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Géométrie analytique et différentielle

Géométrie analytique et différentielle

 

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La haute Géométrie peut être envisagée à deux points de vue, bien différents et également importants.
Dans l'ordre historique, se place d'abord la Géométrie infinitésimale, telle qu'elle a été conçue par Euler, Monge et Gauss et développée par Chasles, Lamé, Liouville et Bonnet ; cette branche de la Géométrie offre un champ fécond d'applications élégantes et profondes à l'Analyse mathématique ; mais il ne faudrait pas la réduire à ce rôle subalterne, car elle rend, à son tour, les plus grands services à l'Analyse, notamment dans la théorie des équations aux dérivées partielles et dans celle des groupes de transformations ; l'illustre Sophus Lie se plaisait à dire que les considérations géométriques avaient été, en quelque sorte, le fil conducteur de ses belles découvertes en Analyse.
Le second point de vue sous lequel on peut envisager la Géométrie, est le point de vue algébrique, dont les initiateurs sont Abel et Jacobi, Cauchy, Riemann et Weierstrass dans le domaine des intégrales de fonctions algébriques et des fonctions θ, et Cayley, Sylvester, Hermite, Clebsch et Gordan, pour ne parler que des morts, dans le domaine purement algébrique de la théorie des formes, des invariants et des covariants ; cette Géométrie se rattache, d'une façon étroitement réciproque, à l'Algèbre pure, aux intégrales de différentielles algébriques simples ou multiples, aux fonctions elliptiques ou abéliennes, aux fonctions automorphes de Poincaré dont la fonction modulaire d'Hermite offre l'exemple le plus simple.

 Paul APPELL, Préface de : Gustave DEMARTRES, Cours de Géométrie infinitésimale, 1913

 

 


 


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Un ouvrage considérable de géométrie infinitésimale, intitulé : Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, fut le fruit de l'enseignement de Gaston Darboux à la Sorbonne. Il constitue en même temps un traité sur les équations aux dérivées partielles. Parmi celles-ci, l'auteur fait une étude approfondie de certaines équations étudiées d'abord par Laplace, dont il montre le rôle en géométrie, et pour lesquelles il a constitué une théorie des invariants. On lui doit aussi d'importants progrès dans la question de l'applicabilité des surfaces. Il a étudié en particulier celles qui sont applicables sur une surface du second degré, et donné dans le cas de certains paraboloïdes des solutions d'une grande élégance. Tous les géomètres connaissent ses recherches sur la représentation sphérique, sur les surfaces à courbure constante, sur les surfaces isothermiques, sur les surfaces à lignes de courbure planes ou sphériques, sur les cercles géodésiques, ainsi que ses travaux sur les déformations infiniment petites des surfaces, se rattachant à la notion féconde de l'équation aux variations, qu'il avait introduite en analyse dès 1883. Dans ses études de géométrie infinitésimale, Darboux a envisagé systématiquement le déplacement d'un trièdre mobile, dégageant la véritable signification d'éléments introduits antérieurement par Ribaucour.
[...]
Les résultats essentiels de la théorie des systèmes orthogonaux ont été exposés, il y a quelques années, par notre confrère dans ses Leçons sur les systèmes orthogonaux et les coordonnées curvilignes, ouvrage qu'il avait médité pendant toute sa vie. On y trouve en particulier une étude profonde sur l'extension à un nombre quelconque de dimensions du problème de Lamé. Quand ce nombre surpasse trois, des circonstances toutes nouvelles se présentent. De plus, d'un système orthogonal correspondant  à un certain nombre de variables, on peut déduire un système analogue avec une variable de moins, ce qui a permis à Darboux de trouver une infinité de nouveaux systèmes orthogonaux. Rappelons encore cet important résultat que, dans l'espace à trois dimensions, un système de Lamé est en général déterminé par trois surfaces particulières, deux à deux orthogonales et se coupant suivant des lignes de courbure.
Ces grands traités, également remarquables par la richesse du fond et la beauté de la forme, sont dignes d'être proposés comme modèles à ceux qui cultivent les sciences mathématiques. Ils ont fait de Darboux, à l'étranger comme en France, le chef incontesté d'une école de géomètres analystes, qui porte sa marque. Aussi sa réputation scientifique était-elle considérable, et la plupart des Académies étrangères l'avaient élu associé étranger ou correspondant.
En 1916, Darboux reprit dans son cours à la Sorbonne l'étude des Principes de Géométrie analytique, qui le ramenait au temps lointain où il enseignait à l'École Normale ; il a rédigé ces leçons, simples et lumineuses, maintenant accessibles à tous. Ce livre, qui vient de paraître, est le dernier sorti de sa plume. C'est un ouvrage d'enseignement, mais où se reconnaît le maître ouvrier, et où sont établies sur une base algébrique les notions essentielles de la Géométrie moderne, qui ont fait jadis l'objet de tant de discussions.
Émile PICARD, Notice historique sur Gaston Darboux, 1842-1917

227,00 *
Référence: 089

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 Jean Dieudonné, l'éminent algébriste bien connu, exprimait récemment l'espoir que bientôt "le monde mathématique tout entier, et non seulement une poignée de spécialistes, soit mis en état d'apprécier l'ouvrage d'Artin et de le mettre à la place qui lui revient, à côté des célèbres  Grundlagen der Geometrie de Hilbert". On ne saurait mieux dire.
Gaston JULIA, Avant-propos
35,00 *
Référence: 067

