Mon seul but en publiant ces recueils d'exercices, est d'être réellement utile aux jeunes gens qui abordent le calcul infinitésimal.
Pour atteindre ce but, le moyen le meilleur m'a paru de rappeler en tête de chaque partie traitée les résultats principaux de la théorie, puis de développer quelques exemples d'application, de telle sorte que la marche dans des questions semblables fût clairement tracée ; enfin de présenter à la suite, un nombre suffisant d'exercices du même genre, en ne fournissant que les réponses, afin de laisser à l'élève, dans le raisonnement et dans le calcul, cette initiative qui seule conduit à de véritables progrès.
Autant que possible, j'ai disposé la matière de manière à graduer la difficulté, et quand celle-ci, trop grande, m'aurait semblé devoir rebuter l'étudiant, j'ai indiqué, quelquefois détaillé, le procédé de résolution.
Édouard BRAHY, Préface

Nous présentons des Exercices nombreux et variés, afin d'exciter l'esprit de recherche et d'élargir les idées : ainsi, loin de nous borner à parler des quadriques qu'on rencontre le plus souvent, et à donner les solutions devenues classiques, nous généralisons autant que possible, comme on le constate dans les Compléments et Méthodes. Les conséquences qui découlent habituellement de cette manière de procéder sont de développer les facultés de ceux qui étudient et de conduire fréquemment à des épures plus simples que celles qu'on obtient par les procédés ordinaires.
Nous reconnaissons volontiers que les Exercices nouveaux étonnent d'abord parce qu'ils sortent du cadre conventionnel, mais ils aguerrissent peu à peu les candidats, et les prémunissent contre les surprises de l'imprévu. Ces problèmes ont donc une réelle utilité au point de vue des examens à subir.
L'édition de 1893 offrait un assez grand nombre de questions, il en sera de même de la nouvelle édition : ainsi l'Hippopède, ou double fenêtre de Viviani, qui avait donné lieu à des épures intéressantes, ayant été examiné attentivement, nous a fourni des exercices aussi variés qu'inattendus ; il en a été de même de la méthode d'inversion si facile à comprendre et à utiliser.
Du tracé de la figure inverse d'une courbe donnée, on passe facilement au cas général que donne la projection conique sur un plan quelconque : cette voie si simple conduit aux transformées harmoniques de toute courbe qui admet un plan de symétrie.
Depuis quelques années, l'étude du Tore est entrée dans les habitudes de l'enseignement ; dans cette nouvelle édition des Exercices de Géométrie descriptive, nous introduisons la Cyclide de Dupin ; cette surface donne lieu à des problèmes que l'on peut traiter à peu près aussi facilement que ceux du tore, mais qui offrent une plus grande variété d'épures.
Quelques autres surfaces ont fourni des questions très intéressantes, bien que nous nous soyons bornés à des études élémentaires ; c'est ce qui a lieu notamment pour la Surface des Ondes, de Fresnel, les surfaces à section circulaire unique, et la surface qu'engendre une droite, dont deux points déterminés glissent respectivement sur deux droites non situées dans un même plan.
Enfin, après avoir reproduit les 280 problèmes de divers examens avant 1888, nous donnons les énoncés des questions posées depuis cette époque pour l'admission à l'Institut agronomique, à Saint-Cyr et aux Écoles Centrale et Polytechnique.
F. G.-M. (Frère GABRIEL-MARIE), Avertissement

On peut s'étonner que les recueils de problèmes, avec solutions, soient si rares pour la géométrie et l'arithmétique.
Je regrette de ne plus voir dans le commerce le recueil de problèmes de géométrie qu'avait publié jadis M. Catalan. A la vérité, pour cette science, l'excellent petit livre de M. Petersen peut rendre des services inappréciables. Pour l'arithmétique, je n'en connais pas en France d'autre que le présent livre.
Je l'ai parcouru avec un vif intérêt : on y trouvera un grand nombre de questions sur les diverses parties de l'arithmétique, depuis la numération jusqu'à ces régions qui donnent accès dans la théorie des nombres.
Toutes ces questions sont instructives et beaucoup d'entre elles m'ont paru nouvelles et ingénieuses. On sent que l'auteur a mis une sorte de curiosité passionnée à les réunir. Les solutions sont simples et élégantes. Je crois que ce livre rendra de grands services aux élèves et aux maîtres, qui doivent à l'auteur pour l'avoir écrit d'autant plus de reconnaissance qu'il n'est plus professeur, et que le goût de la science l'a guidé, non des préoccupations de métier.
Jules TANNERY, Préface de la première édition

