Un ouvrage considérable de géométrie infinitésimale, intitulé : Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, fut le fruit de l'enseignement de Gaston Darboux à la Sorbonne. Il constitue en même temps un traité sur les équations aux dérivées partielles. Parmi celles-ci, l'auteur fait une étude approfondie de certaines équations étudiées d'abord par Laplace, dont il montre le rôle en géométrie, et pour lesquelles il a constitué une théorie des invariants. On lui doit aussi d'importants progrès dans la question de l'applicabilité des surfaces. Il a étudié en particulier celles qui sont applicables sur une surface du second degré, et donné dans le cas de certains paraboloïdes des solutions d'une grande élégance. Tous les géomètres connaissent ses recherches sur la représentation sphérique, sur les surfaces à courbure constante, sur les surfaces isothermiques, sur les surfaces à lignes de courbure planes ou sphériques, sur les cercles géodésiques, ainsi que ses travaux sur les déformations infiniment petites des surfaces, se rattachant à la notion féconde de l'équation aux variations, qu'il avait introduite en analyse dès 1883. Dans ses études de géométrie infinitésimale, Darboux a envisagé systématiquement le déplacement d'un trièdre mobile, dégageant la véritable signification d'éléments introduits antérieurement par Ribaucour.
[...]
Les résultats essentiels de la théorie des systèmes orthogonaux ont été exposés, il y a quelques années, par notre confrère dans ses Leçons sur les systèmes orthogonaux et les coordonnées curvilignes, ouvrage qu'il avait médité pendant toute sa vie. On y trouve en particulier une étude profonde sur l'extension à un nombre quelconque de dimensions du problème de Lamé. Quand ce nombre surpasse trois, des circonstances toutes nouvelles se présentent. De plus, d'un système orthogonal correspondant  à un certain nombre de variables, on peut déduire un système analogue avec une variable de moins, ce qui a permis à Darboux de trouver une infinité de nouveaux systèmes orthogonaux. Rappelons encore cet important résultat que, dans l'espace à trois dimensions, un système de Lamé est en général déterminé par trois surfaces particulières, deux à deux orthogonales et se coupant suivant des lignes de courbure.
Ces grands traités, également remarquables par la richesse du fond et la beauté de la forme, sont dignes d'être proposés comme modèles à ceux qui cultivent les sciences mathématiques. Ils ont fait de Darboux, à l'étranger comme en France, le chef incontesté d'une école de géomètres analystes, qui porte sa marque. Aussi sa réputation scientifique était-elle considérable, et la plupart des Académies étrangères l'avaient élu associé étranger ou correspondant.
En 1916, Darboux reprit dans son cours à la Sorbonne l'étude des Principes de Géométrie analytique, qui le ramenait au temps lointain où il enseignait à l'École Normale ; il a rédigé ces leçons, simples et lumineuses, maintenant accessibles à tous. Ce livre, qui vient de paraître, est le dernier sorti de sa plume. C'est un ouvrage d'enseignement, mais où se reconnaît le maître ouvrier, et où sont établies sur une base algébrique les notions essentielles de la Géométrie moderne, qui ont fait jadis l'objet de tant de discussions.
Émile PICARD, Notice historique sur Gaston Darboux, 1842-1917

Si le lecteur veut bien nous suivre sans parti pris, et étudier avec nous la question des origines de la Géométrie d'après Euclide même, il sera peu à peu et facilement amené à se rendre compte de l'existence logique des trois systèmes euclidien, lobatschewskien, riemannien, en même temps qu'il acquerra la notion nette de leurs analogies et différences.
Paul BARBARIN

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« J'ai presque toujours employé l'appareil analytique imposé par le système de coordonnées au moyen duquel est formé l'élément linéaire, supposé donné, de l'espace à étudier. Cela a nécessité des notions de calcul différentiel absolu, que je me suis efforcé de présenter en en dégageant le plus possible l'élément géométrique essentiel et en gardant toujours le contact le plus étroit avec la Géométrie euclidienne. Les services éminents qu'a rendus et que rendra encore le Calcul différentiel absolu de Ricci et Levi-Civita ne doivent pas nous empêcher d'éviter les calculs trop exclusivement formels, où les débauches d'indices masquent une réalité géométrique souvent très simple. C'est cette réalité que j'ai cherché à mettre partout en évidence.