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Si le lecteur veut bien nous suivre sans parti pris, et étudier avec nous la question des origines de la Géométrie d'après Euclide même, il sera peu à peu et facilement amené à se rendre compte de l'existence logique des trois systèmes euclidien, lobatschewskien, riemannien, en même temps qu'il acquerra la notion nette de leurs analogies et différences.
Paul BARBARIN

28,00 *
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Les cours que Bertrand a faits au Collège de France ont porté sur les sujets les plus variés. C'est là qu'il a préparé, en particulier, ce grand Traité de Calcul différentiel et de Calcul intégral ; la préface même de l'ouvrage, qui contient l'histoire de la découverte du Calcul et des débats de Leibniz et de Newton, a été lue dans une des leçons de Bertrand.
Il faudrait bien se garder de voir dans ce Traité une simple compilation. L'auteur, sans doute, y expose les découvertes des autres ; mais il y joint les siennes, de manière à obtenir une exposition personnelle et originale. C'est ainsi qu'il donne un exposé magistral de ses travaux et de ceux des géomètres français, sur la théorie infinitésimale des courbes et des surfaces. De même, dans le chapitre sur les déterminants fonctionnels, il reprend une définition géniale donnée dans un de ses Mémoires, et démontre, d'une manière intuitive, les nombreux théorèmes de Jacobi.
Gaston DARBOUXÉloge historique de Joseph-Louis-François BERTRAND, 1901
 

195,00 *
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« J'ai presque toujours employé l'appareil analytique imposé par le système de coordonnées au moyen duquel est formé l'élément linéaire, supposé donné, de l'espace à étudier. Cela a nécessité des notions de calcul différentiel absolu, que je me suis efforcé de présenter en en dégageant le plus possible l'élément géométrique essentiel et en gardant toujours le contact le plus étroit avec la Géométrie euclidienne. Les services éminents qu'a rendus et que rendra encore le Calcul différentiel absolu de Ricci et Levi-Civita ne doivent pas nous empêcher d'éviter les calculs trop exclusivement formels, où les débauches d'indices masquent une réalité géométrique souvent très simple. C'est cette réalité que j'ai cherché à mettre partout en évidence.

Je me suis étendu assez longuement sur le problème intéressant des espaces qui, tout en étant localement euclidiens, diffèrent, au point de vue de l'Analysis situs, de notre espace ordinaire ; ce sont les « formes spatiales de Clifford-Klein ». Les perspectives que la solution de ce problème ouvre sur les fondements de la Géométrie élémentaire et sur certaines théories d'Analyse m'ont semblé légitimer la place que je lui ai consacrée. C'est un peu pour les mêmes raisons que j'ai examiné le rôle important joué en Géométrie par l'axiome du plan et l'axiome de libre mobilité, liés d'une manière intime l'un à l'autre. Cela m'a conduit tout naturellement à une étude sommaire des Géométries non euclidiennes, spécialement à deux dimensions : les services qu'une telle étude peut rendre dans différents domaines des Mathématiques ne sont du reste plus à démontrer.
Les deux premières notes qui terminent l'ouvrage reprennent certaines notions étudiées dans le cours du volume, mais en introduisant des hypothèses beaucoup moins restrictives sur la nature analytique des coefficients de la forme différentielle fondamentale. Je crois qu'à cet égard la notion de courbure riemanienne linéaire (et non superficielle) n'avait pas encore été signalée ; elle aurait sans doute des applications dans la théorie de la relativité. La troisième note, consacrée aux espaces à courbure variable, mais négative, se rattache au Mémoire depuis longtemps classique de Jacques Hadamard sur les géodésiques des surfaces à courbures opposées. »
Élie CARTAN, Préface

Référence: 015

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Leçons sur la géométrie projective complexe

Cet ouvrage est divisé en deux parties.
La première est consacrée à la géométrie projective de la droite complexe et à ses relations avec la géométrie de Lobatchewsky.
La seconde est consacrée à la géométrie projective complexe à trois dimensions. Le dernier chapitre traite des polynomes harmoniques de l'espace projectif complexe et de leurs applications à la représentation de cet espace, ou plutôt de l'espace hermitien elliptique, par des variétés algébriques réelles sans singularité plongées dans un espace euclidien à un nombre convenable de dimensions.

La théorie des groupes finis et continus et la géométrie différentielle traitées par la méthode du repère mobile
L'ouvrage est divisé en trois parties.
La première a pour objet de familiariser le lecteur avec la méthode du trièdre mobile en géométrie euclidienne, spécialement dans les cas, laissés de côté par Darboux, où le choix du trièdre mobile à utiliser n'est pas immédiat et pose par suite un problème préliminaire ; la solution de ce problème repose sur un principe général dont on verra ici les premières applications (théorie des courbes minima et des surfaces réglées à génératrices isotropes).
La seconde partie introduit les repères attachés à un groupe quelconque et expose les premières notions de la théorie des groupes finis et continus et les principes de la méthode générale du repère mobile.
Enfin, la troisième partie introduit les équations de structures de Maurer-Cartan et montre leur utilisation dans la théorie du repère mobile et leur rôle dans le troisième théorème fondamental de Sophus Lie ; le dernier chapitre est consacré à l'étude de la structure des groupes finis, envisagée du point de vue classique de Sophus Lie.

