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Logique - Théorie des ensembles

Logique - Théorie des ensembles

 

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La
logique mathématique (dite aussi logique symbolique) est la logique traitée par les méthodes mathématiques. La logique a la fonction importante de dire qu'est ce qui s'ensuit de quoi. Tout fragment de mathématiques fait appel à la logique. Un exemple familier est la présentation de la géométrie dans les Éléments d'Euclide (330-275 A.C.) où les théorèmes sont logiquement déduits d'axiomes ou de postulats. D'ailleurs n'importe quel arrangement du contenu des mathématiques révélerait des relations logiques. La logique est aussi utilisée dans la systématisation de la connaissance scientifique ; elle intervient comme instrument du raisonnement et d'argumentation dans la vie quotidienne.

 Stephen C. KLEENE, Logique mathématique, 1971 


Le mot ensemble, à cause même de sa simplicité et de sa généralité, ne paraît pas susceptible d'une définition précise ; tout au plus peut-on le remplacer par des synonymes, tels que collection, assemblage d'un nombre fini ou infini d'objets, ces objets étant en général des êtres mathématiques de même nature, tels que des nombres, des points de l'espace, des fonctions, ...
Pour des raisons du même ordre, il ne semble pas qu'il y ait lieu de chercher à délimiter à l'avance le domaine qu'on doit comprendre sous le titre général Théorie des ensembles ; cela serait d'autant plus difficile que ce titre tend de plus en plus à s'appliquer à des questions très diverses ; et peut-être même s'agit-il moins d'un corps de doctrine isolé que d'une méthode générale dont l'influence pénètre dans les diverses parties des mathématiques.

René BAIRE, Théorie des ensembles, article I-7, in  Jules MOLK, Encyclopédie des Sciences Mathématiques, t. I, vol. 1, Arithmétique, 1904-1909 

 

 


 


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Référence: 086

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Sommaire

- Notions générales sur les ensembles.
- Les nombres algébriques et l'approximation des incommensurables.
- Les ensembles parfaits et les ensembles mesurables.
- Le prolongement analytique.
- Sur la convergence de certaines séries réelles.
- La notion de fonction d'une variable complexe.
Notes
- La notion de puissance.
- La croissance des fonctions et les nombres de la deuxième classe.
- La notion de fonction en général.
- Les polémiques sur le transfini et sur la démonstration de Zermelo.
- Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques.
- La théorie de la mesure et la théorie de l'intégration.
- Pour ou contre la logique empirique.
- L'axiome du choix et les définitions asymptotiques.

54,00 *
Référence: 062

A reparaître

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Le véritable fondateur de la théorie générale des ensembles comme discipline mathématique indépendante fut le grand mathématicien allemand Georg Cantor ; nous lui devons, en particulier, l'analyse de concepts comme ceux d'égalité de puissance, de nombre cardinal, d'infinité et d'ordre. 
La théorie des ensembles de Cantor est une de ces disciplines mathématiques qui sont présentement dans un état de développement intense. Ses idées et ses manières de voir ont pénétré presque toutes les branches des mathématiques et ont exercé partout une influence stimulante et féconde.
 Alfred TARSKI, Introduction à la logique, 2e édition, 1969

Référence: 126

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Tous les mathématiciens sont d'accord pour penser qu'un mathématicien doit connaître quelque peu la théorie des ensembles ; le désaccord commence lorsqu'on cherche à définir ce quelque peu. Ce livre contient ma réponse à la question. Le but du livre est de présenter à celui qui aborde l'étude des mathématiques supérieures les faits ensemblistes fondamentaux de la vie, et de le faire avec le minimum de discours philosophique et de formalisme logique. Le point de vue adopté tour au long du livre est celui du futur mathématicien, soucieux d'étudier les groupes, les intégrales, les multiplicités. De ce point de vue les concepts et les méthodes de ce livre sont simplement quelques uns des outils mathématiques types.
Paul R. HALMOS, Préface