Ah ! Quel bon livre ! Comme il vient à son heure ! Et qu'il aurait plu à un grand mathématicien comme Henri Lebesgue ! Il faut remercier très vivement Monsieur Gerll et son éditeur d'avoir réuni pour un vaste public de langue française de tels documents !
On trouvera les textes des épreuves données aux Olympiades internationales de mathématiques des dernières années, avec des solutions de celles-ci ; mais on trouvera aussi des textes des Olympiades antérieures, enfin, et surtout un très grand choix de questions très diverses qui avaient été envisagées.
André MAGNIER, Préface

Il faudrait principalement s'attacher à donner quelques méthodes générales pour la solution d'un problème, suivant la manière de l'aborder, de le conduire au résultat, et de traduire cette dernière partie dans le langage de l'énoncé. C'est sans doute ce qu'il y aurait de plus difficile ; la multiplicité des moyens dont la Géométrie, dont l'Algèbre même peuvent se servir pour arriver au but proposé, la variété des questions, tout contribuerait à éloigner les méthodes générales ; mais on pourrait, il me semble, classer les problèmes suivant les ressemblances plus ou moins grandes de leurs moyens de solution, et l'on parviendrait peut-être, sinon à une méthode unique, du moins à un composé fini de moyens différents, que l'on pourrait regarder comme généraux vu leurs nombreuses applications
Tel est le but que je me propose dans le cours de cet Ouvrage. Je commencerai par récapituler les moyens de la Géométrie simple pour résoudre les problèmes ; je lui associerai ensuite le calcul. Je rendrai les principes que je présenterai plus clairs, plus frappants, par quelques exemples ; si les solutions que j'offre ne sont pas les plus simples, les plus élégantes, elles fourniront à mes lecteurs au moins un énoncé à travailler, et je m'applaudirai en faisant mal, d'avoir procuré à d'autres l'occasion de bien faire.
Gabriel LAMÉ, Introduction

Compléments de géométrie moderne
Le dernier ouvrage de Michel, paru en 1926, sous le nom modeste de Compléments de géométrie moderne, contient, en quelque trois cents pages, le résultat du labeur de toute une vie. Heureux les étudiants à venir qui pourront trouver là des renseignements qu'il fallait chercher auparavant dans cent mémoires différents et qui apparaissaient épars, incomplets, non reliés entre eux! Ils sont maintenant présentés d'une manière impeccable, avec un style sobre, nourri de faits, accompagnés de propriétés diverses, de conséquences nombreuses, groupées de main de maître.
C'est ainsi que Charles Michel « a servi à son modeste rang », comme il le disait ici même le 12 juillet 1928, cette science mathématique qu'il aimait tant, dont il appréciait la grandeur, qu'il déclarait être « une des plus nobles occupations de l'esprit » et dont l'étude lui paraissait apporter à celui qui la pratiquait « de quoi remplir dignement une vie humaine ».
Pierre CHENEVIER, Distribution des prix du Concours général de 1936

Exercices de géométrie moderne
(Solutions des questions proposées dans les Compléments de géométrie moderne de Charles Michel)
Les questions traitées sont de difficultés très diverses. Je me suis efforcé de varier les méthodes employées à les résoudre, donnant tantôt la préférence à des procédés peut être un peu longs, mais élémentaires, ayant ailleurs recours au mode de représentation de la géométrie descriptive.
Le lecteur appréciera hautement les notes et solutions dont M. Harmegnies, répétiteur à l'École Polytechnique, a bien voulu enrichir ce petit livre, ainsi que celles que je dois à l'amitié de M. Labrousse, l'éminent professeur de Mathématiques spéciales du lycée Saint-Louis.
Julien LEMAIRE, Préface

Les correspondances algébriques (1,1), (2,1), (2,2)
Les relations homographiques entre deux variables détiennent une place de choix dans l'étude des courbes et des surfaces du second degré. Il n'est pas sans intérêt de les utiliser conjointement avec les relations qui sont du premier degré par rapport à l'une des variables et du second degré par rapport à l'autre et avec les relations qui sont du second degré par rapport à chacune des deux variables. J'ai cherché à en étendre les applications à l'étude des courbes planes ou gauches du troisième degré et des surfaces réglées du troisième ordre.
[...]
Je manquerais au plus élémentaire des devoirs en ne disant pas que j'ai beaucoup emprunté aux livres bien connus et si appréciés de Duporcq et de Michel et utilisé des notes que Monsieur l'Inspecteur Général Blutel m'a communiquées sur les représentations propres des courbes unicursales, la relation biquadratique et les surfaces du troisième ordre.
Gaston SINGIER, Avertissement