Leçons sur la théorie des espaces à connexion projective
L'ouvrage se divise en deux parties :
La première, qui sert d'introduction à la seconde, a pour objet de donner un aperçu des différentes méthodes employées en géométrie différentielle projective, et spécialement de celles dont l'application est susceptible de se généraliser dans la théorie des espaces à connexion projective ; les problèmes auxquels ces méthodes sont appliquées sont choisis assez simples pour ne pas donner lieu à des calculs trop compliqués ; certains d'entre eux ne sont traités que dans la mesure où ils peuvent servir à faire comprendre sous leurs différents aspects les méthodes employées.
La seconde partie s'occupe des espaces à connexion projective proprement dits. Une fois la notion de ces espaces introduite, il se pose, comme en géométrie riemannienne, deux sortes de problèmes suivant que l'on considère les propriétés des espaces en eux-mêmes, celles qui les différencient de l'espace projectif classique, ou bien suivant qu'on étudie les propriétés des courbes et des surfaces plongées dans ces espaces, cette dernière étude étant justiciable des mêmes méthodes que dans l'espace projectif ordinaire, bien que les résultats soient parfois moins simples.

 Élie CARTAN, Préfaces

69,00 *
Référence: 201

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LIVRE I
ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE
- Polynômes entiers. Analyse combinatoire.
- Nombres irrationnels. Calcul des radicaux. Limite d'une suite.
- Rappel de notions fondamentales. Nombres complexes.
- Division des polynômes.
- Premières notions sur les fonctions, les limites, la variation des fonctions et la continuité.
- Déterminants.
- Équations et formes linéaires.
- Décomposition en facteurs d'un polynôme entier d'une variable. Relations entre les coefficients et les racines.
- Fonctions symétriques. Élimination.
- Transformation et abaissement des équations. Propriétés spéciales aux équations à coefficients réels.

LIVRE II
ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE
- Coordonnées. Produits de vecteurs. Directions et angles. Homogénéité.
- Introduction à l'étude de la géométrie plane.
- Introduction à l'étude de la géométrie dans l'espace.
- La droite en géométrie plane.
- Le plan et la droite dans l'espace.
- Le Cercle en géométrie plane.
- La Sphère.
- Rapport anharmonique. Divisions et faisceaux homographiques. Divisions et faisceaux en involution.
- Lieux géométriques. Génération des surfaces.

72,00 *
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LIVRE III
LES ÉLÉMENTS D'ANALYSE ET LEURS APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
- Fonction de fonction. Fonction composée. Inversion d'une fonction. Fonctions exponentielle, logarithmique et puissance.
- Infiniment petits. Infiniment grands.
- Séries.
- Nombre e. Fonctions hyperboliques.
- Calcul des dérivées.
- Formules des accroissements finis, de Taylor et de Mac-Laurin. Développements limités et formes indéterminées.
- Séries entières et développements en séries. Fonction exponentielle, fonctions circulaires et fonctions hyperboliques d'une variable complexe.
- Variation des fonctions. Courbes définies par une équation cartésienne résolue par rapport à l'une des coordonnées.
- Séparation et calcul des racines d'une équation.
- Courbes définies par une représentation paramétrique.
- Coordonnées polaires.
- Fonctions de plusieurs variables. Fonctions implicites. Applications géométriques. Différentielles.
- Étude des courbes planes et des surfaces définies par des équations cartésiennes non résolues par rapport à l'une des coordonnées.
- Enveloppes. Développées. Notions sur les équations tangentielles et les surfaces développables.

58,00 *
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LIVRE IV
LES ÉLÉMENTS DU CALCUL INTÉGRAL
- Décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples.
- Recherche des fonctions primitives.
- Intégrales définies.
- Applications géométriques du calcul des intégrales définies.
- Courbure.
- Équations différentielles du premier ordre.
- Équations différentielles du second ordre.
- Applications géométriques des équations différentielles.

LIVRE V
ÉTUDE DES COURBES ET DES SURFACES DU SECOND ORDRE
- Formes quadratiques. Classifications des courbes du second ordre.
- Classifications des surfaces du second ordre.
- Éléments conjugués par rapport aux courbes du second ordre et aux enveloppes planes de seconde classe.
- Centres et diamètres dans les courbes du second ordre.
- Éléments conjugués par rapport aux surfaces du second ordre et aux enveloppes de seconde classe.
- Centres, plans diamétraux, diamètres dans les surfaces du second ordre.
- Détermination d'une courbe ou d'une surface du second ordre. Homographie et involution sur les coniques.
- Génératrices rectilignes des quadriques.
- Homothétie des courbes et des surfaces du second ordre.
- Directions principales et axes d'une courbe du second ordre. Réduction de l'équation en coordonnées rectangulaires. Foyers.
- Directions principales, plans principaux et axes d'une surface du second ordre. Réduction de l'équation en coordonnées rectangulaires.
- Faisceaux linéaires de courbes du second ordre.
- Faisceaux linéaires de surfaces du second ordre. Intersection de deux surfaces du second ordre.
- Étude des coniques sur leurs équations réduites.
- Étude des quadriques sur leurs équations réduites.

