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Analyse

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Il est difficile de séparer complètement les domaines de l'algèbre et de l'analyse. En effet dans celle-ci la notion de limite est reine. On peut toutefois remarquer que l'analyse est consacrée aux ensembles possédant une structure très voisine de celle de R, par exemple comme les espaces vectoriels normés. Historiquement, l'analyse commença d'abord à explorer l'ensemble des nombres réels, puis des nombres complexes. Les théorèmes d'analyse sont la généralisation des résultats obtenus dans l'étude des dérivées et des intégrales, qui constituent le calcul différentiel et intégral, encore aujourd'hui l'un des monuments des mathématiques et de la science de l'ingénieur, d'une importance incomparable dans la « mathématisation » du monde actuel. Pendant tout le XIXe siècle, on a pu croire que les mathématiques tout entières deviendraient une extension de cette théorie des fonctions. Les structures de l'analyse sont à la fois algébriques et topologiques.
Si l'algèbre semble avoir remplacé l'analyse dans ce rôle primordial, il est juste de dire que l'étude des limites (ou encore des infiniments petits) reste, non seulement l'outil irremplaçable de la mathématique appliquée sous toutes ses formes, mais aussi un champ de recherches largement ouvert. Simplement doit-on faire remarquer que l'analyste moderne se place d'emblée dans des espaces beaucoup plus riches que l'espace traditionnel des réels, mais s'il obtient ainsi des résultats d'une portée théorique beaucoup plus étendue, l'esprit même de sa démarche est identique à celui d'un Legendre ou d'un Poincaré.

André WARUSFEL, Dictionnaire raisonné des Mathématiques, 1966, Éditions du Seuil

 


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En présentant, un demi-siècle après la mort d'Abel, cette nouvelle édition de ses Œuvres au public mathématique, nous osons espérer qu'elle contribuera fortement à ce que ces travaux qui ont tant guidé le mouvement mathématique de notre temps, soient étudiés dans l'original par la génération actuelle de mathématiciens. Abel a eu de grands successeurs ; mais pour qui veut continuer dans la voie frayée par lui, il sera toujours profitable de remonter à la source même : les immortelles Œuvres d'Abel.
Ludwig SYLOW et Sophus LIEPréface

167,00 *
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Les méthodes courantes pour l'introduction des nombres irrationnels se rattachent à deux principales : l'une repose sur la notion de coupure, l'autre sur la notion de suite convergente ; dans l'une et l'autre, une fois les nombres irrationnels introduits, on se préoccupe immédiatement de leur étendre les quatre opérations arithmétiques. Je procède différemment à cet égard : j'ajourne l'étude de ces quatre opérations, sauf la différence, à laquelle je fais une place à part, parce qu'elle joue dans toute la théorie un rôle prédominant, comme une simple réflexion le montre : la notion de différence est en effet la forme précise de la notion vague de rapprochement, de voisinage, qui domine nécessairement toute étude où il s'agit du continu ; or, le rôle des nombres irrationnels est précisement de servir à construire le continu, en comblant les lacunes que présente l'ensemble des nombres rationnels.
René BAIRE

13,00 *
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Les cours que Bertrand a faits au Collège de France ont porté sur les sujets les plus variés. C'est là qu'il a préparé, en particulier, ce grand Traité de Calcul différentiel et de Calcul intégral ; la préface même de l'ouvrage, qui contient l'histoire de la découverte du Calcul et des débats de Leibniz et de Newton, a été lue dans une des leçons de Bertrand.
Il faudrait bien se garder de voir dans ce Traité une simple compilation. L'auteur, sans doute, y expose les découvertes des autres ; mais il y joint les siennes, de manière à obtenir une exposition personnelle et originale. C'est ainsi qu'il donne un exposé magistral de ses travaux et de ceux des géomètres français, sur la théorie infinitésimale des courbes et des surfaces. De même, dans le chapitre sur les déterminants fonctionnels, il reprend une définition géniale donnée dans un de ses Mémoires, et démontre, d'une manière intuitive, les nombreux théorèmes de Jacobi.
Gaston DARBOUXÉloge historique de Joseph-Louis-François BERTRAND, 1901
 

195,00 *
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Sommaire

- Notions générales sur les ensembles.
- Les nombres algébriques et l'approximation des incommensurables.
- Les ensembles parfaits et les ensembles mesurables.
- Le prolongement analytique.
- Sur la convergence de certaines séries réelles.
- La notion de fonction d'une variable complexe.
Notes
- La notion de puissance.
- La croissance des fonctions et les nombres de la deuxième classe.
- La notion de fonction en général.
- Les polémiques sur le transfini et sur la démonstration de Zermelo.
- Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques.
- La théorie de la mesure et la théorie de l'intégration.
- Pour ou contre la logique empirique.
- L'axiome du choix et les définitions asymptotiques.

54,00 *
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Étant donné l'intérêt que me paraît présenter le problème des séries divergentes et vu les polémiques ardentes qu'il a autrefois soulevées, j'ai cru devoir faire précéder d'une courts Introduction historique l'exposition des théories modernes. Cette Introduction se termine par quelques considérations générales sur les séries divergentes et par quelques indications sur le plan de ces Leçons.
Émile BOREL, Préface de la première édition (1901)

Depuis l'apparition de la première édition, les travaux sur les séries divergentes ont été si nombreux et si importants qu'il était nécessaire de remanier et de compléter cet ouvrage. Je dois remercier de tout cœur M. Bouligand d'avoir bien voulu m'apporter, pour cette tâche, son inappréciable concours. Grâce à lui, les lecteurs trouveront ici, non seulement les principes généraux de la théorie des séries divergentes, mais un exposé des travaux les plus récents et aussi des renseignements bibliographiques qui leur permettront de s'orienter parmi les recherches nouvelles.
Èmile BOREL, Préface de la deuxième édition (1928)

 