23,00 *
Référence: 145

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La théorie des ensembles (Mengenlehre, theory of sets) est due à Georg Cantor qui en a jeté les bases et construit une remarquable synthèse. Par les notions qu'elle a introduites et les problèmes qu'elle a posés, elle a fécondé presque toutes les branches des mathématiques ou même conduit, à des disciplines nouvelles. Citons comme exemples, la théorie des ensembles de points, la nouvelle théorie des fonctions réelles, la topologie, l'analyse fonctionnelle, l'algèbre moderne. Mais elle a aussi, au-delà des mathématiques, donné une nouvelle impulsion à la logique scientifique et à la théorie de la connaissance.
Erich KAMKE, Chapitre I

26,00 *
Référence: 005

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Un manuel de logique écrit à l'intention des étudiants par un logicien de réputation internationale.
Ce livre, d'une rare richesse intellectuelle et instrument de travail exceptionnel, est sans équivalent, même dans sa langue originale. Il est le fruit à la fois d'une longue expérience pédagogique et d'une connaissance de première main des sujets qui y sont exposés.
L'auteur réussit à donner à sa pensée une expression accessible et rigoureuse, jouant de toutes les ressources d'une pédagogie très au point : démonstrations informelles, résultats généraux prouvés sur un cas typique traité in extenso, exemples développés jusqu'à l'extrême détail, exercices placés à la fin de chaque section, grâce auxquels le lecteur peut reconstituer les concepts abstraits et s'assurer qu'il sait les mettre en œuvre.
Les notes placées en bas de page, renvoyant les unes aux autres et à des parties antérieures de l'ouvrage, contribuent à resserrer la cohérence et à guider le lecteur. Elles contiennent en outre une profusion de remarques et d'informations historiques, critiques, bibliographiques d'un intérêt considérable.

 

60,00 *
Référence: 087

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Après une brève préface qui évoque la situation de la pensée mathématique au début de ce siècle, un premier chapitre retrace à grands traits l'histoire de la science des fondements et donne une analyse détaillée de la notion de système formel.
Le Chapitre II prépare l'exposé du théorème de Gödel en expliquant comment se présente l'étude des propriétés d'un système formel et en décrivant les deux instruments de démonstration qui sont à la base du théorème : les paradoxes et les fonctions récursives.
Le Chapitre III est consacré entièrement au théorème de Gödel ; après en avoir donné une idée sommaire, il décrit de façon précise les hypothèses sur lesquelles il s'appuie, puis le mécanisme de sa démonstration ; il discute ensuite les critiques qui ont été formulées à l'égard de cette démonstration.
Le Chapitre IV indique plusieurs variantes du théorème de Gödel, obtenue sous des hypothèses plus simples ou plus générales par Kalmar, Kleene et Rosser.
Le Chapitre V décrit les répercussions qu'a exercée le théorème de Gödel sur la théorie de la démonstration (qui a pour objet de démontrer le caractère non-contradictoire des différentes théories mathématiques). Il donne une esquisse de la méthode utilisée par Gentzen pour établir la non-contradiction de l'arithmétique.
Le Chapitre VI se rapporte à des théorèmes de limitation d'une autre espèce : il s'agit du théorème de Church et des théorèmes apparentés relatifs au problème de la décision.
Le théorème de Gödel et celui de Church ont été retrouvés par Kleene sous forme de corollaire d'un théorème plus général qui porte sur la forme des prédicats dans un système formel. C'est ce théorème de Kleene et ses conséquences qui se trouvent exposés dans le Chapitre VII.
Le Chapitre vIII développe une autre méthode de généralisation du théorème de Gödel : la méthode axiomatique. Il décrit les formes généralisées données grâce à cette méthode au théorème de Gödel par Tarski et Mostowski.
Le Chapitre IX donne un aperçu d'autres faits de limitation. Il comporte en particulier l'évocation du théorème de Löwenheim-Skolem et de certains résultats relatifs à la théorie des modèles.
Le Chapitre X enfin abandonne le domaine du formalisme pour aborder celui de la critique philosophique et développe certaines remarques suggérées par les faits décrits dans les chapitres précédents.
Jean LADRIÉRE, Avant-Propos


 

 

65,00 *
Référence: 100

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ARTICLES :

I-1 : PRINCIPES FONDAMENTAUX DE L'ARITHMÉTIQUE
H. Schubert - J. Tannery - J. Molk

