe pour les groupes compacts réduit l'allure arbitraire de la méthode suivie). On peut toutefois abréger cette étude en se dispensant entièrement de considérations sur les algèbres de Lie nilpotentes et résolubles, qui alourdissent inutilement beaucoup d'exposés ; ces notions ne sont introduites que postérieurement, au moment où elles sont réellement utiles (décompositions d'Iwasawa et de Lévi).
Jean DIEUDONNÉ

 

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On entend de nos jours par Analyse harmonique (commutative) la généralisation aux groupes commutatifs localement compacts de la théorie classique des séries et intégrales de Fourier, qui correspondent au cas des groupes Rn, Tn et Zn. Bien que, dans la suite de ce Traité, ce soit cette théorie classique qui est presque constamment utilisée, notamment comme outil fondamental dans la théorie des équations linéaires aux dérivées partielles (chap. XXIII), la théorie générale de l'Analyse harmonique a aujourd'hui tant d'autres applications, notamment en Arithmétique, qu'il serait contraire à l'esprit des mathématiques de notre temps de se borner au cadre classique de la théorie de Fourier, qui masque la nature des idées essentielles dominant l'Analyse harmonique, comme celle de convolution ou celle de fonction de type positif.
En fait, ces idées ont une portée bien plus grande encore, car elles se rattachent en réalité à la théorie générale des représentations linéaires (de dimension infinie) des groupes localement compacts quelconques, dite encore Analyse harmonique non commutative. Sans pouvoir aborder dans cet ouvrage l'essentiel d'une théorie aussi difficile, on en a cependant traité un aspect particulier, la théorie élémentaire des fonctions sphériques ; grâce à un théorème fondamental de Gelfand, elle repose en réalité sur une étude d'algèbres de fonctions involutives et commutatives, bien que liée aux représentations linéaires de groupes non commutatifs. Non seulement cette théorie englobe-t-elle celle de nombreuses "fonctions spéciales" et met-elle en lumière la notion essentielle de représentation induite, mais elle permet de mieux comprendre la nature de la "dualité de Pontrjagin" qui caractérise le cas particulier des groupes commutatifs
La dernière partie du chapitre revient à la transformation de Fourier classique, mais étendue aux distributions tempérées sur Rn ou In. C'est seulement dans ce cadre que disparaissent les aspects "pathologiques" de la théorie classique, trop étroitement liée à la notion de convergence "ponctuelle", alors que c'est en fait dans l'application de la transformation de Fourier à la théorie des opérateurs différentiels et à leurs généralisations que réside son principal intérêt en Analyse moderne.
Jean DIEUDONNÉ

 

45,00 *
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Ce chapitre a pour sujet principal la théorie des équations linéaires aux dérivées partielles, une des branches les plus importantes de l'Analyse, tant par ses répercussions dans beaucoup d'autres parties des mathématiques que par ses innombrables applications à la Mécanique, l'Astronomie et la Physique. Malgré sa longueur, il est très loin de constituer un exposé complet des connaissances actuelles dans ce domaine ; l'exposé a été limité aux trois types d'équations qui (en raison de leurs applications) ont été depuis 200 ans au premier plan des recherches : les équations elliptiques, hyperboliques et paraboliques, dont les prototypes sont respectivement l'équation de Laplace, l'équation des ondes et l'équation de la chaleur.
Les résultats comprennent quelques-uns des plus grands succès de l'Analyse moderne, obtenus grâce à une fusion harmonieuse et féconde des méthodes classiques (intégration par parties, théorie de Cauchy des fonctions holomorphes, transformation de Fourier) et des idées issues de l'Analyse fonctionnelle "abstraite" ; tout au long du chapitre le lecteur aura donc l'occasion de voir intervenir de façon essentielle les notions et résultats développés dans tous les chapitres antérieurs.
La première partie du chapitre, qui fait l'objet de cet ouvrage, est principalement consacrée, d'abord à l'étude des opérateurs intégraux (dont on n'a rencontré jusqu'ici que l'exemple le plus simple, l'opérateur de Fredholm), puis à la théorie des opérateurs pseudo-différentiels et de certaines de leurs généralisations. Grâce à la théorie des distributions, ces théories englobent à la fois les opérateurs différentiels et certains opérateurs intégraux et constituent les outils qui permettront d'attaquer dans la seconde partie du chapitre (tome 8), les principaux types de "problèmes aux limites".
Jean DIEUDONNÉ