32,00 *
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Mon seul but en publiant ces recueils d'exercices, est d'être réellement utile aux jeunes gens qui abordent le calcul infinitésimal.
Pour atteindre ce but, le moyen le meilleur m'a paru de rappeler en tête de chaque partie traitée les résultats principaux de la théorie, puis de développer quelques exemples d'application, de telle sorte que la marche dans des questions semblables fût clairement tracée ; enfin de présenter à la suite, un nombre suffisant d'exercices du même genre, en ne fournissant que les réponses, afin de laisser à l'élève, dans le raisonnement et dans le calcul, cette initiative qui seule conduit à de véritables progrès.
Autant que possible, j'ai disposé la matière de manière à graduer la difficulté, et quand celle-ci, trop grande, m'aurait semblé devoir rebuter l'étudiant, j'ai indiqué, quelquefois détaillé, le procédé de résolution.
Édouard BRAHY, Préface

58,00 *
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Lazare Carnot, dans ses Réflexions sur la Métaphysique du Calcul infinitésimal (ou différentiel), où il discute avec beaucoup de soin les principes de ce calcul, observe que c'est en vertu de la loi de continuité, que les quantités évanouissantes gardent encore le rapport dont elles se sont approchées par degrés, avant de s'évanouir.

Cet écrit prouve que si on avait créé des mots lorsqu'il en était besoin, on aurait eu des idées plus claires. En appelant équations imparfaites, les équations différentielles, Lazare Carnot jette un grand jour sur leur théorie. En effet, lorsque l'on considère les différentielles qu'elles contiennent, comme représentant les accroissements des variables, elles n'ont lieu que d'une manière approchée ; mais leur degré d'exactitude est en quelque sorte indéfini, car il dépend de la petitesse qu'on suppose aux changements des variables ; et puisque rien ne limite cette petitesse, les équations différentielles peuvent donc être aussi près de la vérité qu'on le voudra : voilà les idées de Leibnitz traduites en Analyse. Lazare Carnot fait voir ensuite, comment les équations imparfaites deviennent rigoureuses à la fin du calcul, et à quel signe on reconnaît leur légitimité ; ce signe est la disparition totale des quantités différentielles, dont pouvait provenir l'erreur, s'il y en avait.
On ne doit pas juger le travail de Lazare Carnot, par le peu que j'en ai dit ; et ce n'est pas seulement dans la manière d'envisager le Calcul différentiel qui lui est propre, que consiste le mérite de son Mémoire, mais encore dans la comparaison qu'il fait des divers points de vue sous lesquels on a présenté ce calcul.
S.-F. LACROIX, Traité de calcul différentiel et de calcul intégral, t.I, 2e édition, 1810

45,00 *
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Le Traité élémentaire des séries renferme, comme l'auteur le dit avec raison, beaucoup plus de choses qu'on ne serait tenté de le croire au premier abord. Dans aucune partie de l'analyse, en effet, M. Catalan n'est plus dans son propre domaine que dans la théorie des séries. C'est un sériéiste, comme l'appelait Terquem ; il connaît les séries une à une, comme nous connaissons les propositions élémentaires de la Géométrie.

Dans son livre, il expose les vrais principes de la théorie de ces expressions remarquables, sur lesquelles le XVIIIe siècle avait accumulé tant de nuages ; il les expose avec une telle profusion d'exemples et d'applications que le lecteur en est ébloui et presque épouvanté. Chemin faisant, il relève les erreurs et les contradictions des esprits attardés qui osent encore traiter les séries divergentes ou indéterminées, de la même manière que si elles étaient convergentes.
Partout, en un mot, il se souvient de cette vérité si importante et qu'il a d'ailleurs inculquée dans tous ses autres ouvrages : l'infini, en mathématiques, n'est qu'une manière de parler ; en réalité, il s'agit de limite quand on parle de l'infini (Gauss).
Paul MANSION

36,00 *
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Quelques personnes, qui ont bien voulu guider mes premiers pas dans la carrière des sciences, et parmi lesquelles je citerai avec reconnaissance MM. Laplace et Poisson, ayant témoigné le désir de me voir publier le Cours d'analyse de l'École royale polytechnique, je me suis décidé à mettre ce Cours par écrit pour la plus grande utilité des élèves.

J'en offre ici la première partie connue sous le nom d'Analyse algébrique, et dans laquelle je traite successivement des diverses espèces de fonctions réelles ou imaginaires, convergentes ou divergentes, de la résolution des équations, et de la décomposition des fractions rationnelles.
En parlant de la continuité des fonctions, je n'ai pu me dispenser de faire connaître les propriétés principales des quantités infiniment petites, propriétés qui servent de base au calcul infinitésimal.
Enfin, dans les préliminaires et dans quelques notes placées à la fin du volume, j'ai présenté des développements qui peuvent être utiles soit aux Professeurs et aux Élèves des Collèges royaux, soit à ceux qui veulent faire une étude spéciale de l'analyse.
Quant aux méthodes, j'ai cherché à leur donner toute la rigueur qu'on exige en géométrie, de manière à ne jamais recourir aux raisons tirées de la généralité de l'algèbre. Les raisons de cette espèce, quoique assez communément admises, surtout dans le passage des séries convergentes aux séries divergentes, et des quantités réelles aux expressions imaginaires, ne peuvent être considérées, ce me semble, que comme des inductions propres à faire pressentir quelquefois la vérité, mais qui s'accorde peu avec l'exactitude si vantée des sciences mathématiques.
On doit même observer qu'elles tendent à faire attribuer aux formules algébriques une étendue indéfinie, tandis que, dans la réalité, la plupart de ces formules subsistent uniquement sous certaines conditions, et pour certaines valeurs des quantités qu'elles renferment.
En déterminant ces conditions et ces valeurs, et en fixant d'une manière précise le sens des notations dont je me sers, je fais disparaître toute incertitude ; et alors les différentes formules ne présentent plus que des relations entre les quantités réelles, relations qu'il est toujours facile de vérifier par la substitution des nombres aux quantités elles-mêmes.
Il est vrai que, pour rester constamment fidèle à ces principes, je me suis forcé d'admettre plusieurs propositions qui paraîtront peut-être un peu dures au premier abord.
Par exemple, j'énonce dans le chapitre VI, qu'une série divergente n'a pas de somme ; dans le chapitre VII, qu'une équation imaginaire est seulement la représentation symbolique de deux équations entre quantités réelles ; dans le chapitre IX, que, si des constantes ou des variables comprises dans une fonction, après avoir été supposées réelles, deviennent imaginaires, la notation à l'aide de laquelle la fonction se trouvait exprimée, ne peut être conservée dans le calcul qu'en vertu d'une convention nouvelle propre à fixer le sens de cette notation dans la dernière hypothèse ; etc.
Mais ceux qui liront mon ouvrage reconnaîtront, je l'espère, que les propositions de cette nature, entraînant l'heureuse nécessité de mettre plus de précision dans les théories, et d'apporter des restrictions utiles à des assertions trop étendues, tournent au profit de l'analyse, et fournissent plusieurs sujets de recherches qui ne sont pas sans importance. Ainsi, avant d'effectuer la sommation d'aucune série, j'ai dû examiner dans quels cas les séries peuvent être sommées, ou, en d'autres termes, quelles sont les conditions de leur convergence ; et j'ai, à ce sujet, étable des règles générales qui me paraissent mériter quelque attention.
Augustin-Louis CAUCHY, Introduction

