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Probabilités

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La théorie des probabilités se distingue au premier abord des autres branches des mathématiques et même des autres sciences, en ce que, par sa nature même, elle ne peut jamais prétendre nous donner une certitude. Sans doute peut-on dire, lorsqu'on se place au point de vue abstrait et axiomatique, que les déductions y sont aussi rigoureuses que dans les autres sciences et que les valeurs obtenues pour des probabilités bien définies, lorsqu'on admet certains postulats, sont rigoureusement exactes ; mais, lorsque l'on passe dans le domaine des applications pratiques, on est bien obligé de constater que même si la valeur d'une probabilité était connue avec certitude, cette connaissance ne pourrait jamais entraîner comme conséquence pratique une certitude, mais, au contraire, une incertitude, puisque précisément l'objet même des déductions et des calculs est simplement une probabilité et non un nombre, une longueur, un temps, comme en Arithmétique, en Géométrie, en Astronomie. Les vérifications sont par suite toujours sujettes à caution, puisque, même si le cas favorable est de beaucoup le plus probable, le cas défavorable peut cependant se produire, sans que pour cela la théorie et le calcul puissent être regardés comme étant en défaut.
La théorie prédit la ruine des joueurs ; on pourrait cependant citer des cas, à la vérité fort rares, où tel joueur cependant honnête s'est enrichi. Il est vrai que la théorie ne prédit cette ruine qu'au joueur professionnel théorique, qui ne cesse pas de jouer, et que tout joueur réel doit bien finir par interrompre son jeu, ne serait-ce qu'à la fin de sa vie. Il y a néanmoins contradiction apparente entre la théorie et l'expérience.

Émile BOREL, Valeur pratique et philosophie des probabilités, 1939

 

 



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Le mémoire détermine d'abord la probabilité qu'un joueur se trouvera ruiné après un certain nombre de parties, s'il joue à chacune une certaine portion de sa fortune ; l'expression analytique est directe, générale, simple et élégante et donne la démonstration de la ruine certaine du joueur qui continuerait sur le même pied, comme de celui qui jouerait toute sa fortune, à chaque partie, quoiqu'à jeu égal.

Tous les cas qui pourraient avoir lieu sont ensuite exprimés par une série récurrente, qui est le développement d'une fraction rationnelle que l'auteur cherche par une analyse très savante et qui prouve dans le citoyen Ampère des connaissances rares et un talent très marqué.
Joseph-Jérôme de Lalande

25,00 *
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Une dernière remarque ne sera peut-être pas inutile. Si, à l'égard de plusieurs questions traitées dans cette étude, j'ai comparé les résultats de l'observation à ceux de la théorie, ce n'était pas pour vérifier des formules établies par les méthodes mathématiques, mais pour montrer seulement que le marché, à son insu, obéit à une loi qui le domine : la loi de la probabilité.
Louis BACHELIER
27,00 *
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Ceci n'est pas un traité de Bridge ; nous n'entrons qu'assez rarement dans le détail des règles du jeu, et nous supposons également connues dulecteur les doctrines classiques sur les déclarations, les impasses, les invites, les squeezes, etc. Nous supposons également chez le lecteur uneconnaissance élémentaire de la théorie des probabilités. Nous nous proposons de fournir à la fois une méthode, et un grand nombre de résultats numériques facilitant l'application de cette méthode à chacun des cas concrets qui peuvent se présenter et qu'il n'est pas possible d'étudier tous, car ils sont innombrables, même si on les range dans de vastes catégories. 
Tous ceux des joueurs de bridge qui sont arrivés par des réflexions personnelles ou par des calculs, à se formuler des règles d'action dans certaines circonstances délicates, trouveront généralement ici une confirmation de ces règles. Dans la plupart des cas, en outre, cette confirmation précisera la probabilité de succès de chaque règle, et ceci est fort important ; si, en effet, entre deux manières de gagner une levée décisive, l'une réussit 60 fois sur 100, et la seconde 40 fois sur 100, il sera évidemment préférable d'utiliser la première, mais la différence est cependant assez faible pour que, si les circonstances du jeu (déclarations, manière de jouer du partenaire ou de l'adversaire, état de la marque), donnent une indication, même un peu vague, en faveur de la seconde, un bon joueur puisse se décider parfois en faveur de celle-ci. Si, au contraire, la première manière de jouer réussissait en principe 90 fois sur 100, et la seconde seulement 10 fois, ce serait seulement dans le cas où les circonstances du jeu fourniraient un renseignement presque certain que l'on pourrait songer à adopter la seconde. 
Il pourra arriver parfois que nos études contredisent certaines des règles que s'est fixées tel joueur ; en ce cas, celui-ci sera amené à réfléchir, à contrôler au besoin nos calculs et nos raisonnements et, s'il n'y relève pas d'erreur, à modifier en connaissance de cause sa technique. 
Dans certains cas, toujours nettement indiqués, les calculs sont précédés d'hypothèses sur la psychologie des joueurs et sur leur manière d'enchérir et de jouer. Il est clair que ces hypothèses n'ont pas la certitude des calculs : tout joueur averti peut les discuter librement, tandis que les résultats des calculs ne prêtent pas à discussion : ils sont exacts ou ils sont faux. 
Comme l'indique André Chéron dans les Remarques, nous avons toutes raisons de croire que nous avons, sauf accident, évité les erreurs de calcul et d'impression. 
En résumé, ce Livre fournira à tous ceux qui connaissent le bridge et qui n'ont pas la phobie des nombres et des calculs, des renseignements utiles qui ne figurent dans aucun Traité.
Émile BOREL, Préface

