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Problèmes

Problèmes

 

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Seules les grandes découvertes permettent de résoudre les grands problèmes, mais il y a, dans la solution de tout problème, un peu d'une découverte. Un problème qui vous est soumis peut être sans prétention ; mais, s'il pique votre curiosité et fait entrer en jeu vos facultés d'invention, si vous le résolvez par vous-même... vous pouvez connaître le charme de la découverte et en goûter le triomphe. Ce genre d'expérience, à un certain âge, peut déterminer le goût du travail intellectuel et laisser, tant sur l'esprit que sur le caractère, une empreinte qui durera toute une vie.

George POLYA, Comment poser et résoudre un problème, 2e éd., 1965

 

 



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Mon seul but en publiant ces recueils d'exercices, est d'être réellement utile aux jeunes gens qui abordent le calcul infinitésimal.
Pour atteindre ce but, le moyen le meilleur m'a paru de rappeler en tête de chaque partie traitée les résultats principaux de la théorie, puis de développer quelques exemples d'application, de telle sorte que la marche dans des questions semblables fût clairement tracée ; enfin de présenter à la suite, un nombre suffisant d'exercices du même genre, en ne fournissant que les réponses, afin de laisser à l'élève, dans le raisonnement et dans le calcul, cette initiative qui seule conduit à de véritables progrès.
Autant que possible, j'ai disposé la matière de manière à graduer la difficulté, et quand celle-ci, trop grande, m'aurait semblé devoir rebuter l'étudiant, j'ai indiqué, quelquefois détaillé, le procédé de résolution.
Édouard BRAHY, Préface

58,00 *
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La sixième édition des Exercices de Géométrie complète celle de 1907, en y ajoutant un certain nombre de questions intéressantes et de nombreuses indications biographiques et bibliographiques.
Les Théorèmes et Problèmes nouvellement introduits ont eu beaucoup moins pour but d'accroître le nombre des Exercices proposés, que de développer certains groupes naturels, en comblant les lacunes qu'ils présentaient, ou en leur donnant l'extension qu'ils semblaient réclamer.
Des notes, parfois très étendues, réunissent et résument des renseignements disséminés dans de nombreux recueils.
Notre travail s'adressant à ceux qui cultivent avec prédilection les études de Géométrie élémentaire, il nous a paru utile de leur épargner des recherches qui ne sauraient aboutir ; par suite, nous indiquons un assez grand nombre de questions, très simples en apparence, mais dont la solution échappe aux éléments de Géométrie et d'Algèbre.
Les diverses tables qui accompagnent les Exercices de Géométrie élémentaire et de Géométrie descriptive, ayant été fort appréciées, nous développons cette source féconde de renseignements ; ainsi, dans cette cinquième édition, nous indiquons les questions nouvellement introduites et un assez grand nombre de références complémentaires.
F. G.-M. (Frère GABRIEL-MARIE), Avertissement


 

 