 

54,00 *
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Pour les équations paraboliques ou strictement hyperboliques, on n'a envisagé que le problème de Cauchy local, ou le cas où les données de Cauchy sont portées par une variété compacte sans bord ; et pour les équations elliptiques, hormis le cas particulier des équations différentielles ordinaires, on ne s'est guère occupé que du problème de Dirichlet dans un ouvert borné de Rn et des problèmes aux limites de même type. Par contre, dans ce domaine volontairement restreint, l'auteur n'a accordé aucune place privilégiée aux équations à coefficients constants ni aux équations du second ordre (à l'exception d'une section sur le principe du maximum). Il a surtout voulu montrer comment l'usage systématique des opérateurs de Lax-Maslov et des opérateurs pseudo-différentiels, conjugués, dans le cas des équations elliptiques, avec la théorie spectrale des opérateurs dans les espaces hilbertiens, conduit à des méthodes de solution beaucoup plus naturelles et explicites que les méthodes basées sur les "inégalités a priori", et donne directement (lorsque toutes les données sont indéfiniment différentiables) de vraies solutions indéfiniment différentiables, et non des solutions "faibles" inutilisables dans les applications.
Jean DIEUDONNÉ

 

57,00 *
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Le but de ce chapitre est d'initier les analystes aux premiers rudiments de la Topologie algébrique et de la Topologie différentielle, deux des domaines les plus actifs des recherches modernes. Conformément à l'esprit de l' "Analyse globale" qui est celui de ce Traité, c'est la cohomologie des variétés différentielles et des espaces fibrés qui est au centre de ce chapitre, ainsi que ses relations les plus élémentaires avec les structures additionnelles portées par les variétés, telles que connexions ou structures de groupes. Lorsqu'on se borne à la cohomologie à coefficients réels ou complexes, on y accède immédiatement à l'aide des formes différentielles, sans les moindres préliminaires "combinatoires", et en n'utilisant comme outil algébrique que la suite exacte de cohomologie.
Toutefois c'est présenter une image incomplète de la théorie que de se limiter à la cohomologie à coefficients réels. Aussi, après avoir donné les propriétés essentielles de cette dernière, on aborde également la théorie de l'homologie singulière, en la mettant, comme de Rham, en rapport avec l'homologie des courants (duale de la cohomologie sur une variété orientée), la jonction se faisant par la formule de Stokes ; mais on se limite aux notions combinatoires strictement indispensables pour permettre le calcul de l'homologie des variétés différentielles les plus fréquemment rencontrées.

Jean DIEUDONNÉ
 

61,00 *
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Dans ce livre on étudie, sous le nom d'Algèbres de von Neumann, les algèbres communément appelées « anneaux d'opérateurs » ou « W*-algèbres ». La nouvelle terminologie, suggérée par Jean Dieudonné, est amplement justifiée du point de vue historique.
Certains des résultats sont valables pour des algèbres plus générales. Mais on a systématiquement évité ce genre de généralisation (sauf lorsque cela facilitait l'étude des algèbres de von Neumann elles-mêmes). Les chapitres I et II groupent les résultats qui semblent, à l'heure actuelle, les plus utiles pour les applications (mais on n'aborde pas l'étude de ces applications). Le chapitre III, plus technique, est destiné surtout aux spécialistes ; il est pratiquement indépendant du chapitre II.
Jacques DIXMIER, Introduction