68,00 *
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LIVRE I
ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE
- Polynômes entiers. Analyse combinatoire.
- Nombres irrationnels. Calcul des radicaux. Limite d'une suite.
- Rappel de notions fondamentales. Nombres complexes.
- Division des polynômes.
- Premières notions sur les fonctions, les limites, la variation des fonctions et la continuité.
- Déterminants.
- Équations et formes linéaires.
- Décomposition en facteurs d'un polynôme entier d'une variable. Relations entre les coefficients et les racines.
- Fonctions symétriques. Élimination.
- Transformation et abaissement des équations. Propriétés spéciales aux équations à coefficients réels.

LIVRE II
ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE
- Coordonnées. Produits de vecteurs. Directions et angles. Homogénéité.
- Introduction à l'étude de la géométrie plane.
- Introduction à l'étude de la géométrie dans l'espace.
- La droite en géométrie plane.
- Le plan et la droite dans l'espace.
- Le Cercle en géométrie plane.
- La Sphère.
- Rapport anharmonique. Divisions et faisceaux homographiques. Divisions et faisceaux en involution.
- Lieux géométriques. Génération des surfaces.

72,00 *
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LIVRE III
LES ÉLÉMENTS D'ANALYSE ET LEURS APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
- Fonction de fonction. Fonction composée. Inversion d'une fonction. Fonctions exponentielle, logarithmique et puissance.
- Infiniment petits. Infiniment grands.
- Séries.
- Nombre e. Fonctions hyperboliques.
- Calcul des dérivées.
- Formules des accroissements finis, de Taylor et de Mac-Laurin. Développements limités et formes indéterminées.
- Séries entières et développements en séries. Fonction exponentielle, fonctions circulaires et fonctions hyperboliques d'une variable complexe.
- Variation des fonctions. Courbes définies par une équation cartésienne résolue par rapport à l'une des coordonnées.
- Séparation et calcul des racines d'une équation.
- Courbes définies par une représentation paramétrique.
- Coordonnées polaires.
- Fonctions de plusieurs variables. Fonctions implicites. Applications géométriques. Différentielles.
- Étude des courbes planes et des surfaces définies par des équations cartésiennes non résolues par rapport à l'une des coordonnées.
- Enveloppes. Développées. Notions sur les équations tangentielles et les surfaces développables.

58,00 *
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LIVRE IV
LES ÉLÉMENTS DU CALCUL INTÉGRAL
- Décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples.
- Recherche des fonctions primitives.
- Intégrales définies.
- Applications géométriques du calcul des intégrales définies.
- Courbure.
- Équations différentielles du premier ordre.
- Équations différentielles du second ordre.
- Applications géométriques des équations différentielles.

LIVRE V
ÉTUDE DES COURBES ET DES SURFACES DU SECOND ORDRE
- Formes quadratiques. Classifications des courbes du second ordre.
- Classifications des surfaces du second ordre.
- Éléments conjugués par rapport aux courbes du second ordre et aux enveloppes planes de seconde classe.
- Centres et diamètres dans les courbes du second ordre.
- Éléments conjugués par rapport aux surfaces du second ordre et aux enveloppes de seconde classe.
- Centres, plans diamétraux, diamètres dans les surfaces du second ordre.
- Détermination d'une courbe ou d'une surface du second ordre. Homographie et involution sur les coniques.
- Génératrices rectilignes des quadriques.
- Homothétie des courbes et des surfaces du second ordre.
- Directions principales et axes d'une courbe du second ordre. Réduction de l'équation en coordonnées rectangulaires. Foyers.
- Directions principales, plans principaux et axes d'une surface du second ordre. Réduction de l'équation en coordonnées rectangulaires.
- Faisceaux linéaires de courbes du second ordre.
- Faisceaux linéaires de surfaces du second ordre. Intersection de deux surfaces du second ordre.
- Étude des coniques sur leurs équations réduites.
- Étude des quadriques sur leurs équations réduites.