89,00 *
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Nous présentons des Exercices nombreux et variés, afin d'exciter l'esprit de recherche et d'élargir les idées : ainsi, loin de nous borner à parler des quadriques qu'on rencontre le plus souvent, et à donner les solutions devenues classiques, nous généralisons autant que possible, comme on le constate dans les Compléments et Méthodes. Les conséquences qui découlent habituellement de cette manière de procéder sont de développer les facultés de ceux qui étudient et de conduire fréquemment à des épures plus simples que celles qu'on obtient par les procédés ordinaires.
Nous reconnaissons volontiers que les Exercices nouveaux étonnent d'abord parce qu'ils sortent du cadre conventionnel, mais ils aguerrissent peu à peu les candidats, et les prémunissent contre les surprises de l'imprévu. Ces problèmes ont donc une réelle utilité au point de vue des examens à subir.
L'édition de 1893 offrait un assez grand nombre de questions, il en sera de même de la nouvelle édition : ainsi l'Hippopède, ou double fenêtre de Viviani, qui avait donné lieu à des épures intéressantes, ayant été examiné attentivement, nous a fourni des exercices aussi variés qu'inattendus ; il en a été de même de la méthode d'inversion si facile à comprendre et à utiliser.
Du tracé de la figure inverse d'une courbe donnée, on passe facilement au cas général que donne la projection conique sur un plan quelconque : cette voie si simple conduit aux transformées harmoniques de toute courbe qui admet un plan de symétrie.
Depuis quelques années, l'étude du Tore est entrée dans les habitudes de l'enseignement ; dans cette nouvelle édition des Exercices de Géométrie descriptive, nous introduisons la Cyclide de Dupin ; cette surface donne lieu à des problèmes que l'on peut traiter à peu près aussi facilement que ceux du tore, mais qui offrent une plus grande variété d'épures.
Quelques autres surfaces ont fourni des questions très intéressantes, bien que nous nous soyons bornés à des études élémentaires ; c'est ce qui a lieu notamment pour la Surface des Ondes, de Fresnel, les surfaces à section circulaire unique, et la surface qu'engendre une droite, dont deux points déterminés glissent respectivement sur deux droites non situées dans un même plan.
Enfin, après avoir reproduit les 280 problèmes de divers examens avant 1888, nous donnons les énoncés des questions posées depuis cette époque pour l'admission à l'Institut agronomique, à Saint-Cyr et aux Écoles Centrale et Polytechnique.
F. G.-M. (Frère GABRIEL-MARIE), Avertissement

133,00 *
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Ces Compléments, ainsi que le nom l'indique, sont de simples développements de certaines parties du Cours élémentaire de Trigonométrie. Ils renferment des détails qui ne sont qu'indiqués au livre de l'élève, des théories qui n'ont pu trouver place dans le cours, des méthodes générales pour la recherche de quelques formules trigonométriques, et surtout des indications très étendues pour arriver à la résolution convenable des problèmes. Ils supposent la connaissance entière du cours ; de telle sorte qu'il ne faudra pas être surpris de trouver dans quelques exercices du commencement un appel à des notions étudiées seulement à la fin du cours.
Bien qu'il n'y soit pas question de Trigonométrie sphérique, et que l'on se soit restreint aux seuls éléments de la Trigonométrie rectiligne, néanmoins en les étudiant sérieusement, il sera facile d'acquérir la conviction que, dans les sciences du calcul, la Trigonométrie est un auxiliaire éminemment utile. Elle met, en effet, au service de toutes les recherches mathématiques des ressources variées, des procédés ingénieux, des méthodes élégantes, qui en font un des plus puissants moyens d'investigation. Les jeunes gens qui s'adonnent à cette étude ne tardent pas à constater que la recherche des formules renferme tout un art délicat et plein d'attrait, et que leur application donne à la plupart des solutions un véritable cachet d'élégante simplicité.
Les nombreuses questions traitées dans ces Compléments sont extraites presque toutes des sujets de composition donnés à divers examens ; les autres ont été empruntées aux auteurs anglais, et particulièrement à l'excellente Trigonométrie de M. Todhunter.
A la suite, on trouvera les solutions de tous les exercices et problèmes proposés dans les Éléments de Trigonométrie.
F. G.-M. (Frère GABRIEL-MARIE), Avertissement

90,00 *
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On peut s'étonner que les recueils de problèmes, avec solutions, soient si rares pour la géométrie et l'arithmétique.
Je regrette de ne plus voir dans le commerce le recueil de problèmes de géométrie qu'avait publié jadis M. Catalan. A la vérité, pour cette science, l'excellent petit livre de M. Petersen peut rendre des services inappréciables. Pour l'arithmétique, je n'en connais pas en France d'autre que le présent livre.
Je l'ai parcouru avec un vif intérêt : on y trouvera un grand nombre de questions sur les diverses parties de l'arithmétique, depuis la numération jusqu'à ces régions qui donnent accès dans la théorie des nombres.
Toutes ces questions sont instructives et beaucoup d'entre elles m'ont paru nouvelles et ingénieuses. On sent que l'auteur a mis une sorte de curiosité passionnée à les réunir. Les solutions sont simples et élégantes. Je crois que ce livre rendra de grands services aux élèves et aux maîtres, qui doivent à l'auteur pour l'avoir écrit d'autant plus de reconnaissance qu'il n'est plus professeur, et que le goût de la science l'a guidé, non des préoccupations de métier.
Jules TANNERY, Préface de la première édition