71,00 *
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La géométrie analytique ne consiste pas simplement (comme on le dit quelquefois trop légèrement) dans l'application de l'algèbre à la géométrie : cette application avait déjà été faite par Archimède et par bien d'autres, et elle était devenue la façon usuelle d'opérer dans les ouvrages des mathématiciens du seizième siècle.
Le grand progrès accompli par Descartes tient à ce qu'il vit nettement, d'une part que la position d'un point dans un plan, peut être complètement déterminé par ses distances x et y, à deux droites fixes tracées à angle droit dans le plan, avec la convention qui nous est familière pour l'interprétation des valeurs positives et négatives ; il montra d'autre part que bien qu'une équation telle que f(xy) = 0 soit indéterminée et puisse être satisfaite par une infinité de valeurs de x et y, cependant ces valeurs de x et y déterminent les coordonnées d'un certain nombre de points dont l'ensemble forme une courbe et que l'équation f(xy) = 0 exprime les propriétés géométriques, communes à tous les points de la courbe.
Descartes vit aussi qu'un point de l'espace pouvait être déterminé d'une manière identique par trois coordonnées, mais il ne s'occupa que des courbes planes.
Il était dès lors évident que pour rechercher les propriétés d'une courbe il suffisait de choisir comme définition, une propriété géométrique caractéristique de cette courbe et de l'exprimer au moyen d'une équation entre les coordonnées (ordinaires) d'un point quelconque de la courbe, c'est à dire de traduire la définition dans la langue spéciale à la géométrie analytique. L'équation ainsi obtenue contient implicitement chacune des propriétés de la courbe, et une propriété particulière quelconque peut s'en déduire par l'algèbre ordinaire sans s'inquiéter de la forme de la courbe.
Tout cela peut avoir été entrevu d'une façon confuse par les anciens auteurs, mais Descartes alla plus loin et mit en évidence ces faits très importants que deux ou plusieurs courbes peuvent être rapportées à un seul et même système de coordonnées et que les points d'intersection de deux courbes se déterminent en cherchant les racines communes aux deux équations.
W. W. Rouse BALL, Histoire des mathématiques, t. I, 1906

20,00 *
Référence: 259

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Les Mathématiques, considérées indépendamment de leurs applications, se divisent en deux branches distinctes, qui se prêtent un mutuel secours, l'Analyse et la Géométrie. C'est des recherches qui ont pour objet spécial cette seconde partie, la Géométrie, ou qui incidemment ont contribué à ses progrès, que nous avons à présenter un exposé.
Le sujet est vaste ; car si, d'une part, la Géométrie a pour objet général l'étude des figures, c'est-à-dire des lignes et des surfaces déterminées a priori par certaines lois ; d'autre part, ces lignes et ces surfaces interviennent d'une manière utile et même nécessaire dans les questions de Mécanique et de Physique mathématique, et même aussi quelquefois dans les questions d'Analyse pure. Il nous faudra donc, non seulement scruter les travaux de Géométrie proprement dite, mais encore rechercher dans les ouvrages et les nombreux mémoires publiés sur les différentes branches des Mathématiques les résultats partiels qui constituent un progrès dans la théorie des courbes et des surfaces, et en général dans quelque partie de la Géométrie. C'est ainsi que les noms de nos confrères MM. Ch. Dupin, Lamé, Duhamel, Liouville, Delaunay, Bertrand, Hermite, Serret, Ossian Bonnet, de Saint-Venant, dont les travaux, pour la plupart, ont pour objet principal l'étude des théories analytiques et de leur application à la Physique, à l'Astronomie, à la Mécanique, se présenteront naturellement dans le travail qui nous est confié, sans que d'ailleurs nous ayons la pensée de faire connaître complètement les progrès dont les sciences mathématiques leur sont redevables, et qui assurent leur place parmi les chefs et les représentants du mouvement scientifique général de notre temps.
Michel CHASLES, Introduction

69,00 *
Référence: 280

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On peut regarder Fermat comme le premier inventeur des nouveaux calculs.
Joseph-Louis LAGRANGE, Leçons sur lecalcul des fonctions

Fermat cultiva avec un grand succès la science des nombres, et s'y fraya des routes nouvelles.
Adrien-Marie LEGENDRE, Théorie des nombres

La seule forme à adopter, pour la reproduction des ouvrages de Fermat, est celle du Précis français que nous avons essayé de rédiger, en nous appliquant à n'altérer ni à omettre aucune des idées ou des démonstrations de l'auteur, et en profitant pour notre exposition des avantages de l'écriture algébrique moderne. Par ce moyen, nous espérons avoir rendu aisément intelligibles des propositions dont l'élégance et la finesse sont obscurcies par des notations sans simplicité. Nous avons pensé qu'il suffisait, pour conserver la tradition historique, de transcrire quelques exemples de l'écriture algébrique ancienne, aussi imparfaite pour exprimer les énoncés, qu'incommode pour le développement des déductions et des calculs.
Émile BRASSINNE, Introduction

Référence: 293

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Parmi les mémoires courts de Gauss, les Disquisitiones generales circa superficies curvas constituent peut-être le travail le plus parfait d'un point de vue stylistique ; l'approche de Gauss est analytique, directe et concise. Gauss avait bien raison de le considérer comme une présentation complète et plutôt satisfaisante de ses idées en géométrie.
W. K. BÜHLER, Gauss. A biographical study, Springer, 1981