Je me suis étendu assez longuement sur le problème intéressant des espaces qui, tout en étant localement euclidiens, diffèrent, au point de vue de l'Analysis situs, de notre espace ordinaire ; ce sont les « formes spatiales de Clifford-Klein ». Les perspectives que la solution de ce problème ouvre sur les fondements de la Géométrie élémentaire et sur certaines théories d'Analyse m'ont semblé légitimer la place que je lui ai consacrée. C'est un peu pour les mêmes raisons que j'ai examiné le rôle important joué en Géométrie par l'axiome du plan et l'axiome de libre mobilité, liés d'une manière intime l'un à l'autre. Cela m'a conduit tout naturellement à une étude sommaire des Géométries non euclidiennes, spécialement à deux dimensions : les services qu'une telle étude peut rendre dans différents domaines des Mathématiques ne sont du reste plus à démontrer.
Les deux premières notes qui terminent l'ouvrage reprennent certaines notions étudiées dans le cours du volume, mais en introduisant des hypothèses beaucoup moins restrictives sur la nature analytique des coefficients de la forme différentielle fondamentale. Je crois qu'à cet égard la notion de courbure riemanienne linéaire (et non superficielle) n'avait pas encore été signalée ; elle aurait sans doute des applications dans la théorie de la relativité. La troisième note, consacrée aux espaces à courbure variable, mais négative, se rattache au Mémoire depuis longtemps classique de Jacques Hadamard sur les géodésiques des surfaces à courbures opposées. »
Élie CARTAN, Préface

LIVRE I
ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE
- Polynômes entiers. Analyse combinatoire.
- Nombres irrationnels. Calcul des radicaux. Limite d'une suite.
- Rappel de notions fondamentales. Nombres complexes.
- Division des polynômes.
- Premières notions sur les fonctions, les limites, la variation des fonctions et la continuité.
- Déterminants.
- Équations et formes linéaires.
- Décomposition en facteurs d'un polynôme entier d'une variable. Relations entre les coefficients et les racines.
- Fonctions symétriques. Élimination.
- Transformation et abaissement des équations. Propriétés spéciales aux équations à coefficients réels.

LIVRE II
ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE
- Coordonnées. Produits de vecteurs. Directions et angles. Homogénéité.
- Introduction à l'étude de la géométrie plane.
- Introduction à l'étude de la géométrie dans l'espace.
- La droite en géométrie plane.
- Le plan et la droite dans l'espace.
- Le Cercle en géométrie plane.
- La Sphère.
- Rapport anharmonique. Divisions et faisceaux homographiques. Divisions et faisceaux en involution.
- Lieux géométriques. Génération des surfaces.

LIVRE IV
LES ÉLÉMENTS DU CALCUL INTÉGRAL
- Décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples.
- Recherche des fonctions primitives.
- Intégrales définies.
- Applications géométriques du calcul des intégrales définies.
- Courbure.
- Équations différentielles du premier ordre.
- Équations différentielles du second ordre.
- Applications géométriques des équations différentielles.

LIVRE V
ÉTUDE DES COURBES ET DES SURFACES DU SECOND ORDRE
- Formes quadratiques. Classifications des courbes du second ordre.
- Classifications des surfaces du second ordre.
- Éléments conjugués par rapport aux courbes du second ordre et aux enveloppes planes de seconde classe.
- Centres et diamètres dans les courbes du second ordre.
- Éléments conjugués par rapport aux surfaces du second ordre et aux enveloppes de seconde classe.
- Centres, plans diamétraux, diamètres dans les surfaces du second ordre.
- Détermination d'une courbe ou d'une surface du second ordre. Homographie et involution sur les coniques.
- Génératrices rectilignes des quadriques.
- Homothétie des courbes et des surfaces du second ordre.
- Directions principales et axes d'une courbe du second ordre. Réduction de l'équation en coordonnées rectangulaires. Foyers.
- Directions principales, plans principaux et axes d'une surface du second ordre. Réduction de l'équation en coordonnées rectangulaires.
- Faisceaux linéaires de courbes du second ordre.
- Faisceaux linéaires de surfaces du second ordre. Intersection de deux surfaces du second ordre.
- Étude des coniques sur leurs équations réduites.
- Étude des quadriques sur leurs équations réduites.