65,00 *
Référence: 206

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Plus de 200 exercices et problèmes d'intégration, regroupés en 11 chapitres, constituent cet ouvrage. Pour la majorité d'entre eux, ces exercices sont du niveau de la maîtrise de mathématiques. Néanmoins, un certain nombre est destiné aux étudiants de 3ème cycle, aux candidats à l'agrégation ou aux chercheurs souhaitant affronter de plus grandes difficultés ou compléter leurs connaissances sur tel point de théorie.
Immédiatement suivis de leur solution détaillée et soigneusement élaborée, les énoncés des exercices sont pour certains classiques, pour d'autres moins connus, pour d'autres enfin, originaux.
L'ouvrage s'ouvre par une trentaine de pages de rappels de cours précisant, à l'intention de l'étudiant, les points de la théorie qui sont supposés connus.

69,00 *
Référence: 154

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Ah ! Quel bon livre ! Comme il vient à son heure ! Et qu'il aurait plu à un grand mathématicien comme Henri Lebesgue ! Il faut remercier très vivement Monsieur Gerll et son éditeur d'avoir réuni pour un vaste public de langue française de tels documents !
On trouvera les textes des épreuves données aux Olympiades internationales de mathématiques des dernières années, avec des solutions de celles-ci ; mais on trouvera aussi des textes des Olympiades antérieures, enfin, et surtout un très grand choix de questions très diverses qui avaient été envisagées.
André MAGNIER, Préface

16,00 *
Référence: 037

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Qui ne soulèverait volontiers le voile qui nous cache l'avenir afin de jeter un coup d'œil sur les progrès de notre Science et les secrets de son développement ultérieur durant les siècles futurs ? Dans ce champ si fécond et si vaste de la Science mathématique, quels seront les buts particuliers que tenteront d'atteindre les guides de la pensée mathématique des générations futures ? Quelles seront, dans ce champ, les nouvelles vérités et les nouvelles méthodes découvertes par le siècle qui commence ?
L'histoire enseigne la continuité du développement de la Science. Nous savons que chaque époque a ses problèmes que l'époque suivante résout, ou laisse de côté comme stériles, en les remplaçant par d'autres. Si nous désirons nous figurer le développement présumable de la Science mathématique dans un avenir prochain, nous devons repasser dans notre esprit les questions pendantes et porter notre attention sur les problèmes posés actuellement et dont nous attendons de l'avenir la résolution. Le moment présent, au seuil du vingtième siècle, me semble bien choisi pour passer en revue ces problèmes ; en effet, les grandes divisions du temps non seulement permettent de jeter un regard sur le passé, mais encore attirent notre pensée sur l'avenir inconnu.
Le grand rôle joué par des problèmes déterminés dans le progrès général de la Science mathématique est non moins incontestable que l'influence qu'ont ces problèmes sur le travail particulier du chercheur. Tant qu'une branche de la Science jouit d'une abondance de problèmes, elle est pleine de vie ; le manque de problèmes dénote la mort, ou la cessation du développement propre de cette branche. Et de même que dans toute entreprise humaine il faut poursuivre un but, de même dans la recherche mathématique il faut des problèmes. La puissance du chercheur se retrempe dans leur résolution, il y trouve de nouvelles méthodes et de nouveaux points de vue, d'où il découvre un horizon plus vaste et plus libre.
David HILBERT, Introduction