69,00 *
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La conception de l'unité du calcul des probabilités constitue l'une des bases de notre étude ; elle a permis de faire de la théorie des probabilités continues une science générale et méthodique ; elle a permis de classer les problèmes d'après leurs caractères réels, de sorte que leur étude forme une chaîne ininterrompue de déductions se suivant dans un ordre naturel et logique.
La théorie des probabilités continues a donné naissance à une assimilation des plus curieuses entre ce qu'on pourrait appeler le mouvement ou la transformation des probabilités et certains phénomènes physiques tels que la diffusion de la chaleur. Cette théorie devrait, logiquement, servir d'introduction à l'étude de la Physique mathématique, non seulement parce que la connaissance des lois du hasard supplée bien souvent à notre ignorance des lois de la nature, mais aussi parce que cette théorie, basée sur des conceptions purement mathématiques et non sur des hypothèses, est cependant assimilable à la théorie des phénomènes les plus simples qu'étudie la philosophie naturelle.
Louis BACHELIER, Préface

74,00 *
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Nous ne pouvons, dans ce petit livre, étudier toutes les manifestations du hasard qu'il est possible de soumettre au calcul et de traiter d'une façon scientifique.
En nous bornant aux généralités, à l'analyse des jeux, de la spéculation, des erreurs d'observation, nous aurons déjà à parcourir un domaine assez vaste comprenant les bases fondamentales du calcul des probabilités.
Louis BACHELIER

34,00 *
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J'ai cherché dans ce Livre, résumé des Leçons faites au Collège de France, à faire reposer les résultats les plus utiles et les plus célèbres du Calcul des probabilités sur les démonstrations les plus simples. Bien peu de pages, je crois, pourront embarrasser un lecteur familier avec les éléments de la Science mathématique.
Joseph BERTRAND, Préface

60,00 *
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La théorie des jeux est parvenue depuis longtemps à une vérité définitive, à laquelle d'illustres savants – comme Denis Poisson pour le trente et quarante ou Joseph Bertrand pour le baccara – n'ont pas été étrangers. Les joueurs et, spécialement, les inventeurs de systèmes, sont les derniers à s'en rendre compte. Notons, en passant, cette situation privilégiée, car il existe, en science, bien peu de problèmes où il ne reste plus rien à découvrir.
L'aspect psychologique de la question ne nous laissera pas indifférents : n'a-t-on pas dit et répété, non sans raison, que le jeu est l'image de la vie ? Chemin faisant, le lecteur appréciera les diverses entreprises, vis-à-vis desquelles il se trouve en état d'infériorité manifeste. Aux jeux de pur hasard (tels que la boule, la roulette, le baccara, ...) il s'agit avant tout, d'éviter de se ruiner ; mais les jeux de semi-hasard (le bridge, le poker, la belote, ...), auxquels les plus grands esprits se sont intéressés, permettent une utilisation intelligente et attrayante des loisirs, fertile en enseignements de toutes sortes.
Tous ceux qui appliqueront quelque attention à ces pages, rendues aussi élémentaire que possible, comprendront à quel point un long entraînement à la réflexion nous libère des opinions préconçues. Ils s'exerceront à délimiter le domaine irréductible de notre ignorance.
Marcel BOLL, Introduction