Les Mathématiques, considérées indépendamment de leurs applications, se divisent en deux branches distinctes, qui se prêtent un mutuel secours, l'Analyse et la Géométrie. C'est des recherches qui ont pour objet spécial cette seconde partie, la Géométrie, ou qui incidemment ont contribué à ses progrès, que nous avons à présenter un exposé.
Le sujet est vaste ; car si, d'une part, la Géométrie a pour objet général l'étude des figures, c'est-à-dire des lignes et des surfaces déterminées a priori par certaines lois ; d'autre part, ces lignes et ces surfaces interviennent d'une manière utile et même nécessaire dans les questions de Mécanique et de Physique mathématique, et même aussi quelquefois dans les questions d'Analyse pure. Il nous faudra donc, non seulement scruter les travaux de Géométrie proprement dite, mais encore rechercher dans les ouvrages et les nombreux mémoires publiés sur les différentes branches des Mathématiques les résultats partiels qui constituent un progrès dans la théorie des courbes et des surfaces, et en général dans quelque partie de la Géométrie. C'est ainsi que les noms de nos confrères MM. Ch. Dupin, Lamé, Duhamel, Liouville, Delaunay, Bertrand, Hermite, Serret, Ossian Bonnet, de Saint-Venant, dont les travaux, pour la plupart, ont pour objet principal l'étude des théories analytiques et de leur application à la Physique, à l'Astronomie, à la Mécanique, se présenteront naturellement dans le travail qui nous est confié, sans que d'ailleurs nous ayons la pensée de faire connaître complètement les progrès dont les sciences mathématiques leur sont redevables, et qui assurent leur place parmi les chefs et les représentants du mouvement scientifique général de notre temps.
Michel CHASLES, Introduction

Parmi les mémoires courts de Gauss, les Disquisitiones generales circa superficies curvas constituent peut-être le travail le plus parfait d'un point de vue stylistique ; l'approche de Gauss est analytique, directe et concise. Gauss avait bien raison de le considérer comme une présentation complète et plutôt satisfaisante de ses idées en géométrie.
W. K. BÜHLER, Gauss. A biographical study, Springer, 1981

Les exemples abondent tant dans le texte que dans les compléments et exercices reportés à la fin des chapitres.
Parmi les publications de ces dernières années, cet ouvrage n'a point son égal. En matière de théorie des fonctions, d'équations différentielles ou intégrales, de calcul des variations, les extrêmes développements de la science ont poussé les jeunes auteurs vers les monographies. Nous devons être reconnaissants à M. Goursat de nous présenter les mêmes trésors nettement rattachés à toute la glorieuse science des précédentes générations.
Adolphe BUHL, L'Enseignement mathématique, 17^e année, 1915

C'est à Georges Bruhat que remonte l'idée première de ce livre. Il avait été frappé par le fait qu'il n'existait dans la littérature scientifique française aucun ouvrage de Physique Mathématique analogue aux traités classiques de Courant et Hilbert ou de Frank et Misès et il pensait aussi que ces traités n'étaient pas construits de manière à être pleinement accessibles aux physiciens théoriciens ou expérimentateurs. C'est alors qu'il me demanda s'il me serait possible de rédiger un ouvrage d'un niveau relativement élémentaire permettant aux physiciens de s'initier aux grandes techniques mathématiques de la physique moderne.
Le présent volume a été conçu pour répondre au moins partiellement à ce but. Il diffère de ce qui existait antérieurement dans la littérature étrangère sur deux points essentiels. D'une part son niveau est élémentaire : à l'exception de quelques paragraphes, il peut être lu par un lecteur ayant des connaissances solides relativement au programme des classes de Mathématiques spéciales ou des cours de Mathématiques générales. D'autre part il s'efforce de familiariser le lecteur aussi bien avec l'algèbre des opérateurs linéaires et des matrices qu'avec l'algèbre tensorielle si utile pour la pleine compréhension de tant de théories physiques.
Il est peut-être inutile de faire observer qu'il n'est point de Mathématiques « sans larmes » à l'usage exclusif des physiciens et que, si je me suis efforcé de choisir et coordonner celles des théories mathématiques qui peuvent être utiles aux physiciens, il m'était impossible de renoncer dans leur exposé à cette rigueur sans laquelle il n'est plus de science ni mathématique ni physique.
André LICHNEROWICZ, Avant-Propos