54,00 *
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Soient H un espace hilbertien, L(H) l'ensemble des opérateurs linéaires continus dans H. Considérons un sous-ensemble A de L(H), stable pour l'addition, la multiplication, le produit par les scalaires, et l'adjonction ; supposons A fermé au sens de la norme des opérateurs. Alors A est une algèbre de Banach involutive d'un type particulier. Une telle algèbre s'appelle une C*-algèbre.
La théorie commença en 1943, lorsque Gelfand et Naimark eurent montré que, parmi les algèbres de Banach involutives, les C*-algèbres peuvent être caractérisées par des axiomes simples. On s'aperçut ensuite que les C*-algèbres jouent un rôle universel pour l'étude des représentations d'une classe très vaste d'algèbres de Banach involutives ; pour toute algèbre B de cette classe, on peut construire une C*algèbre A telle que les représentations de B dans un espace hilbertien s'identifient aux représentations de A. Pour beaucoup de questions (notamment celles qui font intervenir les idéaux), A est plus maniable que B. En particulier cette construction s'applique quand on prend pour B l'algèbre des fonctions intégrables sur un groupe localement compact G. On ramène ainsi l'étude des représentations unitaires de G à celle des représentations d'une certaine C*-algèbre, appelée C*-algèbre de G.
L'étude des C*-algèbres occupe presque les quatre cinquièmes de ce livre. On y expose les résultats principaux, dus notamment aux travaux de Fell, Glimm, Kadison, Kaplansky, Mackey, Segal et d'autres. Il m'a paru dommage de ne pas profiter du matériel ainsi accumulé et du matériel contenu dans mon livre sur les algèbres de von Neumann pour dire quelques mots des représentations unitaires des groupes. Ceci était d'autant plus indiqué que la théorie des groupes fournit les exemples les plus intéressants de C*-algèbres.
Jacques DIXMIER, Introduction

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L'étude des algèbres enveloppantes repose bien entendu sur une connaissance assez approfondie des algèbres de Lie. D'autre part, certaines propriétés des algèbres de Lie s'établissent commodément par l'emploi des algèbres enveloppantes ; dans ce livre, il importe d'exploiter cette possibilité. Mais le lecteur peut alors avoir l'impression d'un cercle vicieux. C'est pourquoi on établit au chapitre 1, par les méthodes les plus banales, les propriétés des algèbres de Lie nécessaires pour la suite. (On est passé assez vite sur les premières démonstrations : ce livre ne doit pas être considéré comme une introduction aux algèbres de Lie. Toutefois, comme les propriétés des systèmes de racines ne reposent évidemment pas sur la théorie des algèbres de Lie, on s'est contenté de rappeler en appendices, sans démonstration, celles de ces propriétés qui sont indispensables).
Le chapitre 2 introduit les personnages principaux : les algèbres enveloppantes. Pour étudier leurs idéaux primitifs, il faut certaines informations concernant leurs idéaux bilatères quelconques : c'est l'objet du chapitre 3. Le chapitre 4 considère l'un des ponts (ce n'est pas le seul) entre les algèbres enveloppantes et les algèbres commutatives, à savoir les centres des algèbres enveloppantes, de leurs quotients, de leurs anneaux de fractions.
C'est principalement grâce à la notion de représentation induite et à ses variantes qu'on sait construire des représentations simples des algèbres de Lie, donc des idéaux primitifs des algèbres enveloppantes. Cette notion est étudiée au chapitre 5.
Les outils principaux sont alors en main. Au chapitre 6, on détermine tous les idéaux primitifs de U(g) quand g est résoluble et le corps de base algébriquement clos. On utilise pour cela la méthode des orbites, introduite par A. A. Kirillov à propos des groupes de Lie nilpotents.
Les chapitres 7, 8 et 9 concernent le cas où g est semi-simple. Aux chapitres 7 et 9, on étudie des représentations simples particulières, liées au chois d'une sous-algèbre de Cartan (chap. 7), ou d'une décomposition symétrique (chap. 9). Au chapitre 8, on détermine entre autres choses les idéaux primitifs minimaux de U(g) pour un corps de base algébriquement clos. Ces chapitres laissent beaucoup à désirer : d'une part, bien des problèmes restent à résoudre ; d'autre part, certains résultats importants n'ont pu être établis ici parce qu'ils reposent sur des méthodes non algébriques. On peut espérer que cette situation s'améliorera dans un proche avenir.
Le chapitre 10 repose sur l'ensemble des chapitres 1 à 8. Si g est une algèbre de Lie quelconque sur un corps algébriquement clos, il est probable que la méthode des orbites s'applique encore sous une forme convenable. On réussit en tous cas à construire une vaste famille d'idéaux primitifs de U(g) attachés aux formes linéaires « régulières » sur g.
Jacques DIXMIER, Introduction