37,00 *
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La démarcation que l'on pourrait être tenté d'établir entre la valeur pratique de la théorie des probabilités et la valeur pratique des autres branches des mathématiques est beaucoup moins absolue qu'on pourrait le croire au premier abord, si l'on a le soin, comme il est naturel, pour se rendre compte de la valeur pratique d'une science, de se placer, non dans l'abstrait, mais dans les conditions mêmes où elle est pratiquement utilisée et utilisable.
Nous nous rendrons compte que la question de la valeur de la théorie des probabilités est, en réalité, au centre de la théorie de la connaissance scientifique, car la valeur de tous les résultats de la science ne peut être évaluée que par un coefficient de probabilité.
D'autre part, nous devons essayer de démêler les motifs humains et psychologiques pour lesquels certains hommes, parfois fort instruits et raisonnant correctement en d'autres matières, témoignent d'une incompréhension invraisemblable vis-à-vis de certains résultats de la théorie des probabilités. Nous ne saurions avoir la prétention de réformer la mentalité humaine, lorsque tant d'illustres savants n'y ont pas réussi ; mais peut-être arriverons-nous à convaincre les éducateurs de la jeunesse de la nécessité qu'il y aurait à initier les adolescents aux principes de la théorie des probabilités : on diminuerait sans doute ainsi la persistance de nombreux préjugés.
Enfin, il nous paraît nécessaire d'insister un peu sur certaines difficultés réelles, qui se présentent à propos de certaines applications de la théorie des probabilités. Il ne faut point dissimuler ces difficultés, car il est nécessaire de marquer la limite entre les applications légitimes et correctes des probabilités et celles qui ne le sont pas. Toute science peut donner lieu à des applications incorrectes, qui ne sauraient diminuer la valeur de cette science. Lorsqu'un maître enseigne à ses élèves que l'on doit éviter d'additionner des grandeurs qui ne sont pas de même nature, si l'un d'eux passe outre et conclut que 3 kilogrammes et 4 grammes font 7 hectogrammes, cette erreur ne prouve rien contre la valeur rigoureuse de la théorie de l'addition des nombres entiers.

Émile BOREL, Introduction

39,00 *
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Les jeux de hasard se répartissent en deux classes principales : dans la première figurent les jeux de pur hasard, où la personnalité du joueur n'intervient pas. L'application du Calcul des Probabilités à de tels jeux ne fait intervenir que des questions plus ou moins complexes d'analyse combinatoire.
Mais à côté de ces jeux de pur hasard figure une catégorie importante de jeux, que nous rangerons dans la deuxième classe : ce sont les jeux où interviennent à la fois le hasard proprement dit et l'habileté des joueurs. Cette classe comprend en particulier l'immense majorité des jeux de cartes. Qu'entendons-nous par habileté d'un joueur ? C'est son aptitude à tirer le meilleur parti possible des éléments fournis par le hasard. Une étude plus approfondie de cette deuxième classe de jeux nous permettra de mettre en évidence dans cette habileté deux facteurs distincts ; en premier lieu, une exacte connaissance de toutes les combinaisons possibles que présente le jeu, et de leurs probabilités respectives ; en second lieu, l'aptitude du joueur à tromper son adversaire sur ses intentions ou sur certains faits, tels que la valeur de son propre jeu.
Les problèmes rencontrés dans la théorie des jeux où intervient l'habileté du joueur présentent beaucoup d'analogies avec ceux qui se posent dans l'étude des phénomènes économiques. Ces phénomènes, en effet, sont commandés d'une part par des causes matérielles, qui se traduisent par des données concrètes, telles que l'évaluation des stocks existants, et, d'autre part, par des causes qui dépendent de la volonté humaine. Les théories économiques qui ne tiennent compte que des causes de la première catégorie sont le prétexte de développements intéressants, mais peu utiles pratiquement. Et l'on a pu faire aux économistes le reproche que l'on a coutume de faire aux météorologistes : de même que ces derniers excellent à expliquer scientifiquement le temps qu"il a fait hier plutôt qu'à prévoir celui qu'il fera la semaine prochaine, les économistes font plus aisément la théorie d'un phénomène qui vient de se produire, qu'ils ne savent conseiller les mesures à prendre pour assurer à la vie économique de demain un développement normal. Pour arriver à traiter les questions économiques d'une manière satisfaisante, il faut faire une place à la probabilité et à la psychologie : l'étude des jeux de hasard et de psychologie constituera donc une base utile pour cette étude.
Émile BOREL, Introduction