16,00 *
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Il faudrait principalement s'attacher à donner quelques méthodes générales pour la solution d'un problème, suivant la manière de l'aborder, de le conduire au résultat, et de traduire cette dernière partie dans le langage de l'énoncé. C'est sans doute ce qu'il y aurait de plus difficile ; la multiplicité des moyens dont la Géométrie, dont l'Algèbre même peuvent se servir pour arriver au but proposé, la variété des questions, tout contribuerait à éloigner les méthodes générales ; mais on pourrait, il me semble, classer les problèmes suivant les ressemblances plus ou moins grandes de leurs moyens de solution, et l'on parviendrait peut-être, sinon à une méthode unique, du moins à un composé fini de moyens différents, que l'on pourrait regarder comme généraux vu leurs nombreuses applications
Tel est le but que je me propose dans le cours de cet Ouvrage. Je commencerai par récapituler les moyens de la Géométrie simple pour résoudre les problèmes ; je lui associerai ensuite le calcul. Je rendrai les principes que je présenterai plus clairs, plus frappants, par quelques exemples ; si les solutions que j'offre ne sont pas les plus simples, les plus élégantes, elles fourniront à mes lecteurs au moins un énoncé à travailler, et je m'applaudirai en faisant mal, d'avoir procuré à d'autres l'occasion de bien faire.
Gabriel LAMÉ, Introduction

36,00 *
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La structure des Mathématiques a subi au cours des dernières années, une évolution considérable. Les récents développements utilisent certains concepts nouveaux tels que "module", "catégorie" et "morphisme" qui sont de nature algébrique et peuvent très bien être présentés de façon naturelle à partir de notions élémentaires. L'efficacité de ces idées nous incite à rénover la présentation de l'algèbre.
La clef de tout cet exposé est l'usage systématique des méthodes abstraites et axiomatiques qui remonte à l'algèbre moderne des années 1920. On se rendit compte à cette époque que l'algèbre ne s'intéresse pas primordialement à la manipulation des sommes et produits de nombres (tels que rationnels, réels, complexes) mais aux sommes et produits d'éléments quelconques – sous l'hypothèse que les sommes et produits d'éléments considérés satisfont aux règles de base convenables ou "axiomes" ; plus précisément, les axiomes d'"anneau" (addition, soustraction, multiplication) ou de "corps" (les trois opérations précédentes plus la division).
Il se produisit une transformation analogue dans le traitement des vecteurs. Initialement un vecteur de l'espace à trois dimensions était donné en termes de composantes relatives à un système donné d'axes, de telle sorte qu'un vecteur était défini comme un triplet de nombres. L'accent mis sur l'addition vectorielle et la multiplication d'un vecteur par un nombre réel (un scalaire) montra qu'il y aurait avantage à traiter les vecteurs, indépendamment de tout choix d'axes, comme les éléments d'un "espace vectoriel" réel dans lequel ces opérations sont définies et doivent satisfaire aux axiomes appropriés. Les mêmes axiomes (et la plupart des théorèmes) s'appliquent encore quand les scalaires ne sont plus des nombres réels mais des éléments d'un corps quelconque. De ce fait, l'algèbre des matrices apparut d'une façon plus claire et intrinsèque comme l'algèbre des applications linéaires.
D'autres branches de l'algèbre furent éclaircies par des reformulations analogues. Par exemple, on s'aperçut que la théorie de Galois avait affaire, non pas aux substitutions des racines d'un polynôme, mais au groupe des automorphismes du corps engendré par ces racines.
Toutes ces idées de l'algèbre moderne ont fait leur chemin dans l'enseignement au cours de la décennie suivante (celle des années 1930), au niveau 3e cycle grâce à l'influence de Modern Algebra  de van der Waerden et plus tard au niveau première année de Faculté, grâce à divers ouvrages tel que notre A survey of modern algebra. Actuellement l'usage de ces idées est généralement admis.
Saunders MacLANE et Garrett BIRKHOFF, Avant-Propos