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Les Œuvres de Galois n'avaient pas jusqu'ici fait l'objet d'une publication exhaustive et ordonnée. Après que Liouville les eut "découvertes" en 1846 et en eut révélé l'importance au public mathématique, divers fragments laissés de côté par Liouville furent publiés par Jules Tannery en 1906 ; et tout récemment, Taton rendait enfin public pour la première fois le texte complet de la fulgurante Préface rédigée par Galois dans sa prison de Sainte-Pélagie. On trouvera dans ce volume, classés et analysés par MM. Robert Bourgne et Jean-Pierre Azra avec un soin et une compétence auxquels il convient de rendre hommage, la totalité des articles, manuscrits et fragments laissés par Galois. On pourra peut-être ainsi mieux apprécier encore l'étendue et la profondeur de cet extraordinaire génie.
Il est certes superflu de redire après tant d'autres ce que la mathématique doit à Galois. Chacun sait que ses idées sont à la source même de l'Algèbre moderne ; ce qui est peut-être moins connu, c'est qu'il était aussi, sans doute possible, parvenu à l'essentiel de la théorie des intégrales abéliennes, telle que Riemann devait la développer 25 ans plus tard. Par quelle voie avait-il obtenu ces résultats ? Les fragments de calculs d'Analyse trouvés dans ses papiers ne semblent guère permettre de répondre à cette question, mais il y a lieu de penser qu'il devait être très proche de l'idée de la "surface de Riemann" attachée à une fonction algébrique, et qu'une telle idée devait aussi être fondamentale dans ses recherches sur ce qu'il appelle la "théorie de l'ambiguité".
Jean DIEUDONNÉ, Préface

87,00 *
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La grande portée de l'œuvre de Galois tient en somme à ce fait, que sa théorie si originale des équations algébriques est une application systématique de deux notions fondamentales de groupe et d'invariant ; notions qui prennent chaque jour dans les mathématiques une place plus prépondérante, et tendent à dominer tout l'ensemble de cette science.
Il est vrai que, dans un certain sens, les notions de groupe et d'invariant ne sont pas nouvelles. Elles s'introduisent implicitement d'une façon plus ou moins immédiate, dans presque toutes les recherches mathématiques ; on reconnaît par exemple immédiatement que la géométrie euclidienne traite de grandeurs qui restent invariantes par le groupe de tous les mouvements. D'un autre côté, la notion d'invariant est en évidence dans les travaux de Vandermonde, Lagrange, Gauss, Ampère et Cauchy.
Au contraire c'est Galois, qui le premier, je crois, a introduit l'idée de groupe ; et en tous cas, il est le premier mathématicien qui a approfondi les rapports existant entre les idées de groupe et d'invariant. C'est de plus à lui que l'on doit incontestablement la notion de sous-groupe invariant et, par-dessus tout, c'est lui qui a pleinement mis en lumière la puissance de ces nouvelles conceptions en traitant un exemple du plus haut intérêt, et d'une difficulté presque insurmontable.
Sophus LIE, Influence de Galois sur ledéveloppement des mathématiques

17,00 *
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La théorie des équations doit à Lagrange, Gauss et Abel des progrès considérables. mais aucun d'eux n'arriva à mettre en évidence l'élément fondamental dont dépendent toutes les propriétés de l'équation ; cette gloire était réservée à Galois, qui montra qu'à chaque équation algébrique correspond un groupe de substitutions dans lequel se reflètent les caractères essentiels de l'équation. En Algèbre, la théorie des groupes avait fait auparavant l'objet de nombreuses recherches dues, pour la plupart à Cauchy, qui avait introduit déjà certains éléments de classification ; les études de Galois sur la Théorie des équations lui montrèrent l'importance de la notion de sous-groupe invariant d'un groupe donné, et il fut ainsi conduit à partager les groupes en groupes simples et groupes composés, distinction fondamentale qui dépasse de beaucoup, en réalité, le domaine de l'Algèbre et s'étend au concept de groupes d'opérations dans son acception la plus étendue.
Émile PICARD, Introduction