33,00 *
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J'ai réuni dans cet ouvrage les divers écrits publiés par Gauss sur la Méthode des moindres carrés.
L'illustre géomètre, que les sciences viennent de perdre, attachait une grande importance à cette partie de ses travaux, et la meilleure manière de combiner les observations était, à ses yeux, un des problèmes les plus importants de la philosophie naturelle.
Gauss n'ignorait pas les critiques dont sa théorie a été l'objet ; mais son opinion bien arrêtée, était que les géomètres adopteraient entièrement ses idées lorsque ses Mémoires, aujourd'hui fort rares, se seraient répandus davantage. C'est pour cela, sans doute, qu'il a bien voulu m'écrire qu'il me verrait avec le plus grand plaisir en publier la traduction. Ces Mémoires forment un Traité complet de la combinaison des observations, qui n'exige ni commentaires ni annotations. Les questions de priorité sur lesquelles se sont engagées des discussions assez vives, y sont traitées brièvement, mais de la manière la plus nette et la plus loyale. J'ai donc dû me borner au rôle de traducteur : c'était le seul qui fût utile, et le seul d'ailleurs que Gauss m'eût autorisé à prendre.
Joseph BERTRAND, Avertissement

38,00 *
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Cet ouvrage a paru dans le cours de 1812 ; savoir, la première partie, vers le commencement de l'année; et la seconde partie, quelques mois après la première. Depuis ce temps, l'auteur s'est occupé spécialement à le perfectionner, soit en corrigeant de légères fautes qui s'y étaient glissées, soit par des additions utiles.
La principale est une introduction fort étendue, dans laquelle les principes de la théorie des probabilités, et leurs applications les plus intéressantes sont exposées sans le secours du calcul. Cette introduction, qui sert de préface à l'ouvrage, paraît encore séparément sous ce titre : Essai philosophique sur les probabilités.
La théorie de la probabilité des témoignages, omise dans la première édition, est ici présentée avec le développement qu'exige son importance.
Plusieurs théorèmes analytiques auxquels l'auteur était arrivé par des voies indirectes sont démontrés directement dans les Additions, qui renferment, de plus, un court extrait de l'Arithmétique des infinis de Wallis, l'un des ouvrages qui ont le plus contribué aux progrès de l'analyse, et où l'on trouve le germe de la théorie des intégrales définies, l'une des bases de ce nouveau calcul des probabilités.
L'auteur désire que son ouvrage, accru d'un tiers au moins par ces diverses additions, mérite l'attention des géomètres, et les excite à cultiver une branche aussi curieuse et aussi importante des connaissances humaines.