ARTICLE :

III-22 : QUADRIQUES
O. Staude - A. Grévy

Une méthode qui nous ferait connaître les relations qualitatives dans l'espace à plus de trois dimensions pourrait, dans une certaine mesure, rendre des services analogues à ceux que rendent les figures. Cette méthode ne peut être que l'Analysis situs à plus de trois dimensions. Malgré tout, cette branche de la Science a été jusqu'ici peu cultivée. Après Riemann est venu Betti qui a introduit quelques notions fondamentales ; mais Betti n'a été suivi par personne. Quant à moi, toutes les voies diverses où je m'étais engagé successivement me conduisaient à l'Analysis situs. J'avais besoin des données de cette Science pour poursuivre mes études sur les courbes définies par les équations différentielles et pour les étendre aux équations différentielles d'ordre supérieur et, en particulier, à celles du problème des trois corps. J'en avais besoin pour l'étude des fonctions non uniformes de deux variables. J'en avais besoin pour l'étude des périodes des intégrales multiples et pour l'application de cette étude au développement de la fonction perturbatrice. Enfin, j'entrevoyais dans l'Analysis situs un moyen d'aborder un problème important de la théorie des groupes, la recherche des groupes discrets ou des groupes finis contenus dans un groupe continu donné. 
Henri POINCARÉ, Analyse de ses travaux scientifiques, Acta Mathematica, t. 38, 1921

A reparaître

Le présent traité est un ouvrage de mathématiques pures, destiné à tous ceux qui doivent appliquer l'algèbre linéaire.
On sait que ces applications jouent un rôle essentiel dans des disciplines très diverses : calcul différentiel et intégral, mécanique des systèmes et des milieux continus, physique classique (optique et électricité notamment) et moderne (relativité et physique quantique), calcul des probabilités, statistique, recherche opérationnelle, art de l'ingénieur, etc.
Le lecteur trouvera ici un exposé complet du point de vue logique, qui ne suppose pas d'autres connaissances que celles de l'enseignement secondaire. Les exercices proposés lui permettront d'acquérir l'aisance indispensable dans le maniement des notions théoriques, et dans leur application aux problèmes concrets.
Nous avons cherché à donner de l'unité aux diverses théories présentées, en considérant directement les opérateurs linéaires, aussi bien dans les raisonnements géométriques que dans les calculs; c'est ce que veut rappeler le titre de l'ouvrage.
D'autre part, ce souci d'unité nous a amené à réduire le plus possible le nombre des définitions axiomatiques, en les remplaçant par des constructions directes; à éviter les théorèmes d'invariance, qui deviennent évidents par l'emploi de méthodes intrinsèques ; à apporter un soin particulier au choix des notations. En la matière, les habitudes courantes dans les diverses théories linéaires sont souvent contradictoires ; il a fallu parfois innover ; l'expérience nous a montré que les notations proposées facilitent la compréhension et les calculs, tout en permettant de lire les traités et ouvrages classiques.
Jean-Marie SOURIAU, Avertissement