71,00 *
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Un ouvrage considérable de géométrie infinitésimale, intitulé : Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, fut le fruit de l'enseignement de Gaston Darboux à la Sorbonne. Il constitue en même temps un traité sur les équations aux dérivées partielles. Parmi celles-ci, l'auteur fait une étude approfondie de certaines équations étudiées d'abord par Laplace, dont il montre le rôle en géométrie, et pour lesquelles il a constitué une théorie des invariants. On lui doit aussi d'importants progrès dans la question de l'applicabilité des surfaces. Il a étudié en particulier celles qui sont applicables sur une surface du second degré, et donné dans le cas de certains paraboloïdes des solutions d'une grande élégance. Tous les géomètres connaissent ses recherches sur la représentation sphérique, sur les surfaces à courbure constante, sur les surfaces isothermiques, sur les surfaces à lignes de courbure planes ou sphériques, sur les cercles géodésiques, ainsi que ses travaux sur les déformations infiniment petites des surfaces, se rattachant à la notion féconde de l'équation aux variations, qu'il avait introduite en analyse dès 1883. Dans ses études de géométrie infinitésimale, Darboux a envisagé systématiquement le déplacement d'un trièdre mobile, dégageant la véritable signification d'éléments introduits antérieurement par Ribaucour.
[...]
Les résultats essentiels de la théorie des systèmes orthogonaux ont été exposés, il y a quelques années, par notre confrère dans ses Leçons sur les systèmes orthogonaux et les coordonnées curvilignes, ouvrage qu'il avait médité pendant toute sa vie. On y trouve en particulier une étude profonde sur l'extension à un nombre quelconque de dimensions du problème de Lamé. Quand ce nombre surpasse trois, des circonstances toutes nouvelles se présentent. De plus, d'un système orthogonal correspondant  à un certain nombre de variables, on peut déduire un système analogue avec une variable de moins, ce qui a permis à Darboux de trouver une infinité de nouveaux systèmes orthogonaux. Rappelons encore cet important résultat que, dans l'espace à trois dimensions, un système de Lamé est en général déterminé par trois surfaces particulières, deux à deux orthogonales et se coupant suivant des lignes de courbure.
Ces grands traités, également remarquables par la richesse du fond et la beauté de la forme, sont dignes d'être proposés comme modèles à ceux qui cultivent les sciences mathématiques. Ils ont fait de Darboux, à l'étranger comme en France, le chef incontesté d'une école de géomètres analystes, qui porte sa marque. Aussi sa réputation scientifique était-elle considérable, et la plupart des Académies étrangères l'avaient élu associé étranger ou correspondant.
En 1916, Darboux reprit dans son cours à la Sorbonne l'étude des Principes de Géométrie analytique, qui le ramenait au temps lointain où il enseignait à l'École Normale ; il a rédigé ces leçons, simples et lumineuses, maintenant accessibles à tous. Ce livre, qui vient de paraître, est le dernier sorti de sa plume. C'est un ouvrage d'enseignement, mais où se reconnaît le maître ouvrier, et où sont établies sur une base algébrique les notions essentielles de la Géométrie moderne, qui ont fait jadis l'objet de tant de discussions.
Émile PICARD, Notice historique sur Gaston Darboux, 1842-1917

227,00 *
Référence: 307

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Entre ces domaines des mathématiques, profondément étrangers l'un à l'autre : d'une part l'Analyse classique, où les fonctions sont continues et dérivables autant que les démonstrations d'énoncés visant à la généralité l'exigent, et où les champs décrits par les variables sont des régions continues limitées par des frontières régulières ; d'autre part les théories d'Analyse générale et de Topologie moderne, où les espaces sont des collections d'éléments quelconques, parfois totalement dissociés, soumis à des conditions de nature arbitraire, entre ces deux mondes d'idées sans contacts mutuels, une transition manque à l'étudiant : celle de la théorie des fonctions de variables réelles et celle des ensembles ponctuels où ces fonctions prennent leurs caractères.
Les notions toutes descriptives, crées par Cantor pour distinguer des espèces remarquables parmi les ensembles, fermés, parfaits, réductibles, denses, etc., concernaient dans l'esprit de l'auteur uniquement les espaces cartésiens, et même originairement linéaires. Les notions de puissance, de transfini, s'illustraient grâce à ces ensembles ponctuels. Toute la fécondité de ces conceptions se révéla quand Borel, Baire et Lebesgue, le second exclusivement topologue comme Cantor, les deux autres surtout intéressés à la métrique, créèrent la théorie des fonctions discontinues des variables réelles. Les magnifiques écoles polonaise et moscovite fouillèrent ensuite profondément le même terrain.
Il faut avoir pénétré l'esprit des méthodes propres au réel et connaître les principaux résultats acquis dans cet ordre si l'on veut non seulement disposer des ressources de figuration nécessaires à la pleine intelligence de la Topologie abstraite, mais simplement étudier avec fruit les singularités présentées par les fonctions analytiques ou par les intégrales des équations aux dérivées partielles, aux limites où les solutions cessent d'exister.
Il m'a souvent été rapporté que, pour acquérir cette expérience, la lecture de mon Mémoire de jadis Sur la dérivation et son calcul inverse avait servi de fructueux exercices. Ce travail fut publié en quatre parties, successivement parues dans des périodiques différents.
[...]
Bien que, dans mon exposé, j'ai repris à pied d'œuvre tout ce qui, vers 1914, pouvait être ignoré d'un étudiant de licence, le recours aux Leçons sur les fonctions discontinues de Baire, et aux Leçons sur l'intégration de Lebesgue, maintes fois citées, ne sera pas inutile. Enfin, le présent mémoire trouve son prolongement naturel dans mes Leçons sur le calcul des coefficients d'une série trigonométrique.
Arnaud DENJOY, Avertissement

69,00 *
Référence: 211

A reparaître

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Le premier volume de ce Traité a pour but d' exposer de la manière la plus simple les notions élémentaires sur lesquelles repose toute l'Analyse moderne : calcul booléien, nombres réels, espaces métriques et espaces de Banach, calcul différentiel, fonctions analytiques. Sur cette base, les volumes suivants développent, d'une part ce qu'on peut appeler "l'Analyse sur les espaces vectoriels" (chapitres XIII à XV, XXII et XXIII), de l'autre "l'Analyse globale" ou "Analyse sur les variétés" (chap. XVI à XXI et XXIV), non sans interactions réciproques, bien entendu. La conception qui domine ce volume a été de reporter aux volumes suivants toutes les notions secondaires nécessaires au développement de ces théories plus avancées, en se limitant au strict minimum, de manière à mettre en valeur les idées les plus fondamentales (comme celles d'espace compact, d'espace complet et d'espace connexe) et à en faciliter l'assimilation. Mises à part les règles de la logique et les propriétés usuelles des entiers naturels, toute l'Analyse est reprise à la base et n'exige en principe aucune connaissance préliminaire ; quant aux notions d'Algèbre nécessaires, en dehors des définitions les plus élémentaires (groupe, anneau, idéal, corps), elles sont introduites au fur et à mesure dans une Annexe. Toutefois, il n'est pas conseillé d'aborder la lecture de ce volume sans avoir bien assimilé les mathématiques enseignées dans le Premier cycle de l'Université.