31,00 *
Référence: 035

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Le calcul matriciel est largement utilisé, de nos jours, dans divers domaines des mathématiques, de la physique théorique, de l'électrotechnique théorique, etc. Mais, ni dans la littérature soviétique, ni dans la littérature étrangère, il n'existe de livre donnant un exposé suffisamment complet de la théorie des matrices et de ses nombreuses applications.
Les leçons sur la théorie des matrices et ses applications, que l'auteur a répétées de nombreuses fois aux Universités de Moscou et de Tiflis et à  l'Institut de Physique et de Technologie de Moscou, constituent la matière première de ce livre.
Ce livre s'adresse, non seulement aux mathématiciens (étudiants, universitaires, chercheurs), mais aussi aux spécialistes de diverses disciplines (physiciens, ingénieurs de recherche) qui s'intéressent aux mathématiques et à leurs applications. C'est pourquoi l'auteur s'est efforcé de donner à son exposé une forme aussi accessible que possible, ne supposant de la part du lecteur que la connaissance de la théorie des déterminants et du cours de mathématiques supérieures enseigné dans les facultés. Seuls, quelques paragraphes des derniers chapitres exigent du lecteur des connaissances mathématiques supplémentaires.
Félix R. GANTMACHER, Avant-Propos

82,00 *
Référence: 043

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L'ouvrage de M. Hilbert sur La Théorie des Nombres algébriques est un de ces Rapports que publie la Société des Mathématiciens allemands et qui fixent l'état de la Science à une époque et dans un domaine. M. Hilbert, sans négliger le point de vue historique, y reprend toute la théorie d'une manière didactique, suivie, complète et personnelle. Il fond, dans un exposé nouveau, tous les résultats acquis ; il énonce et enchaîne les propositions avec la plus grand soin, fait ressortir les théorèmes essentiels ; enfin, dans les démonstrations, toujours nettes et précises, s'il laisse parfois de côté les points secondaires et faciles, c'est pour mieux mettre en relief le nœud même du raisonnement.
Bien des géomètres, en rédigeant un Mémoire, ont rêvé certainement d'un mode d'exposition où les lignes essentielles seraient marquées en vigueur, et les détails seulement esquissés : l'habitude, la crainte de l'obscurité les ont généralement ramenés dans la route traditionnelle. M. Hilbert a su en sortir. Aussi nul livre n'est-il, pour les mathématiciens, d'une lecture plus attachante : il conduit, sans effort sensible, des parties les plus élémentaires jusqu'aux sommets de cette belle Science des Nombres, déjà si féconde en résultats et si riche encore en promesses. Qui l'a lu, compris et médité possède les méthodes et sait leurs conséquences.
Georges HUMBERT, Préface

57,00 *
Référence: 021

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Le but de cet Ouvrage est de développer les méthodes de Galois et de les constituer en corps de doctrine, en montrant avec quelle facilité elles permettent de résoudre tous les principaux problèmes de la théorie des équations. Pour en faciliter l'intelligence, nous avons pris notre point de départ dans les éléments, et nous y avons exposé, outre nos propres recherches, tous les principaux résultats obtenus par les géomètres qui nous ont précédé. Mais nous avons souvent modifié assez profondément l'énoncé et le mode de démonstration de ces propositions, afin de tout ramener à des principes uniformes et aussi généraux que possible.
[...]
Parmi les Ouvrages que nous avons consultés, nous devons citer particulièrement, outre les Œuvres de Galois, dont tout ceci n'est qu'un Commentaire, le Cours d'Algèbre supérieure de J.-A. Serret. C'est la lecture assidue de ce Livre qui nous a initié à l'Algèbre et nous a inspiré le désir de contribuer à ses progrès.
Camille JORDAN, Préface 