A reparaître

Ce livre contient des développements de mathématiques pures, qui peuvent être lus indépendamment du reste ; cette lecture ne demande pas d'autres connaissances que celles du premier cycle des Facultés des Sciences.
Le chapitre I est un exposé des résultats essentiels de la géométrie différentielle ; nous ne donnons que les démonstrations qui servent directement à la compréhension des questions abordées ; le lecteur pourra trouver les autres dans les traités spécialisés.
Le chapitre II, consacré à la géométrie symplectique, contient, non seulement les résultats classiques de la théorie, mais aussi l'étude détaillée des théorèmes de type cohomologique mis en jeu par la notion abstraite de groupe dynamique ; ainsi que la génération réciproque de variétés symplectiques à partir des groupes de Lie.
Le § 16 (Chap. IV) est consacré à la notion de mesure sur une variété ; les démonstrations qui ne sont pas données se trouvent dans le traité de Bourbaki. Le texte est illustré d'exemples variés : convolution sur un groupe de Lie, variables aléatoires, moments, loi normale de Gauss, ensemble de Gibbs d'un groupe dynamique, photométrie classique.
Le § 18 est, lui aussi, purement mathématique ; il semble d'ailleurs que la « quantification géométrique » qui y est exposée puisse servir dans les problèmes de représentation unitaire des groupes. Nous en profitons d'ailleurs pour énoncer les définitions essentielles de cette théorie, espaces de Hilbert et C*-algèbres notamment.
Jean-Marie SOURIAU, Introduction

Pour chaque courbe ou famille de courbes étudiées, il y a, en sus d'aperçus historiques fouillés, au moins autant que le sujet s'y prête, donc très fréquemment :
- des définitions « géométriques » avec constructions de points et de tangentes ;
- des recherches d'équations de courbes : cartésiennes, polaires, éventuellement bipolaires, intrinsèques, paramétriques, tangentielles, sphériques,…
- la mise en évidence de multiples propriétés relatives - s'il y a lieu - aux foyers, asymptotes, tangentes, courbure ;
- un plongement dans une famille de courbes plus générales ;
- des rapprochements avec des courbes « voisines » ;
- des études de transformations par inversion, polaires réciproques, homographie,…
- des recherches de développées, développantes, podaires, caustiques,…
- des rectifications et des calculs d'aires ou de volumes ;
- l'étude de problèmes, lieux géométriques, enveloppes, faisant intervenir les courbes étudiées, ou issus de variations de leurs caractères (paramètres, foyers, asymptotes, rayon de courbure, points d'inflexion ou de rebroussement,…)
Sur l'ensemble des trois tomes, naissent et se développent ainsi, se confrontent, des milliers d'études et de théorèmes avec - souvent - des références pour aller plus loin,…
Loin de peser, cette exubérante érudition, canalisée en d'intelligents exposés à base de problèmes, émerveille, séduit, retient… On ne se lasse pas…
[...]
Voilà donc un ouvrage à avoir à portée de main, et pas seulement pour notre plaisir… A mettre au moins dans toute bibliothèque de lycée ou d'enseignement supérieur !
Henri BAREIL, Bulletin de l'APMEP, n° 398, avril-mai 1995

La Géométrie infinitésimale, dotée à Paris d'une chaire magistrale, est enseignée dans plusieurs Universités des départements ; à Lille notamment, M. Demartres, donne depuis de longues années un enseignement de Géométrie, très original et très personnel, dans lequel il a formé des disciples nombreux et enthousiastes. Cet enseignement, quoique très élevé, peut être considéré comme une sorte d'introduction aux hautes recherches que M. Darboux a exposées successivement dans son Cours et qu'il a résumées dans son beau Traité*.
Sans doute, depuis la création des certificats d'études supérieures, l'accroissement des programmes d'Analyse a donné lieu a une extension notable, quoique insuffisante, des applications géométriques ; mais l'ordre où dans les Traités d'Analyse, ces notions sont présentées est, non leur ordre logique et nécessaire tel qu'il résulte des définitions géométriques, mais l'ordre des théories analytiques auxquelles elles servent d'application ; c'est ainsi, pour ne prendre qu'un exemple, que la définition des lignes géodésiques, qui devrait logiquement être donnée dès le début de la théorie des surfaces, est rejetée le plus souvent au Chapitre où l'on traite du calcul des variations.
M. Demartres a cherché à combler ces lacunes, à remédier à ces imperfections, en rédigeant, dans l'ordre logique, le développement des questions qui forment le fond essentiel du certificat de Géométrie supérieure. Il a réussi, tout en conservant à ce Cours une forme relativement élémentaire à le conduire assez loin pour que ses lecteurs puissent ensuite aborder l'étude des Mémoiree originaux.
Paul APPELL, Préface

* Gaston DARBOUX, Leçons sur la théorie générale des surfaces, Reprint Jacques Gabay, 1993