27,00 *
Référence: 146

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Les Grecs nous ont laissé la géométrie élémentaire et c'est par le rappel de leurs découvertes que nous débuterons. Le développement de la géométrie grecque est marqué par les étapes : Pythagore, les Éléates, Euclide, Apollonius. Nous avons ajouté à ce premier chapitre quelques indications sur les théorèmes de Quételet et Dandelin relatifs aux coniques, théorèmes que l'on verrait sans surprise figurer dans le Traité d'Apollonius.
Après la période grecque, il faut attendre le XVIIe siècle pour voir apparaître de nouvelles méthodes en géométrie. C'est en premier lieu la méthode des coordonnées de Descartes et Fermat, la géométrie analytique, qui fait l'objet du second chapitre. C'est en second lieu la méthode des projections, qui apparaît, avec Desargues et Pascal, en même temps que la géométrie analytique. Mais l'élaboration de la géométrie projective sera beaucoup plus lente : ce n'est qu'au début du XVIIIe siècle, après Monge et Carnot, qu'elle sera érigée en doctrine autonome par Poncelet et largement développée par Chasles. Cette géométrie fait l'objet du troisième chapitre.
Nous avons consacré le quatrième chapitre à l'exposé des recherches sur les principes de la géométrie et le cinquième à l'introduction en géométrie de la notion de groupe. On sait que cette notion, due à un mathématicien de vingt ans, Évariste Galois, dont la vie fut aussi brève que tourmentée, a permis à Sophus Lie et Félix Klein une classification rationnelle des géométries ; nous en donnons les grands traits. Le cadre élémentaire que nous nous sommes tracé ne nous a pas permis, autrement que par une brève allusion, d'indiquer la remarquable extension donnée tout récemment aux idées de Lie et Klein par Élie Cartan.
Le dernier chapitre a trait à la topologie. Nous avons introduit celle-ci, suivant une idée de Federigo Enriques , en partant de la géométrie élémentaire et en faisant successivement abstraction de la notion de ligne droite, puis de celle de distance. Grâce à un large appel à l'intuition, nous espérons que le lecteur pourra se faire une idée de la nature de cette géométrie.
Il nous resterait bien des points à traiter. Nous avons brièvement indiqué les géométries hyperspatiales, la géométrie algébrique, ,et la géométrie infinitésimale classique.
Nous avons tâché d'écrire le livre que nous eussions voulu lire quand nous avions vingt ans. Puisse-t-il rendre quelque service !
Lucien GODEAUX, Avant-Propos

23,00 *
Référence: 032

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Les exemples abondent tant dans le texte que dans les compléments et exercices reportés à la fin des chapitres.
Parmi les publications de ces dernières années, cet ouvrage n'a point son égal. En matière de théorie des fonctions, d'équations différentielles ou intégrales, de calcul des variations, les extrêmes développements de la science ont poussé les jeunes auteurs vers les monographies. Nous devons être reconnaissants à M. Goursat de nous présenter les mêmes trésors nettement rattachés à toute la glorieuse science des précédentes générations.
Adolphe BUHL, L'Enseignement mathématique, 17e année, 1915

 
149,00 *
Référence: 281

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Dès 1900, dans un mémoire devenu célèbre intitulé Méthodes de calcul différentiel absolu, Ricci et Levi-Civita donnaient le premier exposé systématique relatif à ce qu'on a appelé le Calcul tensoriel qui, à cette époque, attirait l'attention  des mathématiciens et des physiciens sur un certain nombre des applications possibles. Depuis lors un long chemin a été parcouru. L'apparition de la théorie de la Relativité, qui n'a été possible que grâce à l'existence préalable du Calcul tensoriel, a été par contre-coup le moteur de son développement et de son épanouissement en ce que nous nommons la géométrie différentielle. Ce calcul est aussi devenu l'un des instruments essentiels de la physique contemporaine, comme le montre le développement récent des théories de jauge. Son emploi en mécanique, théorie des milieux continus, théorie des réseaux électriques, etc., a contribué à en faire un élément nécessaire à la formation de tout ingénieur de bon niveau. On peut dire que désormais le Calcul tensoriel fait partie de toute culture générale mathématique, physique ou technique. C'est pour permettre une intelligence vraie de ses ressorts et une initiation aisée à son emploi que ce petit livre, d'un niveau volontairement élémentaire, a été écrit.
Il se trouve divisé en deux parties : l'une relative à l'Algèbre et à l'Analyse tensorielles, l'autre à certaines des applications les plus importantes. Dans la première partie, l'Algèbre tensorielle comporte quelques pages consacrées à l'Algèbre extérieure, dont les méthodes méritent d'être encore mieux connues de tous les physiciens et ingénieurs. Par contre, les notions de densité et de capacité tensorielle, dont l'intérêt mathématique reste faible n'ont pas été introduites. La notion de tenseur adjoint d'un tenseur antisymétrique permet d'ailleurs de les éviter dans les cas les plus fréquents.
En ce qui concerne l'Analyse tensorielle, je me suis volontairement borné à l'Analyse des champs de tenseurs dans un espace de Riemann, la géométrie riemannienne étant historiquement la première des géométries généralisées et celle qui présente le plus d'intérêt au point de vue des applications. J'ai systématiquement adopté la « méthode du repère mobile » d'Élie Cartan ; cette méthode, qui est la plus géométrique et intuitive, présente en outre l'avantage de permettre au lecteur d'aborder sans dépaysement l'étude d'autres géométries généralisées et la notion générale de connexion.
Dans la partie relative aux applications, j'ai été contraint de choisir. Un premier chapitre est destiné à montrer combien la géométrie riemannienne devient intuitive dès qu'on la rapproche de la dynamique analytique classique. On y trouvera en outre une introduction à l'étude des milieux continus et de l'élasticité, indispensables à l'intelligence même de la Relativité générale. Le lecteur qui désirerait approfondir ce domaine pourra se reporter à l'ouvrage de pionnier de Léon Brillouin, Les tenseurs en mécanique et en élasticité, 1938.
Les deux autres chapitres sont consacrés l'un à l'étude des équations de Maxwell de l'électromagnétisme et à la Relativité dite restreinte, l'autre à la Théorie relativiste de la gravitation. En ce qui concerne cette dernière, dont je n'ai pu ici qu'esquisser les principes, le lecteur pourra faire appel à l'ouvrage de Georges Darmois, Les équations de la gravitation einsteinienne, 1927, où toutes les idées essentielles développées par la suite sont présentes, ou à mon ouvrage Théories relativistes de la gravitation et de l'électromagnétisme, 1954.
André LICHNEROWICZ, Préface