79,00 *
Référence: 237

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144,00 *
Référence: 242

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La solution de tout problème déterminé se réduit, en dernière analyse, à la résolution d'une ou de plusieurs équations, dont les coefficients sont donnés en nombres, et qu'on peut appeler équations numériques. Il est donc important d'avoir des méthodes pour résoudre complètement ces équations, de quelque degré qu'elles soient. Celle que l'on trouve dans le Recueil des Mémoires de l'Académie de Berlin pour l'année 1767, est la seule qui offre des moyens directs et sûrs de découvrir toutes les racines tant réelles qu'imaginaires d'une équation numérique donnée, et d'approcher le plus rapidement et aussi près que l'on veut de chacune de ces racines. On a réuni dans le présent Traité le Mémoire qui contient cette méthode et les Additions qui ont paru dans le volume des Mémoires de la même Académie, pour l'année 1768. Et pour rendre ce Traité plus intéressant, on y a joint plusieurs Notes, dont les deux dernières paraissent pour la première fois dans cette nouvelle édition. Ces Notes contiennent des recherches sur les principaux points de la théorie des équations algébriques.
Joseph-Louis LAGRANGE, Introduction

72,00 *
Référence: 298

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C'est à Georges Bruhat que remonte l'idée première de ce livre. Il avait été frappé par le fait qu'il n'existait dans la littérature scientifique française aucun ouvrage de Physique Mathématique analogue aux traités classiques de Courant et Hilbert ou de Frank et Misès et il pensait aussi que ces traités n'étaient pas construits de manière à être pleinement accessibles aux physiciens théoriciens ou expérimentateurs. C'est alors qu'il me demanda s'il me serait possible de rédiger un ouvrage d'un niveau relativement élémentaire permettant aux physiciens de s'initier aux grandes techniques mathématiques de la physique moderne.
Le présent volume a été conçu pour répondre au moins partiellement à ce but. Il diffère de ce qui existait antérieurement dans la littérature étrangère sur deux points essentiels. D'une part son niveau est élémentaire : à l'exception de quelques paragraphes, il peut être lu par un lecteur ayant des connaissances solides relativement au programme des classes de Mathématiques spéciales ou des cours de Mathématiques générales. D'autre part il s'efforce de familiariser le lecteur aussi bien avec l'algèbre des opérateurs linéaires et des matrices qu'avec l'algèbre tensorielle si utile pour la pleine compréhension de tant de théories physiques.
Il est peut-être inutile de faire observer qu'il n'est point de Mathématiques « sans larmes » à l'usage exclusif des physiciens et que, si je me suis efforcé de choisir et coordonner celles des théories mathématiques qui peuvent être utiles aux physiciens, il m'était impossible de renoncer dans leur exposé à cette rigueur sans laquelle il n'est plus de science ni mathématique ni physique.
André LICHNEROWICZ, Avant-Propos