Jean DIEUDONNÉ
 

Référence: 212

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Avec le chapitre XI, les chapitres XIII à XV peuvent, dans ce Traité, être groupés en un "bloc d'Analyse fonctionnelle linéaire". En simplifiant à l'extrême, on peut dire en effet que les chapitres XIII et XIV étudient en détail un des types les plus importants de "formes linéaires", l'intégrale envisagée d'un point de vue général, qui est à l'Analyse ce que la notion de somme finie est à l'Algèbre ; tandis que le chapitre XV, approfondissant les idées introduites au chapitre XI sous un aspect plus élémentaire, s'appuie sur l'outil puissant fourni par l'intégrale pour analyser les opérateurs linéaires et leur spectre : on y observera le rôle prépondérant qu'y joue un des concepts algébriques de base, la notion d'anneau, qui jusque là n'était intervenue que sporadiquement en Analyse.

Le cadre de ces chapitres demeure encore assez abstrait, bien qu'on ait cherché à donner de nombreux exemples d'applications dans les problèmes ; les grandes théories de l'Analyse plus "concrète" auxquelles ils préparent font l'objet des chapitres XXI à XXIII.
Les notions élémentaires d'Analyse fonctionnelle introduites aux chapitres III, V, VI et VII ne sont plus tout à fait suffisantes pour les besoins des chapitres XIII à XV ; aussi a-t-on groupé en un chapitre XII les compléments nécessaires ; on y a aussi inséré les rudiments de la théorie des groupes topologiques, qui va intervenir de façon essentielle à partir du chapitre XVI.
Jean DIEUDONNÉ

65,00 *
Référence: 213

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Avec le chapitre XVI commence ce que l'on s'accorde à considérer comme le cœur de l'Analyse moderne, l' "Analyse sur les variétés", ou "Analyse globale", dont l'étude des aspects les plus accessibles forme l'objet du reste de ce Traité. Malheureusement, avant d'aborder les problèmes principaux de cette branche des mathématiques, il est encore nécessaire de forger les outils permettant de les attaquer.
Les concepts essentiellement linéaires de l'Analyse classique dans les espaces Rn, développés aux chapitres VII à X, sont en effet inadéquats pour travailler dans les variétés différentielles ; ou plutôt, il faut commencer par les adapter au fait que l'aspect "linéaire", s'il demeure fondamental, est maintenant uniquement local ; il faut donc se garder de l'utilisation de "cartes" tant qu'on ne s'est pas assuré que les notions que l'on étudie sont intrinsèques, c'est à dire indépendantes du choix des cartes. Les chapitres XVI à XVIII sont donc consacrés à rendre "intrinsèques" les concepts classiques des chapitres VIII à X ; dérivées, dérivées partielles, équations différentielles, etc.
Chemin faisant, on élargira au chapitre XVII la théorie de l'intégrale : cette dernière ne nécessite à la base qu'une structure assez pauvre, celle d'espace localement compact ; lorsqu'on dispose d'une structure beaucoup plus riche comme celle de variété différentielle, on peut développer une théorie plus vaste, celle des distributions, qui complète harmonieusement l'intégration à bien des égards et joue un rôle capital dans l'Analyse contemporaine, comme on pourra le voir aux chapitres XXII et XXIII.
Jean DIEUDONNÉ

 

61,00 *
Référence: 214

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Le chapitre XVIII est le dernier des trois chapitres qui posent les bases de l'Analyse sur les variétés différentielles, en précisant ce qu'il faut entendre dans cette théorie par équation différentielle ou aux dérivées partielles. Déjà dans les espaces Rn, il est clair que la notion classique d'équations aux dérivées partielles est liée au système d'axes choisi, et cela n'a pas laissé de causer bien des difficultés aux mathématiciens qui, au XIXe siècle, ont cherché à classer les équations aux dérivées partielles suivant leurs propriétés, même du point de vue purement local. Ce n'est qu'en ne perdant jamais de vue le sens géométrique d'un système différentiel (donnée d'un "élément tangent" en chaque point) qu'on a pu, à la suite de Élie Cartan, parvenir à des conceptions pleinement satisfaisantes à ce sujet ; la théorie générale est d'ailleurs loin d'être achevée, et nous n'en donnons que les premiers rudiments.
C'est également le point de vue local qui prédomine dans les chapitres XIX et XX, où sont exposés les premiers résultats d'Analyse "intrinsèque". Le chapitre XIX est entièrement consacré à l'exploitation de l'idée fondamentale de Lie, l'existence d'un "dictionnaire" qui traduit en termes algébriques les propriétés infinitésimales d'un groupe de Lie. La méthode suivie diffère un peu de la plupart des exposés, en prenant d'emblée comme objet algébrique fondamental l'algèbre de tous les opérateurs différentiels invariants par translation à gauche, d'ordre quelconque. Cela a l'avantage de faire correspondre à une structure associative une autre qui l'est également ; le fait (spécial à la caractéristique 0) que la connaissance des opérateurs invariants d'ordre 1 et de leur structure d'algèbre de Lie détermine tous les autres, n'est présenté que postérieurement, fournissant d'ailleurs aussitôt l' "algèbre enveloppante" dont on donne souvent une définition abstraite tout à fait inutile
La plus grande partie du chapitre XX est elle aussi consacrée à une étude locale, celle des variétés riemanniennes, envisagée dans le contexte plus général des "G-structures", forme moderne de la méthode du "repère mobile" de Élie Cartan, qui exploite la richesse de la structure d'espace fibré principal, grâce à la théorie de Lie
On a toutefois pu aborder dans les chapitres XVIII et XX un aspect de la géométrie différentielle "globale", l'étude des géodésiques d'une connexion inaugurée par Jacobi, qui constitue la partie la plus élémentaire du Calcul des variations.
Jean DIEUDONNÉ