A reparaître

Il n'y a guère lieu de chercher à perfectionner les études de trigonométrie rectiligne en restant toujours dans le domaine rectiligne ; la perfection et les ouvertures sur beaucoup d'extensions sont dans le domaine sphérique.
Le présent ouvrage est disposé comme un traité de trigonométrie rectiligne ; la formule fondamentale est
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A
Toutefois le néophyte attentif sera frappé tout de suite d'une nouveauté essentielle constituée par la nécessité de pouvoir disposer, dès le début, de la notion d'aire ou de celle de l'excès sphérique. Les formules de Delambre et les analogies de Néper viennent rapidement montrer la richesse du sujet.
Viennent alors les résolutions proprement dites, en commençant par les triangles rectangles, puis les théories des cercles inscrit, exinscrits et circonscrit. Les médianes, les bissectrices, les hauteurs, les théorèmes de Ménélaüs et de Céva sont prétextes à d'élégants développements ayant d'ailleurs toujours quelque chose de plus intéressant sur la sphère que sur le plan. Cette dernière impression non seulement s'accentue mais domine dans un chapitre spécialement consacré à l'excès sphérique. Là se trouve la très jolie formule de L'Huillier (avec trois démonstrations), une expression de cos E par une sorte d'analogie des cosinus, les théorèmes de Gudermann et de Lexell, où interviennent des triangles à aire constante.
La puissance sphérique, l'axe radical, le quadrilatère sphérique, le volume du tétraèdre, la sphère circonscrite à celui-ci, quelques aperçus sur les polyèdres réguliers, des cas spéciaux de résolution triangulaire conduisent à une fin enrichie de nombreux exercices constituant tous de jolis compléments.
Tout en restant élémentaire, M. Papelier vient de faire beaucoup pour la sphérique.
Adolphe BUHL, L'Enseignement Mathématique, 29 (1930)

Plusieurs siècles avant l'ère chrétienne, la Géométrie était déjà arrivée à un très haut degré de développement. L'Algèbre qui lui a rendu plus tard de si grands services, avait progressé plus lentement ; aussi les anciens en étaient-ils à peu près exclusivement réduits aux méthodes géométriques pour résoudre les problèmes de construction et la solution de ces questions jouait-elle un rôle important dans leurs ouvrages.
Quoique les mathématiciens modernes n'aient pas cessé de s'intéresser à cette branche de la science, les moyens de traiter rationnellement cette classe de problèmes se sont développés d'une manière relativement moins rapide. Apollonius par exemple aurait aussi bien pu que Steiner résoudre le problème de Malfatti, s'il en avait eu connaissance. Cette situation a été cause que beaucoup de personnes ont considéré les problèmes de construction géométrique comme des sortes d'énigmes dont la solution ne pourrait guère être tentée que par quelques esprits doués de facultés toutes spéciales. Il en est résulté que ces questions ont à peine pénétré dans les écoles où pourtant elles auraient tout naturellement dû être cultivées ; car il n'existe pas de problèmes qui servent autant à aiguiser la faculté d'observation et de combinaison et à donner à l'esprit de la clarté et de la logique ; il n'y en a pas qui présentent autant d'attrait pour les élèves.
L'ouvrage actuel a pour objet d'essayer d'apprendre à ces derniers comment on doit attaquer un problème de construction. Après avoir résolu un grand nombre de questions, les unes originales, les autres extraites des nombreuses collections existantes, j'ai essayé d'analyser l'enchaînement des idées qui conduisent à la solution de chacune d'elles et d'en faire une classification sous forme de règles générales. S'il se trouve que mes solutions diffèrent des autres auteurs et si, dans certains cas, elles paraissent plus compliquées, c'est que j'ai préféré celles qui sont méthodiques à celles qui semblent dues à un hasard heureux. L'objet que j'ai principalement en vue, c'est la méthode ; dans la plupart des cas, je n'ai fait qu'indiquer la clef de la solution et j'en ai laissé la discussion détaillée au lecteur ou au professeur.
Il y a très peu de figures dans le texte ; on comprend bien mieux une figure et on se la rappelle bien plus facilement quand on l'a vue pendant la période de la construction. Mon idée, c'est de forcer les élèves à travailler le présent ouvrage et non pas simplement à le lire.
Julius PETERSEN, Préface 

