A reparaître

Le véritable fondateur de la théorie générale des ensembles comme discipline mathématique indépendante fut le grand mathématicien allemand Georg Cantor ; nous lui devons, en particulier, l'analyse de concepts comme ceux d'égalité de puissance, de nombre cardinal, d'infinité et d'ordre. 
La théorie des ensembles de Cantor est une de ces disciplines mathématiques qui sont présentement dans un état de développement intense. Ses idées et ses manières de voir ont pénétré presque toutes les branches des mathématiques et ont exercé partout une influence stimulante et féconde.
 Alfred TARSKI, Introduction à la logique, 2^e édition, 1969

La théorie des ensembles (Mengenlehre, theory of sets) est due à Georg Cantor qui en a jeté les bases et construit une remarquable synthèse. Par les notions qu'elle a introduites et les problèmes qu'elle a posés, elle a fécondé presque toutes les branches des mathématiques ou même conduit, à des disciplines nouvelles. Citons comme exemples, la théorie des ensembles de points, la nouvelle théorie des fonctions réelles, la topologie, l'analyse fonctionnelle, l'algèbre moderne. Mais elle a aussi, au-delà des mathématiques, donné une nouvelle impulsion à la logique scientifique et à la théorie de la connaissance.
Erich KAMKE, Chapitre I

Après une brève préface qui évoque la situation de la pensée mathématique au début de ce siècle, un premier chapitre retrace à grands traits l'histoire de la science des fondements et donne une analyse détaillée de la notion de système formel.
Le Chapitre II prépare l'exposé du théorème de Gödel en expliquant comment se présente l'étude des propriétés d'un système formel et en décrivant les deux instruments de démonstration qui sont à la base du théorème : les paradoxes et les fonctions récursives.
Le Chapitre III est consacré entièrement au théorème de Gödel ; après en avoir donné une idée sommaire, il décrit de façon précise les hypothèses sur lesquelles il s'appuie, puis le mécanisme de sa démonstration ; il discute ensuite les critiques qui ont été formulées à l'égard de cette démonstration.
Le Chapitre IV indique plusieurs variantes du théorème de Gödel, obtenue sous des hypothèses plus simples ou plus générales par Kalmar, Kleene et Rosser.
Le Chapitre V décrit les répercussions qu'a exercée le théorème de Gödel sur la théorie de la démonstration (qui a pour objet de démontrer le caractère non-contradictoire des différentes théories mathématiques). Il donne une esquisse de la méthode utilisée par Gentzen pour établir la non-contradiction de l'arithmétique.
Le Chapitre VI se rapporte à des théorèmes de limitation d'une autre espèce : il s'agit du théorème de Church et des théorèmes apparentés relatifs au problème de la décision.
Le théorème de Gödel et celui de Church ont été retrouvés par Kleene sous forme de corollaire d'un théorème plus général qui porte sur la forme des prédicats dans un système formel. C'est ce théorème de Kleene et ses conséquences qui se trouvent exposés dans le Chapitre VII.
Le Chapitre vIII développe une autre méthode de généralisation du théorème de Gödel : la méthode axiomatique. Il décrit les formes généralisées données grâce à cette méthode au théorème de Gödel par Tarski et Mostowski.
Le Chapitre IX donne un aperçu d'autres faits de limitation. Il comporte en particulier l'évocation du théorème de Löwenheim-Skolem et de certains résultats relatifs à la théorie des modèles.
Le Chapitre X enfin abandonne le domaine du formalisme pour aborder celui de la critique philosophique et développe certaines remarques suggérées par les faits décrits dans les chapitres précédents.
Jean LADRIÉRE, Avant-Propos

 

Les nombres transfinis ne sont pas une nouveauté pour les lecteurs de la Collection de Monographies sur la Théorie des Fonctions. Il en a été question dès le premier Volume, mes Leçons sur la théorie des fonctions, dont la première édition remonte à 1898 ; il en a été question également dans les livres de René Baire sur les fonctions discontinues et de Henri Lebesgue sur la théorie de l'intégration. Mais dans ces Ouvrages, les nombres transfinis sont étudiés comme un moyen de résoudre divers problèmes de théorie des fonctions ; W. Sierpinski les étudie en eux-mêmes ; il regarde la théorie des ensembles comme ayant son intérêt et son objet propre, indépendamment de ses applications. Ce n'est pas seulement cette différence de point de vue, après tout secondaire, qui caractérise l'Ouvrage de W. Sierpinski. Ce qui le distingue surtout, c'est le fait que W. Sierpinski croit effectivement à la réalité de tous les nombres transfinis, et admet sans restriction les raisonnements tels que celui par lequel E. Zermelo a « démontré » que le continu peut être bien ordonné. Ce n'est pas ici le lieu de rappeler les objections que j'ai faites par ailleurs à l'encontre des déductions du genre de celles de E. Zermelo. Il m'a paru que ces divergences de point de vue ne devaient pas m'empêcher — au contraire — d'accueillir dans cette collection l'Ouvrage de W. Sierpinski. J'espère, d'ailleurs, pouvoir y accueillir bientôt un Ouvrage d'un éminent géomètre russe, Nicolas Lusin qui, dans cette controverse, a pris une attitude analogue à la mienne. Les lecteurs fidèles de cette collection auront ainsi entre les mains tous les éléments nécessaires pour se faire une opinion personnelle sur ces questions délicates, qui sont aux confins des Mathématiques et de la Philosophie. Ils ne seront pas moins reconnaissants que moi-même à l'égard de W. Sierpinski pour son exposé si élégant et si complet.
Émile BOREL, Préface