 

63,00 *
Référence: 215

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Contrairement à beaucoup d'exposés classiques, dans ce chapitre, la théorie des groupes de Lie semi-simples est, autant que possible, axée sur son aspect global, les algèbres de Lie n'intervenant que comme outils de démonstration. C'est pourquoi le chapitre débute par une analyse de la structure des groupes de Lie compacts et connexes, où la géométrie riemannienne permet une étude directe complète des tores maximaux (objets beaucoup plus "naturels" que les sous-algèbres de Cartan de la théorie classique). En outre, cette méthode à l'avantage de mettre dès le début l'accent sur l'une des notions les plus fondamentales des mathématiques, celle de représentation linéaire d'un groupe : c'est en effet des propriétés générales des représentations linéaires d'un groupe compact (non nécessairement de Lie), étudiées dès les premiers paragraphes du chapitre, que sont déduites, par la considération de la représentation adjointe, toutes les propriétés des "racines" et des "poids", qui paraissent toujours quelque peu miraculeuses quand on les aborde d'un point de vue strictement algébrique. 
Une fois étudiés les groupes semi-simples compacts, les propriétés de leurs complexifications et des formes réelles (non compactes) de ces complexifications s'obtiennent presque sans effort. Il faut malheureusement montrer qu'on obtient ainsi tous les groupes de Lie semi-simples complexes (resp. réels), ce qui nécessite une étude de type classique des algèbres de Lie semi-simples complexes (où toutefois la connaissance préalable de ce qui se passe pour les groupes compacts réduit l'allure arbitraire de la méthode suivie). On peut toutefois abréger cette étude en se dispensant entièrement de considérations sur les algèbres de Lie nilpotentes et résolubles, qui alourdissent inutilement beaucoup d'exposés ; ces notions ne sont introduites que postérieurement, au moment où elles sont réellement utiles (décompositions d'Iwasawa et de Lévi).
Jean DIEUDONNÉ

 

46,00 *
Référence: 216

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On entend de nos jours par Analyse harmonique (commutative) la généralisation aux groupes commutatifs localement compacts de la théorie classique des séries et intégrales de Fourier, qui correspondent au cas des groupes Rn, Tn et Zn. Bien que, dans la suite de ce Traité, ce soit cette théorie classique qui est presque constamment utilisée, notamment comme outil fondamental dans la théorie des équations linéaires aux dérivées partielles (chap. XXIII), la théorie générale de l'Analyse harmonique a aujourd'hui tant d'autres applications, notamment en Arithmétique, qu'il serait contraire à l'esprit des mathématiques de notre temps de se borner au cadre classique de la théorie de Fourier, qui masque la nature des idées essentielles dominant l'Analyse harmonique, comme celle de convolution ou celle de fonction de type positif.
En fait, ces idées ont une portée bien plus grande encore, car elles se rattachent en réalité à la théorie générale des représentations linéaires (de dimension infinie) des groupes localement compacts quelconques, dite encore Analyse harmonique non commutative. Sans pouvoir aborder dans cet ouvrage l'essentiel d'une théorie aussi difficile, on en a cependant traité un aspect particulier, la théorie élémentaire des fonctions sphériques ; grâce à un théorème fondamental de Gelfand, elle repose en réalité sur une étude d'algèbres de fonctions involutives et commutatives, bien que liée aux représentations linéaires de groupes non commutatifs. Non seulement cette théorie englobe-t-elle celle de nombreuses "fonctions spéciales" et met-elle en lumière la notion essentielle de représentation induite, mais elle permet de mieux comprendre la nature de la "dualité de Pontrjagin" qui caractérise le cas particulier des groupes commutatifs
La dernière partie du chapitre revient à la transformation de Fourier classique, mais étendue aux distributions tempérées sur Rn ou In. C'est seulement dans ce cadre que disparaissent les aspects "pathologiques" de la théorie classique, trop étroitement liée à la notion de convergence "ponctuelle", alors que c'est en fait dans l'application de la transformation de Fourier à la théorie des opérateurs différentiels et à leurs généralisations que réside son principal intérêt en Analyse moderne.
Jean DIEUDONNÉ

 

45,00 *
Référence: 217

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Ce chapitre a pour sujet principal la théorie des équations linéaires aux dérivées partielles, une des branches les plus importantes de l'Analyse, tant par ses répercussions dans beaucoup d'autres parties des mathématiques que par ses innombrables applications à la Mécanique, l'Astronomie et la Physique. Malgré sa longueur, il est très loin de constituer un exposé complet des connaissances actuelles dans ce domaine ; l'exposé a été limité aux trois types d'équations qui (en raison de leurs applications) ont été depuis 200 ans au premier plan des recherches : les équations elliptiques, hyperboliques et paraboliques, dont les prototypes sont respectivement l'équation de Laplace, l'équation des ondes et l'équation de la chaleur.
Les résultats comprennent quelques-uns des plus grands succès de l'Analyse moderne, obtenus grâce à une fusion harmonieuse et féconde des méthodes classiques (intégration par parties, théorie de Cauchy des fonctions holomorphes, transformation de Fourier) et des idées issues de l'Analyse fonctionnelle "abstraite" ; tout au long du chapitre le lecteur aura donc l'occasion de voir intervenir de façon essentielle les notions et résultats développés dans tous les chapitres antérieurs.
La première partie du chapitre, qui fait l'objet de cet ouvrage, est principalement consacrée, d'abord à l'étude des opérateurs intégraux (dont on n'a rencontré jusqu'ici que l'exemple le plus simple, l'opérateur de Fredholm), puis à la théorie des opérateurs pseudo-différentiels et de certaines de leurs généralisations. Grâce à la théorie des distributions, ces théories englobent à la fois les opérateurs différentiels et certains opérateurs intégraux et constituent les outils qui permettront d'attaquer dans la seconde partie du chapitre (tome 8), les principaux types de "problèmes aux limites".
Jean DIEUDONNÉ

 