Pierre-Simon LAPLACE, Avertissement de la seconde édition

120,00 *
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La plus grande partie du présent travail est un exposé d'ensemble des résultats obtenus par l'auteur, de 1934 à 1939, sur les processus additifs et sur le mouvement brownien, et de quelques résultats plus récents. Mais il nous a paru utile de faire précéder cet exposé par une étude générale sommaire des processus stochastiques, qui, grâce aux travaux de A. Khintchine, J. Kampé de Fériet, H. Cramér, M. Loève, A. Blanc-Lapierre et R. Fortet, a fait de grands progrès depuis quelques années.
Paul LÉVY, Introduction

43,00 *
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Le calcul des probabilités a fait, depuis environ quinze ans, des progrès immenses. Des problèmes classiques ont reçu une solution plus complète qu'il ne semblait au début de ce siècle possible d'espérer. Des problèmes nouveaux, nés de la théorie des probabilités dénombrables, ont été posés et souvent résolus. Aussi ne saurait-il être question de donner en un volume un exposé de l'ensemble du calcul des probabilités, dans son état actuel. Mon but est plus restreint. Mes recherches personnelles ayant eu principalement pour objet, depuis plusieurs années, l'étude des problèmes asymptotiques relatifs aux probabilités, il m'a semblé que le moment était venu de donner un exposé d'ensemble de l'état actuel des questions que j'ai ainsi étudiées, et qui ont pendant la même période fait l'objet de nombreux travaux parmi lesquels il convient de mentionner tout spécialement ceux de MM. A. Khintchine et A. Kolmogoroff.
Je n'ai pensé à choisir un titre pour ce livre qu'après en avoir terminé la rédaction, et il était difficile d'en trouver un qui corresponde exactement aux questions exposées. Aussi le lecteur ne doit-il pas s'étonner s'il trouve que mon sujet n'a pas été traité d'une manière complète, ou au contraire que j'en suis sorti dans le dernier chapitre ; c'est le titre qui a tort ; mon intention a été de parler des questions sur lesquelles j'avais quelque chose à dire.
Paul LÉVY, Préface de la première édition, 1937

Référence: 231

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On sait que le calcul des probabilités repose essentiellement sur un théorème unique, la loi des grands nombres. On peut dire que la théorie a pour seul objet de démontrer ce théorème, et quelques autres qui s'y rattachent. Les problèmes relatifs aux jeux de cartes, qui tiennent souvent une grande place dans les traités de calcul des probabilités, n'ont d'intérêt que comme exemples simples permettant de faire comprendre la portée des principes. Mais dès qu'ils deviennent plus compliqués, ce sont des exercices d'analyse combinatoire plutôt que de calcul des probabilités.
Pour établir la loi des grands nombres, ou plutôt pour établir les quelques résultats qui la complètent et la précisent, et mettent en évidence le rôle de la loi de Gauss dans la théorie des erreurs, on peut ne pas chercher à faire une théorie mathématique précise et se contenter de raisonnements de bon sens. C'est ce qu'ont fait MM. Borel et Deltheil dans leur petit livre publié dans la collection Armand Colin, et il n'y a rien à ajouter à ce qu'ils ont dit. Mais pour le mathématicien, cela ne saurait suffire. Il faut justifier les principes fondamentaux de la théorie des erreurs en précisant convenablement la notion intuitive d'erreur accidentelle et en en déduisant par un raisonnement rigoureux que l'erreur accidentelle obéit à la loi de Gauss, M. Borel estime que ce résultat ne justifie pas l'appareil mathématique nécessaire pour y parvenir.
Le lecteur verra que cet appareil mathématique n'est pas aussi imposant qu'on le croit généralement. On arrive très simplement au résultat, en utilisant la notion de fonction caractéristique. J'ai indiqué cette méthode dès 1920 dans mon cours de l'École Polytechnique. Constatant qu'elle semblait peu connue, et que son utilisation systématique conduisait à des résultats nouveaux, j'ai, en 1922 et 1923, présenté à l'Académie des Sciences quelques notes sur ce sujet. Grande a été ma surprise en apprenant par une lettre de M. G. Polya, écrite à la suite de la première de ces notes, que cette méthode et quelques-uns des résultats que je croyais nouveaux avaient été développés dans des notes présentées par Cauchy à l'Académie des Sciences en 1853 ; il est même possible que tous les résultats de Cauchy n'aient pas été publiés ; l'Académie des Sciences trouvait en effet que l'illustre savant mettait trop peu de discrétion à remplir les Comptes rendus de ses découvertes. Quoi qu'il en soit, il est singulier que quelques notes du plus grand mathématicien de l'époque, relatives à un problème qui a fait l'objet de tant de recherches, n'aient pas attiré l'attention. Poincaré, dans la deuxième édition de son Calcul des Probabilités, indique en quelques lignes le principe de la méthode de Cauchy ; il semble d'ailleurs qu'il ait ignoré qu'elle était de Cauchy et il est à peu près certain qu'il n'en a pas vu toute la portée. Aucun des ouvrages publiés depuis n'indique cette méthode, qui semble avoir été ignorée même par les rédacteurs de l'Encyclopédie des Sciences Mathématiques. Aussi, ai-je pensé qu'un nouveau livre, consacré en grande partie au développement systématique de cette méthode, ne ferait pas double emploi avec les précédents.
Paul LÉVY, Préface