Cette étude sur les Mathématiques et le raisonnement plausible, que j'ai toujours considéré comme formant un tout, se divise naturellement en deux parties : L'Induction et l'Analogie en Mathématiques et Schèmes d'inférence "plausible". La première partie est entièrement indépendante de la seconde et je pense que beaucoup d'étudiants désireront en prendre connaissance complètement avant de passer à la seconde. Elle comporte la plus grande part de la « matière » mathématique de cet Ouvrage et fournit des « données » pour l'étude inductive de l'induction entreprise dans la seconde partie. Quelques lecteurs habitués aux subtilités des mathématiques, préféreront s'attaquer directement à la seconde partie. Pour faciliter les références, le numérotage des chapitres se poursuit sans interruption à travers les deux parties. Je n'ai pas donné d'index, car un index obligerait la terminologie à être plus rigide qu'il n'est désirable dans ce genre d'Ouvrage. Je crois que la table des matières constituera un guide satisfaisant.
Le présent Ouvrage fait suite à mon précédent livre : How to Solve It (Comment poser et résoudre un problème). Le lecteur que la question intéresse peut les lire tous les deux, mais l'ordre est sans importance. Le présent texte est conçu de façon à pouvoir être lu indépendamment de l'autre Ouvrage. en fait, il n'y a, dans ce livre, que peu de références directes au livre précédent et l'on peut les écarter en première lecture. Néanmoins il y a des références indirectes presque à chaque page. Cet Ouvrage offre des exemples plus difficiles que le précédent qui, en raison de ses dimensions et de son caractère élémentaire, ne pouvait les contenir.
Cet Ouvrage n'est pas sans rapport avec un recueil de problèmes d'Analyse, dû à G. Szegö et à l'auteur. Les problèmes de ce recueil sont disposés de façon telle qu'ils se portent un secours mutuel, que les uns fournissent aux autres des indices, qu'ils recouvrent ensemble un certain domaine et qu'ils donnent au lecteur l'occasion de pratiquer divers modes de pensée utiles à la solution des problèmes. Dans la résolution des problèmes, le présent Ouvrage suit le mode de présentation inauguré par cet Ouvrage antérieur et ce lien n'est pas sans importance.
George POLYA, Préface

Cet ouvrage, publié en 1707, avait été composé, trente ans auparavant, pour servir aux leçons que donnait son immortel auteur dans l'Université de Cambridge, où il était professeur de mathématiques. Peu volumineux, comme tous les bons livres que la réflexion a mûris, celui-ci mérita non seulement d'être mis au nombre des plus excellents livres élémentaires, mais encore de tenir une place remarquable parmi les ouvrages d'invention, qui augmentent le domaine de la science par des vérités neuves et importantes. Voici ce qu'en disait, sous ce dernier rapport, l'abbé de Gua, Géomètre de l'Académie des Sciences, en 1741.

« Quoique Newton fût né, dit-il, dans un temps ou l'analyse paraissait déjà presque parfaite, cependant un si grand génie ne pouvait manquer de trouver à y ajouter encore. Il a donné en effet, successivement, dans son Arithmétique universelle : 1°. Une règle très élégante et très belle pour reconnaître les cas où les équations peuvent avoir des diviseurs rationnels, et pour déterminer, dans ces cas, quels polynômes peuvent être ces diviseurs ; 2°. Une autre règle pour reconnaître, dans un grand nombre d'occasions, combien il doit se trouver de racines imaginaires dans une équation quelconque ; une troisième pour déterminer d'une manière nouvelle les limites des équations ; enfin une quatrième pour découvrir en quel cas les équations des degrés pairs peuvent se résoudre en d'autres de degrés inférieurs dont les coefficients ne contiennent que de simples radicaux du premier degré. »

Considérée comme ouvrage élémentaire destiné aux commençants, l'Arithmétique universelle nous paraît encore plus recommandable. C'est un modèle de méthode, de précision, d'élégance : c'en est un dans l'art de généraliser ses idées, dans le choix des problèmes, dans la variété des solutions.
Ce qui embarrasse les commençants en algèbre (et le livre dont il s'agit est un traité de cette science) ce qui, dis-je, est difficile pour eux, ce n'est pas de comprendre, ni de suivre le mécanisme de cette langue jusques dans ses moindres détails, un esprit ordinaire en vient facilement à bout ; c'est de saisir, dans une question, les rapports que les grandeurs ont entre elles, et de les traduire en langage algébrique. On n'a point de règles générales à ce sujet, et il est impossible d'en trouver, parce que les principes d'où dérivent les rapports sont différents dans les problèmes de différents genres. Il n'y a que l'habitude d'envisager ces sortes de questions, de les discuter, de les varier, qui puisse, après beaucoup d'exercice, donner de la facilité dans ces recherches. Aussi Newton semble-t-il s'être proposé principalement de plier les esprits à cette habitude. La moitié de son livre n'a point d'autre objet. Les sujets des questions qu'il présente sont pris dans toutes les parties de nos connaissances auxquelles l'algèbre est applicable : elles sont choisies avec tant de soin, et disposées avec tant d'art, qu'un jeune esprit a besoin de déployer à chaque instant une sagacité nouvelle, et qu'en même temps, à chaque pas, il a le sentiment agréable de l'accroissement de ses forces.
L. LEFÈVRE-GINEAU, membre de l'Institut national, et professeur au Collège de France