102,00 *
Référence: 163

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Compléments de géométrie moderne
Le dernier ouvrage de Michel, paru en 1926, sous le nom modeste de Compléments de géométrie moderne, contient, en quelque trois cents pages, le résultat du labeur de toute une vie. Heureux les étudiants à venir qui pourront trouver là des renseignements qu'il fallait chercher auparavant dans cent mémoires différents et qui apparaissaient épars, incomplets, non reliés entre eux! Ils sont maintenant présentés d'une manière impeccable, avec un style sobre, nourri de faits, accompagnés de propriétés diverses, de conséquences nombreuses, groupées de main de maître.
C'est ainsi que Charles Michel « a servi à son modeste rang », comme il le disait ici même le 12 juillet 1928, cette science mathématique qu'il aimait tant, dont il appréciait la grandeur, qu'il déclarait être « une des plus nobles occupations de l'esprit » et dont l'étude lui paraissait apporter à celui qui la pratiquait « de quoi remplir dignement une vie humaine ».
Pierre CHENEVIER, Distribution des prix du Concours général de 1936

Exercices de géométrie moderne
(Solutions des questions proposées dans les Compléments de géométrie moderne de Charles Michel)
Les questions traitées sont de difficultés très diverses. Je me suis efforcé de varier les méthodes employées à les résoudre, donnant tantôt la préférence à des procédés peut être un peu longs, mais élémentaires, ayant ailleurs recours au mode de représentation de la géométrie descriptive.
Le lecteur appréciera hautement les notes et solutions dont M. Harmegnies, répétiteur à l'École Polytechnique, a bien voulu enrichir ce petit livre, ainsi que celles que je dois à l'amitié de M. Labrousse, l'éminent professeur de Mathématiques spéciales du lycée Saint-Louis.
Julien LEMAIRE, Préface

Les correspondances algébriques (1,1), (2,1), (2,2)
Les relations homographiques entre deux variables détiennent une place de choix dans l'étude des courbes et des surfaces du second degré. Il n'est pas sans intérêt de les utiliser conjointement avec les relations qui sont du premier degré par rapport à l'une des variables et du second degré par rapport à l'autre et avec les relations qui sont du second degré par rapport à chacune des deux variables. J'ai cherché à en étendre les applications à l'étude des courbes planes ou gauches du troisième degré et des surfaces réglées du troisième ordre.
[...]
Je manquerais au plus élémentaire des devoirs en ne disant pas que j'ai beaucoup emprunté aux livres bien connus et si appréciés de Duporcq et de Michel et utilisé des notes que Monsieur l'Inspecteur Général Blutel m'a communiquées sur les représentations propres des courbes unicursales, la relation biquadratique et les surfaces du troisième ordre.
Gaston SINGIER, Avertissement

58,00 *
Référence: 085

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Cet ouvrage a pour but de montrer par de nombreux exemples tout le parti que l'on peut tirer des théories géométriques modernes et comment elles permettent de résoudre avec simplicité beaucoup de problèmes dont la solution par la géométrie classique serait des plus compliquées.

« En voici les neuf parties :
Géométrie dirigée - Transversales - Division et faisceau harmoniques - Pôles, polaires, plans polaires, dans le cercle et la sphère - Rapport anharmonique - Inversion - Homographie - Involution - Géométrie projective. Application aux coniques.
Des "Exercices" ? Plutôt au début de chaque étude, la mise en place des résultats essentiels. Puis souvent, de courts mais vrais problèmes, souvent classiques à cette époque ou devenus tels après cette publication.
Un ouvrage, donc, très complet, avec de claires explications et de bonnes progressions, largement utilisées d'ailleurs me semble-t-il, par des auteurs de manuels ultérieurs. »
[...]
« Bref un ouvrage chaudement recommandé pour bibliothèques et pour une culture personnelle. »
Henri BAREIL, Bulletin de l'APMEP, n° 413, 1997