36,00 *
Référence: 298

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C'est à Georges Bruhat que remonte l'idée première de ce livre. Il avait été frappé par le fait qu'il n'existait dans la littérature scientifique française aucun ouvrage de Physique Mathématique analogue aux traités classiques de Courant et Hilbert ou de Frank et Misès et il pensait aussi que ces traités n'étaient pas construits de manière à être pleinement accessibles aux physiciens théoriciens ou expérimentateurs. C'est alors qu'il me demanda s'il me serait possible de rédiger un ouvrage d'un niveau relativement élémentaire permettant aux physiciens de s'initier aux grandes techniques mathématiques de la physique moderne.
Le présent volume a été conçu pour répondre au moins partiellement à ce but. Il diffère de ce qui existait antérieurement dans la littérature étrangère sur deux points essentiels. D'une part son niveau est élémentaire : à l'exception de quelques paragraphes, il peut être lu par un lecteur ayant des connaissances solides relativement au programme des classes de Mathématiques spéciales ou des cours de Mathématiques générales. D'autre part il s'efforce de familiariser le lecteur aussi bien avec l'algèbre des opérateurs linéaires et des matrices qu'avec l'algèbre tensorielle si utile pour la pleine compréhension de tant de théories physiques.
Il est peut-être inutile de faire observer qu'il n'est point de Mathématiques « sans larmes » à l'usage exclusif des physiciens et que, si je me suis efforcé de choisir et coordonner celles des théories mathématiques qui peuvent être utiles aux physiciens, il m'était impossible de renoncer dans leur exposé à cette rigueur sans laquelle il n'est plus de science ni mathématique ni physique.
André LICHNEROWICZ, Avant-Propos

60,00 *
Référence: 112

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ARTICLES :

III-17 : CONIQUES
F. Dingeldey - E. Fabry

III-18 : SYSTÈMES DE CONIQUES
F. Dingeldey - E. Fabry

III-19 : THÉORIE GÉNÉRALE DES COURBES PLANES ALGÉBRIQUES *
L. Berzolari

* La fin de l'article n'a pas été publiée en raison de la guerre.

35,00 *
Référence: 113

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ARTICLE :

III-22 : QUADRIQUES
O. Staude - A. Grévy

27,00 *
Référence: 287

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Les Feuilles d'Analyse appliquée à la Géométrie contiennent avec la présentation nouvelle de théories déjà connues, la systématisation et l'extension de résultats dispersés dans les études antérieures de Monge ainsi que l'exposé de résultats nouveaux de la plus haute importance.
Si les chapitres relatifs aux plans tangents et aux normales ou à la courbure des surfaces n'apportent pas de grands progrès sur les travaux antérieurs relatifs aux mêmes sujets, ils en renouvellent ou en précisent l'exposé. Les divers types de surfaces étudiés ne sont pas nouveaux et Monge avait rencontré la plupart d'entre eux dans ses travaux précédents, mais il ne leur avait consacré que des études très brèves, tandis que les différents chapitres des Feuilles d'Analyse en constituent des monographies assez complètes. Deux fils directeurs le guident dans cette voie : l'étude conjuguée des familles de surfaces définies par un même mode de génération et des équations aux dérivées partielles correspondantes et la théorie des caractéristiques qui apparaît pour la première fois de façon explicite dans cet ouvrage.
Cette œuvre tient une place de premier plan dans l'histoire de la géométrie infinitésimale.
René TATON, L'œuvre scientifique de Monge, 1951

45,00 *
Référence: 176

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Une méthode qui nous ferait connaître les relations qualitatives dans l'espace à plus de trois dimensions pourrait, dans une certaine mesure, rendre des services analogues à ceux que rendent les figures. Cette méthode ne peut être que l'Analysis situs à plus de trois dimensions. Malgré tout, cette branche de la Science a été jusqu'ici peu cultivée. Après Riemann est venu Betti qui a introduit quelques notions fondamentales ; mais Betti n'a été suivi par personne. Quant à moi, toutes les voies diverses où je m'étais engagé successivement me conduisaient à l'Analysis situs. J'avais besoin des données de cette Science pour poursuivre mes études sur les courbes définies par les équations différentielles et pour les étendre aux équations différentielles d'ordre supérieur et, en particulier, à celles du problème des trois corps. J'en avais besoin pour l'étude des fonctions non uniformes de deux variables. J'en avais besoin pour l'étude des périodes des intégrales multiples et pour l'application de cette étude au développement de la fonction perturbatrice. Enfin, j'entrevoyais dans l'Analysis situs un moyen d'aborder un problème important de la théorie des groupes, la recherche des groupes discrets ou des groupes finis contenus dans un groupe continu donné. 
Henri POINCARÉAnalyse de ses travaux scientifiques, Acta Mathematica, t. 38, 1921

75,00 *
Référence: 076

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L'œuvre de Bernhard Riemann est la plus belle et la plus grande de l'Analyse à notre époque : elle a été consacrée par une admiration unanime, elle laissera dans la Science une trace impérissable. Les géomètres contemporains s'inspirent dans leurs travaux de ses conceptions, ils en révèlent chaque jour par leurs découvertes l'importance et la fécondité. L'illustre géomètre a ouvert dans l'Analyse comme une ère nouvelle qui porte l'empreinte de son génie.
Charles HERMITE, Préface