60,00 *
Référence: 138

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La structure des Mathématiques a subi au cours des dernières années, une évolution considérable. Les récents développements utilisent certains concepts nouveaux tels que "module", "catégorie" et "morphisme" qui sont de nature algébrique et peuvent très bien être présentés de façon naturelle à partir de notions élémentaires. L'efficacité de ces idées nous incite à rénover la présentation de l'algèbre.
La clef de tout cet exposé est l'usage systématique des méthodes abstraites et axiomatiques qui remonte à l'algèbre moderne des années 1920. On se rendit compte à cette époque que l'algèbre ne s'intéresse pas primordialement à la manipulation des sommes et produits de nombres (tels que rationnels, réels, complexes) mais aux sommes et produits d'éléments quelconques – sous l'hypothèse que les sommes et produits d'éléments considérés satisfont aux règles de base convenables ou "axiomes" ; plus précisément, les axiomes d'"anneau" (addition, soustraction, multiplication) ou de "corps" (les trois opérations précédentes plus la division).
Il se produisit une transformation analogue dans le traitement des vecteurs. Initialement un vecteur de l'espace à trois dimensions était donné en termes de composantes relatives à un système donné d'axes, de telle sorte qu'un vecteur était défini comme un triplet de nombres. L'accent mis sur l'addition vectorielle et la multiplication d'un vecteur par un nombre réel (un scalaire) montra qu'il y aurait avantage à traiter les vecteurs, indépendamment de tout choix d'axes, comme les éléments d'un "espace vectoriel" réel dans lequel ces opérations sont définies et doivent satisfaire aux axiomes appropriés. Les mêmes axiomes (et la plupart des théorèmes) s'appliquent encore quand les scalaires ne sont plus des nombres réels mais des éléments d'un corps quelconque. De ce fait, l'algèbre des matrices apparut d'une façon plus claire et intrinsèque comme l'algèbre des applications linéaires.
D'autres branches de l'algèbre furent éclaircies par des reformulations analogues. Par exemple, on s'aperçut que la théorie de Galois avait affaire, non pas aux substitutions des racines d'un polynôme, mais au groupe des automorphismes du corps engendré par ces racines.
Toutes ces idées de l'algèbre moderne ont fait leur chemin dans l'enseignement au cours de la décennie suivante (celle des années 1930), au niveau 3e cycle grâce à l'influence de Modern Algebra  de van der Waerden et plus tard au niveau première année de Faculté, grâce à divers ouvrages tel que notre A survey of modern algebra. Actuellement l'usage de ces idées est généralement admis.
Saunders MacLANE et Garrett BIRKHOFF, Avant-Propos

102,00 *
Référence: 100

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ARTICLES :

I-1 : PRINCIPES FONDAMENTAUX DE L'ARITHMÉTIQUE
H. Schubert - J. Tannery - J. Molk

I-2 : ANALYSE COMBINATOIRE ET THÉORIE DES DÉTERMINANTS
E. Netto - H. Vogt

I-3 : NOMBRES IRRATIONNELS ET NOTION DE LIMITE
A. Pringsheim - J. Molk

I-4 : ALGORITHMES ILLIMITÉS
A. Pringsheim - J. Molk

I-5 : NOMBRES COMPLEXES
E. Study - É. Cartan

I-6 : ALGORITHMES ILLIMITÉS DE NOMBRES COMPLEXES
A. Pringsheim - M. Fréchet

I-7 : THÉORIE DES ENSEMBLES
A. Schœnflies - R. Baire

i-8 : SUR LES GROUPES FINIS DISCONTINUS *
H. Burkhardt - H. Vogt

* La fin de l'article n'a pas été publiée en raison de la guerre.

58,00 *
Référence: 101

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ARTICLES :

I-9 : FONCTIONS RATIONNELLES
E. Netto - R. Le Vavasseur

I-10 : PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES CORPS ET DES VARIÉTES ALGÉBRIQUES
G. Landsberg - J. Hadamard - J. Kurschak

I-11 : THÉORIE DES FORMES ET DES INVARIANTS *
W .F. Meyer - J. Drach

* La fin de l'article n'a pas été publiée en raison de la guerre.

57,00 *
Référence: 102

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ARTICLES :

I-15 : PROPOSITIONS ÉLÉMENTAIRES DE LA THÉORIE DES NOMBRES
P. Bachmann - E. Maillet

I-16 : THÉORIE ARITHMÉTIQUE DES FORMES
K. Th. Vahlen - E. Cahen

I-17 : PROPOSITIONS TRANSCENDANTES DE LA THÉORIE DES NOMBRES
P. Bachmann - J. Hadamard - E. Maillet

I-18 : THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGÉBRIQUES
D. Hilbert - H. Vogt

I-19 : MULTIPLICATION COMPLEXE *
H. Weber - E. Cahen

* La fin de l'article n'a pas été publiée en raison de la guerre.

37,00 *
Référence: 315

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Cet ouvrage, publié en 1707, avait été composé, trente ans auparavant, pour servir aux leçons que donnait son immortel auteur dans l'Université de Cambridge, où il était professeur de mathématiques. Peu volumineux, comme tous les bons livres que la réflexion a mûris, celui-ci mérita non seulement d'être mis au nombre des plus excellents livres élémentaires, mais encore de tenir une place remarquable parmi les ouvrages d'invention, qui augmentent le domaine de la science par des vérités neuves et importantes. Voici ce qu'en disait, sous ce dernier rapport, l'abbé de Gua, Géomètre de l'Académie des Sciences, en 1741.