Référence: 103

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ARTICLES :

I-20 : CALCUL DES PROBABILITÉS
E. Czuber - J. Le Roux

I-21 : CALCUL DES DIFFÉRENCES ET INTERPOLATION
D. Selivanov - J. Bauschinger - H. Andoyer

I-22 : THÉORIE DES ERREURS
J. Bauschinger - H. Andoyer

I-23 : CALCULS NUMÉRIQUES
R. Mehmke - M. d'Ocagne

I-24 : STATISTIQUE
L. von Bortkiewicz - F. Oltramare

I-25 : TECHNIQUE DE L'ASSURANCE SUR LA VIE
G. Bohlmann - H. Poterin du Motel

I-26 : ÉCONOMIE MATHÉMATIQUE *
V. Pareto

* La fin de l'article n'a pas été publiée en raison de la guerre.

67,00 *
Référence: 001

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SOMMAIRE
- Introduction. 
- Définition des probabilités. 
- Probabilités totales et composées. 
- L'espérance mathématique. 
- Le théorème de Bernoulli. 
- Application de la formule de Stirling. 
- La loi de Gauss et les épreuves répétées. 
- Probabilité du continu. 
- Applications diverses. 
- Probabilités des causes. 
- La théorie des erreurs et la moyenne arithmétique. 
- Justification de la loi de Gauss
- Erreurs sur la situation d'un point. 
- Méthode des moindres carrés. 
- Calcul de l'erreur à craindre. 
- Théorie de l'interpolation. 
- Questions diverses.

Référence: 223

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L'ouvrage de Poisson tient plus que son titre ne l'indique et qu'il ne le faisait espérer ; les quatre premiers chapitres renferment les règles et les formules générales du calcul des probabilités ; c'est dans le cinquième seulement que notre confrère aborde la question de la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile.
Dans l'étude de cette question spéciale, on fait un usage continuel de ce qu'on appelle la loi des grands nombres ; voici en quels termes on peut définir cette loi : si l'on observe des nombres très considérables d'une même nature, dépendants de causes constantes et de causes qui varient irrégulièrement, tantôt dans un sens, tantôt dans un autre, c'est-à-dire sans que leur variation soit progressive dans aucun sens déterminé, les résultats qu'on en déduira seront indépendants des causes perturbatrices.
L'auteur s'attache à montrer, par des exemples bien choisis, que cette loi s'observe tant dans les faits relatifs à l'ordre matériel que dans ceux qui touchent à l'ordre moral.
On ne peut pas douter que la loi des grands nombres ne conviennent aux choses morales qui dépendent de la volonté de l'homme, de ses intérêts, de ses lumières et de ses passions, comme à celles de l'ordre physique ; mais il était important de le démontrer à priori, c'est ce qu'a fait M. Poisson. On jugera de la difficulté du problème par cette seule remarque : Jacques Bernoulli ne considéra qu'un cas particulier de cette question générale, et en fit cependant l'objet de ses méditations pendant vingt années consécutives. Des hommes d'ailleurs très éclairés refusent obstinément de croire à la possibilité de soumettre au calcul les questions que, à la suite de Condorcet et de Laplace, Poisson a traitées dans son grand ouvrage ; ils pensent que le mathématicien, tout habile qu'il soit, manquera toujours de données précises pour apprécier les chances d'erreur auxquelles le juré se trouve exposé dans l'appréciation de la cause qui lui est soumise ; mais ils ne réfléchissent pas que ces chances sont empruntées à l'expérience, et que leur valeur est fournie par une comparaison bien entendue du nombre moyen de votes qui ont acquitté, au nombre moyen de votes ayant prononcé la condamnation.
François ARAGO, POISSON, Biographie lue par extraits en séance publique de l'Académie des Sciences, le 16 décembre 1850
 