90,00 *
Référence: 305

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Il n'y a guère lieu de chercher à perfectionner les études de trigonométrie rectiligne en restant toujours dans le domaine rectiligne ; la perfection et les ouvertures sur beaucoup d'extensions sont dans le domaine sphérique.
Le présent ouvrage est disposé comme un traité de trigonométrie rectiligne ; la formule fondamentale est
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A
Toutefois le néophyte attentif sera frappé tout de suite d'une nouveauté essentielle constituée par la nécessité de pouvoir disposer, dès le début, de la notion d'aire ou de celle de l'excès sphérique. Les formules de Delambre et les analogies de Néper viennent rapidement montrer la richesse du sujet.
Viennent alors les résolutions proprement dites, en commençant par les triangles rectangles, puis les théories des cercles inscrit, exinscrits et circonscrit. Les médianes, les bissectrices, les hauteurs, les théorèmes de Ménélaüs et de Céva sont prétextes à d'élégants développements ayant d'ailleurs toujours quelque chose de plus intéressant sur la sphère que sur le plan. Cette dernière impression non seulement s'accentue mais domine dans un chapitre spécialement consacré à l'excès sphérique. Là se trouve la très jolie formule de L'Huillier (avec trois démonstrations), une expression de cos E par une sorte d'analogie des cosinus, les théorèmes de Gudermann et de Lexell, où interviennent des triangles à aire constante.
La puissance sphérique, l'axe radical, le quadrilatère sphérique, le volume du tétraèdre, la sphère circonscrite à celui-ci, quelques aperçus sur les polyèdres réguliers, des cas spéciaux de résolution triangulaire conduisent à une fin enrichie de nombreux exercices constituant tous de jolis compléments.
Tout en restant élémentaire, M. Papelier vient de faire beaucoup pour la sphérique.
Adolphe BUHL, L'Enseignement Mathématique, 29 (1930)

36,00 *
Référence: 139

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Les nombres exercent un attrait auréolé de mystère et quelques théorèmes fondamentaux permettent d'en découvrir les multiples propriétés. Ainsi Hadamard et de La Vallée Poussin ont-ils prouvé que la quantité de nombres premiers inférieurs à x est équivalente à x/Log x quand x est grand. La démonstration en est difficile, demande une bonne connaissance des fonctions de variable complexe... et plusieurs heures de cours. Pourtant les applications de ce résultat sont nombreuses et élémentaires. Il en est de même de bien d'autres théorèmes en théorie des nombres, comme le théorème de Gel'fond-Schneider (ab est transcendant si a et b sont algébriques, a différent de 0, a différent de 1, b irrationnel), le théorème du crible, le critère de Weyl pour la répartition modulo 1, etc.
Le présent ouvrage rassemble 166 exercices et problèmes de théorie des nombres. Chaque chapitre débute par un rappel des théorèmes fondamentaux de sorte qu'il suffit d'en admettre les énoncés pour être à même de traiter les problèmes. Le niveau des exercices est variable. Beaucoup sont résolubles par les étudiants de 1er cycle alors que quelques-uns s'adressent plutôt à ceux de maîtrise et de 3e cycle.