65,00 *
Référence: 097

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Le présent traité est un ouvrage de mathématiques pures, destiné à tous ceux qui doivent appliquer l'algèbre linéaire.
On sait que ces applications jouent un rôle essentiel dans des disciplines très diverses : calcul différentiel et intégral, mécanique des systèmes et des milieux continus, physique classique (optique et électricité notamment) et moderne (relativité et physique quantique), calcul des probabilités, statistique, recherche opérationnelle, art de l'ingénieur, etc.
Le lecteur trouvera ici un exposé complet du point de vue logique, qui ne suppose pas d'autres connaissances que celles de l'enseignement secondaire. Les exercices proposés lui permettront d'acquérir l'aisance indispensable dans le maniement des notions théoriques, et dans leur application aux problèmes concrets.
Nous avons cherché à donner de l'unité aux diverses théories présentées, en considérant directement les opérateurs linéaires, aussi bien dans les raisonnements géométriques que dans les calculs; c'est ce que veut rappeler le titre de l'ouvrage.
D'autre part, ce souci d'unité nous a amené à réduire le plus possible le nombre des définitions axiomatiques, en les remplaçant par des constructions directes; à éviter les théorèmes d'invariance, qui deviennent évidents par l'emploi de méthodes intrinsèques ; à apporter un soin particulier au choix des notations. En la matière, les habitudes courantes dans les diverses théories linéaires sont souvent contradictoires ; il a fallu parfois innover ; l'expérience nous a montré que les notations proposées facilitent la compréhension et les calculs, tout en permettant de lire les traités et ouvrages classiques.
Jean-Marie SOURIAU, Avertissement

42,00 *
Référence: 318

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Dans « Géométrie et relativité », Jean-Marie Souriau nous invite à revisiter la géométrie différentielle, hors des sentiers battus des manuels classiques. On y trouve un exposé original de ses fondements, introduisant les notions telles que recueil et glissements, qu'il applique admirablement à la description des champs et de la matière en Relativité générale.
Charles-Michel MARLE, Géry de SAXCÉ et Claude VALLÉE, L'œuvre de Jean-Marie Souriau, Gazette des Mathématiciens, n° 133, juillet 2012 

78,00 *
Référence: 321

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A reparaître

Ce livre contient des développements de mathématiques pures, qui peuvent être lus indépendamment du reste ; cette lecture ne demande pas d'autres connaissances que celles du premier cycle des Facultés des Sciences.
Le chapitre I est un exposé des résultats essentiels de la géométrie différentielle ; nous ne donnons que les démonstrations qui servent directement à la compréhension des questions abordées ; le lecteur pourra trouver les autres dans les traités spécialisés.
Le chapitre II, consacré à la géométrie symplectique, contient, non seulement les résultats classiques de la théorie, mais aussi l'étude détaillée des théorèmes de type cohomologique mis en jeu par la notion abstraite de groupe dynamique ; ainsi que la génération réciproque de variétés symplectiques à partir des groupes de Lie.
Le § 16 (Chap. IV) est consacré à la notion de mesure sur une variété ; les démonstrations qui ne sont pas données se trouvent dans le traité de Bourbaki. Le texte est illustré d'exemples variés : convolution sur un groupe de Lie, variables aléatoires, moments, loi normale de Gauss, ensemble de Gibbs d'un groupe dynamique, photométrie classique.
Le § 18 est, lui aussi, purement mathématique ; il semble d'ailleurs que la « quantification géométrique » qui y est exposée puisse servir dans les problèmes de représentation unitaire des groupes. Nous en profitons d'ailleurs pour énoncer les définitions essentielles de cette théorie, espaces de Hilbert et C*-algèbres notamment.
Jean-Marie SOURIAU, Introduction

Référence: 306

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C'est à Hamilton qu'était réservée la découverte de l'emploi de √-1 comme d'une réalité géométrique, apte à représenter une direction quelconque dans l'espace, mais non liée à une seule d'entre elles ; et sur cette application il fonda la méthode très élégante et en même temps très puissante connue maintenant sous le nom de Calcul des Quaternions.
Tandis que les systèmes différents du sien font choix d'une direction particulière dans l'espace pour la faire servir à la représentation des quantités réelles, réservant les expressions imaginaires pour la représentation de toutes les directions situées en dehors de la première, Hamilton trouve qu'il peut rendre imaginaires, ou plutôt géométriquement réelles, toutes les directions sans aucune exception, et par ce moyen il donne à son calcul la faculté de traiter l'espace d'après des règles qui sont les mêmes, quelle que soit l'orientation des constructions relativement aux différentes directions dans l'espace.
Nous verrons en effet que la méthode des Quaternions est indépendante d'un emploi quelconque d'axes de coordonnées ou d'autres directions données a priori ; au contraire, elle ne prend pour repères que les seules lignes dont la définition fait partie des problèmes à traiter.
[...]
Nous consacrerons la dernière Partie de cet Ouvrage à la résolution de quelques questions de Physique mathématique, dans le but de montrer avec quelle facilité la méthode des Quaternions s'applique à des problèmes de ce genre.
Nous sommes convaincu que c'est dans le domaine des questions de Physique que la méthode des Quaternions est appelée à rendre de vrais services, mieux encore que dans les problèmes de la Géométrie et de la Cinématique.
Nous ne serons peut-être contredit que par ceux des mathématiciens pour lesquels la théorie des transversales et celle des faisceaux anharmoniques ont un charme auquel nous ne sommes pas sensible. Il est clair que nous ne pouvons pas donner ici des applications pour toutes les branches de la Physique mathématique, ni même pousser nos investigations bien loin dans l'une quelconque de ces branches ; cet Ouvrage n'est pas destiné à enseigner les résultats de la Physique, mais seulement à montrer, par des exemples, combien la méthode des Quaternions semble expressément inventée pour s'adapter aux exigences des problèmes qui se présentent dans cette Science.
Peter-Guthrie TAIT, Extraits de l'Ouvrage