54,00 *
Référence: 218

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Pour les équations paraboliques ou strictement hyperboliques, on n'a envisagé que le problème de Cauchy local, ou le cas où les données de Cauchy sont portées par une variété compacte sans bord ; et pour les équations elliptiques, hormis le cas particulier des équations différentielles ordinaires, on ne s'est guère occupé que du problème de Dirichlet dans un ouvert borné de Rn et des problèmes aux limites de même type. Par contre, dans ce domaine volontairement restreint, l'auteur n'a accordé aucune place privilégiée aux équations à coefficients constants ni aux équations du second ordre (à l'exception d'une section sur le principe du maximum). Il a surtout voulu montrer comment l'usage systématique des opérateurs de Lax-Maslov et des opérateurs pseudo-différentiels, conjugués, dans le cas des équations elliptiques, avec la théorie spectrale des opérateurs dans les espaces hilbertiens, conduit à des méthodes de solution beaucoup plus naturelles et explicites que les méthodes basées sur les "inégalités a priori", et donne directement (lorsque toutes les données sont indéfiniment différentiables) de vraies solutions indéfiniment différentiables, et non des solutions "faibles" inutilisables dans les applications.
Jean DIEUDONNÉ

 

57,00 *
Référence: 219

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Le but de ce chapitre est d'initier les analystes aux premiers rudiments de la Topologie algébrique et de la Topologie différentielle, deux des domaines les plus actifs des recherches modernes. Conformément à l'esprit de l' "Analyse globale" qui est celui de ce Traité, c'est la cohomologie des variétés différentielles et des espaces fibrés qui est au centre de ce chapitre, ainsi que ses relations les plus élémentaires avec les structures additionnelles portées par les variétés, telles que connexions ou structures de groupes. Lorsqu'on se borne à la cohomologie à coefficients réels ou complexes, on y accède immédiatement à l'aide des formes différentielles, sans les moindres préliminaires "combinatoires", et en n'utilisant comme outil algébrique que la suite exacte de cohomologie.
Toutefois c'est présenter une image incomplète de la théorie que de se limiter à la cohomologie à coefficients réels. Aussi, après avoir donné les propriétés essentielles de cette dernière, on aborde également la théorie de l'homologie singulière, en la mettant, comme de Rham, en rapport avec l'homologie des courants (duale de la cohomologie sur une variété orientée), la jonction se faisant par la formule de Stokes ; mais on se limite aux notions combinatoires strictement indispensables pour permettre le calcul de l'homologie des variétés différentielles les plus fréquemment rencontrées.

Jean DIEUDONNÉ
 

61,00 *
Référence: 158

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La théorie générale des fonctions embrasse, à mon avis, tout ce qui se rattache à l'idée la plus générale de fonction : en tête je place la métaphysique des concepts de grandeur et de limite, comme servant de base à la théorie de l'argument, de la fonction, et de la condition commune de convergence et de divergence des différentes opérations infinies.
Paul DU BOIS-REYMOND, Préface

23,00 *
Référence: 291

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Euler écrivit en 1748 son Introductio in Analysin Infinitorum, ouvrage composé pour servir d'introduction aux mathématiques pures. Il est divisé en deux parties.
La première renferme l'ensemble des matières que l'on peut trouver dans les classiques modernes sur l'algèbre, la théorie des équations et la trigonométrie. En algèbre, il s'occupe particulièrement de développer en séries diverses fonctions et de sommer des séries données ; il montre explicitement qu'une série infinie ne peut être sûrement employée si elle n'est convergente. Dans sa Trigonométrie, inspirée en grande partie de l'ouvrage de Mayer, Arithmetic of lines, qui avait été publié en 1727, Euler développe cette idée de Jean Bernoulli que la trigonométrie est une branche de l'analyse et non un simple appendice à l'astronomie ou à la géométrie. Il y introduit (en même temps que Simpson) les abréviations courantes pour les fonctions trigonométriques, et montre que ces dernières et la fonction exponentielle sont liées par la relation :
cos θ + i sin θ = eiθ
[...]
La seconde partie roule sur la géométrie analytique. Euler commence par diviser les courbes en algébriques et transcendantes, puis il démontre une série de propositions concernant toutes les courbes algébriques. Il les applique alors à l'équation générale du second degré à deux variables, montre que celle-ci représente les diverses sections coniques, et établit la plupart de leurs propriétés à l'aide de l'équation générale. Il s'occupe également des courbes algébriques, cubiques, quartiques et autres. Il examine ensuite quelles sont les surfaces représentées par l'équation générale du second degré à trois variables et comment on peut les distinguer entre elles : quelques unes de ces surfaces n'avaient pas encore été étudiées. Dans le cours de cette analyse, il donne les formules pour la transformation des coordonnées dans l'espace. Là encore nous trouvons la première tentative faite pour introduire la courbure des surfaces dans le domaine des mathématiques, et la première discussion complète des courbes à double courbure.
W. W. Rouse BALL, Histoire des Mathématiques, t. II, 1907


 

 

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Référence: 046

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La théorie de la chaleur de Fourier est un des premiers exemples de l'application de l'analyse à la physique ; en partant d'hypothèses simples qui ne sont autre chose que des faits expérimentaux généralisés, Fourier en a déduit une série de conséquences dont l'ensemble constitue une théorie complète et cohérente. Les résultats qi'il a obtenus sont certes intéressants par eux-mêmes, mais ce qui l'est plus encore est la méthode qu'il a employée pour y parvenir et qui servira toujours de modèle à tous ceux qui voudront cultiver une branche quelconque de la physique mathématique.
J'ajouterai que le livre de Fourier a une importance capitale dans l'histoire des mathématiques et que l'analyse pure lui doit peut-être plus encore que l'analyse appliquée.
Rappelons succintement quel est le problème que s'est proposé Fourier : il a voulu étudier la propagation de la chaleur, mais il faut distinguer.
La chaleur peut, en effet, se propager de trois manières : par rayonnement, par conductibilité et par convection.
Henri POINCARÉ, Théorie analytique de la propagation de la chaleur, 1895