45,00 *
Référence: 030

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Plusieurs siècles avant l'ère chrétienne, la Géométrie était déjà arrivée à un très haut degré de développement. L'Algèbre qui lui a rendu plus tard de si grands services, avait progressé plus lentement ; aussi les anciens en étaient-ils à peu près exclusivement réduits aux méthodes géométriques pour résoudre les problèmes de construction et la solution de ces questions jouait-elle un rôle important dans leurs ouvrages.
Quoique les mathématiciens modernes n'aient pas cessé de s'intéresser à cette branche de la science, les moyens de traiter rationnellement cette classe de problèmes se sont développés d'une manière relativement moins rapide. Apollonius par exemple aurait aussi bien pu que Steiner résoudre le problème de Malfatti, s'il en avait eu connaissance. Cette situation a été cause que beaucoup de personnes ont considéré les problèmes de construction géométrique comme des sortes d'énigmes dont la solution ne pourrait guère être tentée que par quelques esprits doués de facultés toutes spéciales. Il en est résulté que ces questions ont à peine pénétré dans les écoles où pourtant elles auraient tout naturellement dû être cultivées ; car il n'existe pas de problèmes qui servent autant à aiguiser la faculté d'observation et de combinaison et à donner à l'esprit de la clarté et de la logique ; il n'y en a pas qui présentent autant d'attrait pour les élèves.
L'ouvrage actuel a pour objet d'essayer d'apprendre à ces derniers comment on doit attaquer un problème de construction. Après avoir résolu un grand nombre de questions, les unes originales, les autres extraites des nombreuses collections existantes, j'ai essayé d'analyser l'enchaînement des idées qui conduisent à la solution de chacune d'elles et d'en faire une classification sous forme de règles générales. S'il se trouve que mes solutions diffèrent des autres auteurs et si, dans certains cas, elles paraissent plus compliquées, c'est que j'ai préféré celles qui sont méthodiques à celles qui semblent dues à un hasard heureux. L'objet que j'ai principalement en vue, c'est la méthode ; dans la plupart des cas, je n'ai fait qu'indiquer la clef de la solution et j'en ai laissé la discussion détaillée au lecteur ou au professeur.
Il y a très peu de figures dans le texte ; on comprend bien mieux une figure et on se la rappelle bien plus facilement quand on l'a vue pendant la période de la construction. Mon idée, c'est de forcer les élèves à travailler le présent ouvrage et non pas simplement à le lire.
Julius PETERSEN, Préface
 

 

20,00 *
Référence: 049

A reparaître

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Bien que cet ouvrage réponde tout particulièrement aux exigences des élèves et des professeurs de mathématiques, il devrait aussi parler à l'esprit de tous ceux qu'intéresse l'étude des voies et moyens de l'invention et de la découverte. Ce genre d'intérêt est d'ailleurs plus répandu qu'on ne pourrait le penser au premier abord. La place que les journaux et revues populaires réservent aux mots croisés et autres énigmes semble prouver que bien des gens consacrent un certain temps à résoudre des problèmes sans intérêt pratique. Derrière ce désir de résoudre tel ou tel problème qui n'apporte aucun avantage matériel, il peut y avoir une curiosité plus profonde, un désir de comprendre les voies et moyens, les raisons et le processus de la solution.
Les pages suivantes, rédigées de façon assez concise, et le plus simplement possible, résultent d'une longue et sérieuse étude des méthodes de solution. Ce genre d'étude, que certains écrivains nomment heuristique, n'est pas à la mode de nos jours, mais remonte loin dans le passé et a peut-être quelque avenir.
En étudiant les méthodes de solution des problèmes nous apercevons un autre aspect de la mathématique. Celle-ci, en effet, a deux visages : c'est la science rigoureuse d'Euclide, mais c'est aussi quelque chose d'autre. La mathématique présentée à la manière euclidienne apparaît comme une science systématique, déductive ; mais la mathématique en voie de formation se présente comme une science expérimentale, inductive. Ces deux aspects sont aussi anciens que la science même de la mathématique. Mais le second est nouveau sous certain rapport ; on n'a, en effet, jamais présenté tout à fait ainsi les mathématiques « in statu nascendi » (c'est-à-dire telles qu'elles sont lorsqu'on est en train de les inventer) ni à l'élève, ni au professeur lui-même, ni au grand public.
L'heuristique a maintes ramifications : les mathématiciens, les logiciens, les psychologues, les pédagogues, les philosophes même peuvent revendiquer certains de ses aspects comme appartenant à leur propre domaine. Se rendant parfaitement compte de la possibilité de critiques venant des horizons les plus divers, et pleinement conscient de ses limites, l'auteur se permet toutefois de faire remarquer qu'il possède une certaine expérience de la solution des problèmes et de l'enseignement des mathématiques à des stades divers.
Deux autres ouvrages, Induction and analogy in Mathematics et Patterns of plausible inference, continuent la ligne de pensée adoptée dans le présent livre ; une traduction française est parue sous le titre commun : Les mathématiques et le raisonnement"plausible".
George POLYA, Préface