120,00 *
Référence: 162

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Pour chaque courbe ou famille de courbes étudiées, il y a, en sus d'aperçus historiques fouillés, au moins autant que le sujet s'y prête, donc très fréquemment :
- des définitions « géométriques » avec constructions de points et de tangentes ;
- des recherches d'équations de courbes : cartésiennes, polaires, éventuellement bipolaires, intrinsèques, paramétriques, tangentielles, sphériques,…
- la mise en évidence de multiples propriétés relatives - s'il y a lieu - aux foyers, asymptotes, tangentes, courbure ;
- un plongement dans une famille de courbes plus générales ;
- des rapprochements avec des courbes « voisines » ;
- des études de transformations par inversion, polaires réciproques, homographie,…
- des recherches de développées, développantes, podaires, caustiques,…
- des rectifications et des calculs d'aires ou de volumes ;
- l'étude de problèmes, lieux géométriques, enveloppes, faisant intervenir les courbes étudiées, ou issus de variations de leurs caractères (paramètres, foyers, asymptotes, rayon de courbure, points d'inflexion ou de rebroussement,…)
Sur l'ensemble des trois tomes, naissent et se développent ainsi, se confrontent, des milliers d'études et de théorèmes avec - souvent - des références pour aller plus loin,…
Loin de peser, cette exubérante érudition, canalisée en d'intelligents exposés à base de problèmes, émerveille, séduit, retient… On ne se lasse pas…
[...]
Voilà donc un ouvrage à avoir à portée de main, et pas seulement pour notre plaisir… A mettre au moins dans toute bibliothèque de lycée ou d'enseignement supérieur !
Henri BAREIL, Bulletin de l'APMEP, n° 398, avril-mai 1995

181,00 *
Référence: 348

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Bel ouvrage qui servira une grande cause. Nous a-t-on assez dit que les théories relativistes et tensorielles n'étaient que des constructions mathématiques dont le physicien n'avait que faire. Bien plus, je pourrais citer des physiciens qui enseignent encore qu'on ne doit pas avoir recours à ces constructions dans un domaine véritablement physique ! Léon Brillouin écrit le présent livre pour que le physicien s"arme des méthodes nouvelles qui d'ailleurs commencent à dater.
Le Calcul tensoriel, ou Calcul différentiel absolu, date de Riemann, Christoffel, Voigt, Bianchi, Ricci et Levi-Civita. Il doit des perfectionnements merveilleux à Élie Cartan. La Théorie des surfaces ne peut plus s'en passer, la cristallographie, la simple mécanique, l'élasticité, la thermodynamique des solides l'exigent impérieusement.
Nous n'avons jamais manqué de dire toute notre admiration pour l'œuvre d'Albert Einstein, et cependant c'est un fait qu'il n'y a pas de calcul einsteinien. Einstein a seulement eu recours à des théories métriques et nous a montré comment on pouvait en faire surgir des lois physiques. 
Tel est le beau thème qui est repris par M. Léon Brillouin. Disons tout de suite que ce thème est étendu au delà de l'équation de d'Alembert, vers la Mécanique ondulatoire. Et il semble qu'il y ait là un lot de grandes idées, lot bien suffisant pour présenter dignement l'ouvrage. 
Adolphe BUHLL'Enseignement Mathématique, Vol. 37 (1938)

 

57,00 *
Référence: 324

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La Géométrie infinitésimale, dotée à Paris d'une chaire magistrale, est enseignée dans plusieurs Universités des départements ; à Lille notamment, M. Demartres, donne depuis de longues années un enseignement de Géométrie, très original et très personnel, dans lequel il a formé des disciples nombreux et enthousiastes. Cet enseignement, quoique très élevé, peut être considéré comme une sorte d'introduction aux hautes recherches que M. Darboux a exposées successivement dans son Cours et qu'il a résumées dans son beau Traité*.
Sans doute, depuis la création des certificats d'études supérieures, l'accroissement des programmes d'Analyse a donné lieu a une extension notable, quoique insuffisante, des applications géométriques ; mais l'ordre où dans les Traités d'Analyse, ces notions sont présentées est, non leur ordre logique et nécessaire tel qu'il résulte des définitions géométriques, mais l'ordre des théories analytiques auxquelles elles servent d'application ; c'est ainsi, pour ne prendre qu'un exemple, que la définition des lignes géodésiques, qui devrait logiquement être donnée dès le début de la théorie des surfaces, est rejetée le plus souvent au Chapitre où l'on traite du calcul des variations.
M. Demartres a cherché à combler ces lacunes, à remédier à ces imperfections, en rédigeant, dans l'ordre logique, le développement des questions qui forment le fond essentiel du certificat de Géométrie supérieure. Il a réussi, tout en conservant à ce Cours une forme relativement élémentaire à le conduire assez loin pour que ses lecteurs puissent ensuite aborder l'étude des Mémoiree originaux.

Paul APPELL, Préface

* Gaston DARBOUX, Leçons sur la théorie générale des surfaces, Reprint Jacques Gabay, 1993

69,00 *
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