75,00 *
Référence: 035

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Le calcul matriciel est largement utilisé, de nos jours, dans divers domaines des mathématiques, de la physique théorique, de l'électrotechnique théorique, etc. Mais, ni dans la littérature soviétique, ni dans la littérature étrangère, il n'existe de livre donnant un exposé suffisamment complet de la théorie des matrices et de ses nombreuses applications.
Les leçons sur la théorie des matrices et ses applications, que l'auteur a répétées de nombreuses fois aux Universités de Moscou et de Tiflis et à  l'Institut de Physique et de Technologie de Moscou, constituent la matière première de ce livre.
Ce livre s'adresse, non seulement aux mathématiciens (étudiants, universitaires, chercheurs), mais aussi aux spécialistes de diverses disciplines (physiciens, ingénieurs de recherche) qui s'intéressent aux mathématiques et à leurs applications. C'est pourquoi l'auteur s'est efforcé de donner à son exposé une forme aussi accessible que possible, ne supposant de la part du lecteur que la connaissance de la théorie des déterminants et du cours de mathématiques supérieures enseigné dans les facultés. Seuls, quelques paragraphes des derniers chapitres exigent du lecteur des connaissances mathématiques supplémentaires.
Félix R. GANTMACHER, Avant-Propos

82,00 *
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Les exemples abondent tant dans le texte que dans les compléments et exercices reportés à la fin des chapitres.
Parmi les publications de ces dernières années, cet ouvrage n'a point son égal. En matière de théorie des fonctions, d'équations différentielles ou intégrales, de calcul des variations, les extrêmes développements de la science ont poussé les jeunes auteurs vers les monographies. Nous devons être reconnaissants à M. Goursat de nous présenter les mêmes trésors nettement rattachés à toute la glorieuse science des précédentes générations.
Adolphe BUHL, L'Enseignement mathématique, 17e année, 1915

 
149,00 *
Référence: 152

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Le principal caractère du livre est d'intéresser le lecteur aux fonctions elliptiques, en montrant comment leur théorie se rattache à la résolution de toutes sortes de problèmes de géométrie, de mécanique, de physique. Cet ouvrage rendra de grands services à tous ceux qui désirent étudier cette théorie ; aux physiciens et aux ingénieurs, il fournira un instrument de calcul puissant, avec des exemples variés sur la manière de l'appliquer ; aux étudiants en mathématiques, il facilitera l'intelligence des débuts de la théorie et inspirera la curiosité de lire les grands traités. Même pour les candidats à la licence mathématique et physique, la lecture des cinq premiers chapitres sera des plus aisée ; elle leur apprendra rapidement le maniement des fonctions elliptiques avec les notations de Jacobi et de Weierstrass.
Paul APPELL, Préface

60,00 *
Référence: 292

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Le Calcul des variations n'est autre chose qu'un premier chapitre de la doctrine qu'on nomme aujourd'hui le Calcul Fonctionnel et dont le développement sera sans doute l'une des tâches qui s'imposeront les premières à l'Analyse de l'avenir.
Cette idée est celle dont je me suis inspiré avant tout, tant dans le cours professé sur ce sujet au Collège de France que dans la rédaction du présent ouvrage.
Un chapitre spécial a été, en conséquence, consacré au Calcul Fonctionnel envisagé en lui-même. Des travaux tels que ceux de MM. Volterra, Pincherle, Bourlet, etc. ont, on le sait, ouvert la voie à suivre et permettent d'ores et déjà de généraliser parallèlement à la notion de différentielle, celle de variation première.
Leur exposition avait sa place marquée dans ce qui va suivre.
Le point de vue ainsi adopté a entraîné certains changements que je n'ai pu me dispenser d'apporter à la terminologie en usage.
Ce n'est pas sans peine que je me suis résigné, en particulier, à m'écarter de la tradition de Weierstrass en renonçant à la locution de champ d'extrémales, d'autant plus que j'ai dû lui substituer plusieurs mots nouveaux (ceux de faisceaux et de régulier). Ce dédoublement est peut-être, cependant, plus conforme à la nature des choses : et, surtout, je n'avais pas le choix : j'étais obligé, par la conception générale de l'ouvrage, telle que je l'ai indiquée dans ce qui précède, d'introduire la locution de champ fonctionnel, consacrée, elle aussi, par l'usage, et qui paraît impossible à remplacer.
Il m'a fallu, d'autre part, introduire, tant pour les extrêma ordirnaires que pour ceux du Calcul des variations, les mots "extremum libre" et "extremum lié", substitués à ceux d'extremum absolu ou relatif. Ces derniers étaient jusqu'ici, employés chacun dans deux sens différents : une telle ambiguïté m'a paru inadmissible dans l'étude qui nous occupe.
C'est avec la même préoccupation de mettre en évidence les analogies et les différences qui existent entre les variations des nombres et celles des fonctions, qu'ont été examinées les difficultés de diverse nature que soulève le Calcul des variations. Aussi ai-je insisté avant tout sur celles qui lui sont particulières, en donnant aussi peu d'importance que possible aux questions qui appartiennent au domaine du Calcul différentiel et intégral classique. Ces dernières ont été élucidées dans d'excellents traités tels que celui d'Adolf Kneser - qui, faisant connaître d'une manière complète les principales découvertes de Weierstrass sur le sujet qui nous occupe, a été l'occasion de mon enseignement au Collège de France - et celui, plus récent de M. Bolza. Je n'ai d'ailleurs pu citer, toutes les fois que je les ai utilisés, ces deux ouvrages, non plus que les nombreux travaux auxquels le Calcul des variations a donné lieu dans ces dernières années : J'espère que leurs auteurs voudront bien m'en excuser.
Je ne veux plus maintenant qu'adresser mes remerciements à mon ami et ancien élève Maurice Fréchet, qui a pris une si large part à la rédaction de ces leçons. Le Calcul Fonctionnel lui doit déjà, d'ailleurs, de belles et importantes contributions personnelles, et lui en devra, sans doute, d'autres encore dans l'avenir.
Jacques HADAMARD, Avant-Propos

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