I-2 : ANALYSE COMBINATOIRE ET THÉORIE DES DÉTERMINANTS
E. Netto - H. Vogt

I-3 : NOMBRES IRRATIONNELS ET NOTION DE LIMITE
A. Pringsheim - J. Molk

I-4 : ALGORITHMES ILLIMITÉS
A. Pringsheim - J. Molk

I-5 : NOMBRES COMPLEXES
E. Study - É. Cartan

I-6 : ALGORITHMES ILLIMITÉS DE NOMBRES COMPLEXES
A. Pringsheim - M. Fréchet

I-7 : THÉORIE DES ENSEMBLES
A. Schœnflies - R. Baire

i-8 : SUR LES GROUPES FINIS DISCONTINUS *
H. Burkhardt - H. Vogt

* La fin de l'article n'a pas été publiée en raison de la guerre.

58,00 *
Référence: 208

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Les nombres transfinis ne sont pas une nouveauté pour les lecteurs de la Collection de Monographies sur la Théorie des Fonctions. Il en a été question dès le premier Volume, mes Leçons sur la théorie des fonctions, dont la première édition remonte à 1898 ; il en a été question également dans les livres de René Baire sur les fonctions discontinues et de Henri Lebesgue sur la théorie de l'intégration. Mais dans ces Ouvrages, les nombres transfinis sont étudiés comme un moyen de résoudre divers problèmes de théorie des fonctions ; W. Sierpinski les étudie en eux-mêmes ; il regarde la théorie des ensembles comme ayant son intérêt et son objet propre, indépendamment de ses applications. Ce n'est pas seulement cette différence de point de vue, après tout secondaire, qui caractérise l'Ouvrage de W. Sierpinski. Ce qui le distingue surtout, c'est le fait que W. Sierpinski croit effectivement à la réalité de tous les nombres transfinis, et admet sans restriction les raisonnements tels que celui par lequel E. Zermelo a « démontré » que le continu peut être bien ordonné. Ce n'est pas ici le lieu de rappeler les objections que j'ai faites par ailleurs à l'encontre des déductions du genre de celles de E. Zermelo. Il m'a paru que ces divergences de point de vue ne devaient pas m'empêcher — au contraire — d'accueillir dans cette collection l'Ouvrage de W. Sierpinski. J'espère, d'ailleurs, pouvoir y accueillir bientôt un Ouvrage d'un éminent géomètre russe, Nicolas Lusin qui, dans cette controverse, a pris une attitude analogue à la mienne. Les lecteurs fidèles de cette collection auront ainsi entre les mains tous les éléments nécessaires pour se faire une opinion personnelle sur ces questions délicates, qui sont aux confins des Mathématiques et de la Philosophie. Ils ne seront pas moins reconnaissants que moi-même à l'égard de W. Sierpinski pour son exposé si élégant et si complet.
Émile BOREL, Préface

49,00 *
Référence: 295

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Avertissement

Le but du présent Ouvrage est d'initier le lecteur à ce puissant courant de la pensée contemporaine qui s'est centré sur la logique mathématique. Ce courant a eu sa source dans le besoin d'établir les mathématiques sur une base solide ; mais, dans son état actuel, il doit viser des objectifs plus vastes, et, notamment, celui de créer un appareil conceptuel fournissant un fondement commun pour l'ensemble du savoir humain, et de perfectionner la méthode déductive qui, dans tout domaine de l'activité intellectuelle, est un instrument indispensable pour tirer des conclusions de suppositions préalables.
Pour réaliser ce dessein dans les limites d'un ouvrage relativement court sans supposer chez le lecteur des connaissances spéciales en mathématiques ou un entraînement particulier à penser d'une manière abstraite, l'Auteur a adopté un langage qui diffère aussi peu que possible du langage de tous les jours, et il n'a fait qu'un usage restreint d'un symbolisme logique spécial. En même temps, il a essayé de combiner la plus grande intelligibilité possible avec la concision nécessaire, et d'éviter tout ce qui serait, du point de vue scientifique, une erreur ou une inexactitude grossière.
L'Ouvrage consiste en deux parties. La première constitue une introduction générale à la logique. La deuxième montre, sur un exemple concret, la manière dont la logique et la méthodologie sont appliquées dans la construction des théories mathématiques; elle permet au lecteur d'assimiler et d'approfondir les connaissances acquises par l'étude de la première partie. Chacun des 12 chapitres se termine par une série d'exercices.

50,00 *
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