 

64,00 *
Référence: 082

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Ce livre a un caractère introductif ; on ne suppose donc au lecteur aucune connaissance préalable du Calcul des Probabilités. Il est cependant nécessaire qu'il possède des connaissances dans d'autres branches de la mathématique. Il lui faut non seulement bien connaître les éléments du calcul différentiel et intégral, mais encore être familiarisé avec la théorie des fonctions réelles et des fonctions complexes. De plus une certaine maturité mathématique est souhaitable, ainsi qu'un souci de rigueur dans les démonstrations. Ce livre s'adresse donc à des débutants exigeants.
D'autre part on s'est particulièrement attaché à ce que le lecteur puisse se faire une idée aussi exacte et complète que possible des multiples applications de la théorie dans les autres sciences, dans la technique et dans la vie quotidienne. Dans la description des applications, j'ai utilisé les connaissances acquises au cours de mon travail à l'Institut de Recherches mathématiques de l'Académie hongroise. L'impétueux développement actuel du Calcul des Probabilités et de ses applications, qui s'étendent tous les jours à de nouveaux domaines de la science et de la pratique, exclut naturellement d'avance la prétention d'énumérer tous les champs d'application de la théorie.
Un trait caractéristique du livre hongrois était le grand nombre d'exercices qu'il contenait, beaucoup plus grand qu'il n'est d'usage dans les livres de cours. Ce recueil a été lui aussi profondément transformé ; quelques exercices ont été supprimés et beaucoup d'autres ont été ajoutés. L'éventail des exercices et problèmes est assez large. Certains exercices sont des applications : quiconque a compris le cours peut les résoudre en quelques minutes par un calcul simple ; mais d'autres exigent une certaine réflexion. Enfin, quelques problèmes, qui reprennent des travaux récents, apportent des compléments au texte sous une forme condensée. Mais on a donné d'assez nombreuses indications au lecteur pour lui faciliter la résolution de ces problèmes difficiles. Cependant, dans quelques cas, il lui faudra encore travailler durement. Les problèmes compliqués sont principalement destinés aux lecteurs qui veulent faire un travail de recherche en Calcul des Probabilités ; mais il est vivement conseillé à tous les lecteurs de résoudre par eux-mêmes les exercices les plus faciles. Il serait bon qu'ils essayent d'abord de trouver la solution sans s'aider des indications – quand il y en a. Ils n'y auraient alors recours qu'en désespoir de cause, ou bien comme comparaison ou contrôle.
Alfred RÉNYI, Avant-Propos

48,00 *
Référence: 255

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L'unité étroite de la science et de la vie, de la théorie et de la pratique a été le trait caractéristique de l'œuvre de nombreux savants russes. P. L. Tchebychef, fondateur de la grande école de mathématiques de Pétersbourg, écrivait :
« Le rapprochement de la théorie et de la pratique donne les résultats les plus bienfaisants et la pratique n'est pas la seule à en profiter : les sciences elles-mêmes se développent sous son influence : elle leur ouvre de nouveaux objets d'études ou bien de nouveaux aspects dans des matières depuis longtemps connues. »
En même temps, on procédait à une élaboration approfondie des problèmes qui avaient, tout au moins à cette époque, une importance théorique et qui étaient nécessaires pour le progrès de la science elle-même. Ceci se rapporte également à Tchebychef et à ses émules. Si les recherches de Tchebychef dans la théorie des polynômes d'approximation des fonctions ont grandi en liaison intime avec l'étude de la théorie des mécanismes, ses travaux sur la théorie des nombres avaient un caractère abstrait.
René TATON, Histoire générale des sciences, t. III, La Science contemporaine, vol. 1, Le XIXe siècle, PUF, 1961

215,00 *
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