« Quoique Newton fût né, dit-il, dans un temps ou l'analyse paraissait déjà presque parfaite, cependant un si grand génie ne pouvait manquer de trouver à y ajouter encore. Il a donné en effet, successivement, dans son Arithmétique universelle : 1°. Une règle très élégante et très belle pour reconnaître les cas où les équations peuvent avoir des diviseurs rationnels, et pour déterminer, dans ces cas, quels polynômes peuvent être ces diviseurs ; 2°. Une autre règle pour reconnaître, dans un grand nombre d'occasions, combien il doit se trouver de racines imaginaires dans une équation quelconque ; une troisième pour déterminer d'une manière nouvelle les limites des équations ; enfin une quatrième pour découvrir en quel cas les équations des degrés pairs peuvent se résoudre en d'autres de degrés inférieurs dont les coefficients ne contiennent que de simples radicaux du premier degré. »

Considérée comme ouvrage élémentaire destiné aux commençants, l'Arithmétique universelle nous paraît encore plus recommandable. C'est un modèle de méthode, de précision, d'élégance : c'en est un dans l'art de généraliser ses idées, dans le choix des problèmes, dans la variété des solutions.
Ce qui embarrasse les commençants en algèbre (et le livre dont il s'agit est un traité de cette science) ce qui, dis-je, est difficile pour eux, ce n'est pas de comprendre, ni de suivre le mécanisme de cette langue jusques dans ses moindres détails, un esprit ordinaire en vient facilement à bout ; c'est de saisir, dans une question, les rapports que les grandeurs ont entre elles, et de les traduire en langage algébrique. On n'a point de règles générales à ce sujet, et il est impossible d'en trouver, parce que les principes d'où dérivent les rapports sont différents dans les problèmes de différents genres. Il n'y a que l'habitude d'envisager ces sortes de questions, de les discuter, de les varier, qui puisse, après beaucoup d'exercice, donner de la facilité dans ces recherches. Aussi Newton semble-t-il s'être proposé principalement de plier les esprits à cette habitude. La moitié de son livre n'a point d'autre objet. Les sujets des questions qu'il présente sont pris dans toutes les parties de nos connaissances auxquelles l'algèbre est applicable : elles sont choisies avec tant de soin, et disposées avec tant d'art, qu'un jeune esprit a besoin de déployer à chaque instant une sagacité nouvelle, et qu'en même temps, à chaque pas, il a le sentiment agréable de l'accroissement de ses forces.
L. LEFÈVRE-GINEAU, membre de l'Institut national, et professeur au Collège de France

125,00 *
Référence: 175

A reparaître

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Les recherches et les publications de Henri Poincaré sur l'Algèbre et l'Arithmétique sont très diverses. Certaines se rattachent à des travaux contemporains d'Arithmétique qu'il a enrichis de méthodes et d'idées nouvelles.
C'est ainsi qu'un grand nombre de ses Notes et de ses Mémoires ont été inspirés par des travaux, des exposés ou des méthodes de Clebsch, Steiner,Lie, Sylvester, Laguerre, Appell, Hill, HadamardGauss, Bravais, Eisenstein, Hermite, Selling, Korkine et Zolotareff, Lejeune Dirichlet, Kummer, Dedekind, JordanTchebicheff, Fredholm, etc...
D'autres concernent des applications à l'arithmétique de ses découvertes d'analyse, mais aussi l'utilisation de l'arithmétique dans la construction de cette analyse. C'est le cas pour les études sur les invariants arithmétiques, sur les groupes fuchsiens, dont certains qualifiés arithmétiques sont engendrés par des substitutions automorphes de formes quadratiques, sur les fonctions fuchsiennes définies par ces groupes arithmétiques et qui ont un théorème d'addition ; sur les propriétés arithmétiques des courbes algébriques. On sait notamment que ce dernier travail a été l'origine de nombreuses recherches ultérieures.
Albert CHÂTELET, Note

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