Référence: 294

A reparaître

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Cette étude sur les Mathématiques et le raisonnement plausible, que j'ai toujours considéré comme formant un tout, se divise naturellement en deux parties : L'Induction et l'Analogie en Mathématiques et Schèmes d'inférence "plausible". La première partie est entièrement indépendante de la seconde et je pense que beaucoup d'étudiants désireront en prendre connaissance complètement avant de passer à la seconde. Elle comporte la plus grande part de la « matière » mathématique de cet Ouvrage et fournit des « données » pour l'étude inductive de l'induction entreprise dans la seconde partie. Quelques lecteurs habitués aux subtilités des mathématiques, préféreront s'attaquer directement à la seconde partie. Pour faciliter les références, le numérotage des chapitres se poursuit sans interruption à travers les deux parties. Je n'ai pas donné d'index, car un index obligerait la terminologie à être plus rigide qu'il n'est désirable dans ce genre d'Ouvrage. Je crois que la table des matières constituera un guide satisfaisant.
Le présent Ouvrage fait suite à mon précédent livre : How to Solve It (Comment poser et résoudre un problème). Le lecteur que la question intéresse peut les lire tous les deux, mais l'ordre est sans importance. Le présent texte est conçu de façon à pouvoir être lu indépendamment de l'autre Ouvrage. en fait, il n'y a, dans ce livre, que peu de références directes au livre précédent et l'on peut les écarter en première lecture. Néanmoins il y a des références indirectes presque à chaque page. Cet Ouvrage offre des exemples plus difficiles que le précédent qui, en raison de ses dimensions et de son caractère élémentaire, ne pouvait les contenir.
Cet Ouvrage n'est pas sans rapport avec un recueil de problèmes d'Analyse, dû à G. Szegö et à l'auteur. Les problèmes de ce recueil sont disposés de façon telle qu'ils se portent un secours mutuel, que les uns fournissent aux autres des indices, qu'ils recouvrent ensemble un certain domaine et qu'ils donnent au lecteur l'occasion de pratiquer divers modes de pensée utiles à la solution des problèmes. Dans la résolution des problèmes, le présent Ouvrage suit le mode de présentation inauguré par cet Ouvrage antérieur et ce lien n'est pas sans importance.
George POLYA, Préface

Référence: 142

A reparaître

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Ce livre est très connu en Europe de l'Est, où il sert souvent de base à un entraînement progressif aux compétitions (Olympiades) d'où se dégagent les noms des meilleurs mathématiciens de demain. Quel domaine est plus apte à déceler les qualités naturelles de finesse, d'intuition et de rigueur que la théorie des nombres ? Un exercice dont l'énoncé est compréhensible par tous, mais qui demande la mise en jeu complète de toutes les facultés mathématiques sans érudition inutile: voilà le patron de la plupart des problèmes ici rassemblés. On trouvera également de nombreuses « curiosités », dont on connaît le rôle éminemment positif dans le développement des mathématiques. La passion qui saisit, un jour, beaucoup de scientifiques pour ce genre de problèmes ne se dément presque jamais, que ce soit chez les mathématiciens professionnels ou les amateurs – qui sont légion.
Denis GERLL et André WARUSFEL, Préface

La théorie élémentaire des nombres est la discipline la mieux adaptée à un enseignement primaire des mathématiques. Elle ne demande que très peu de connaissances antérieures, et le sujet de son étude est concret et familier ; les méthodes de raisonnement employées sont simples, générales et peu nombreuses ; et elle est unique parmi les diverses branches des mathématiques pour la curiosité humaine qu'elle requiert.
G. H. HARDY, Bull. Amer. Soc. 35 (1929)

Référence: 315

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Cet ouvrage, publié en 1707, avait été composé, trente ans auparavant, pour servir aux leçons que donnait son immortel auteur dans l'Université de Cambridge, où il était professeur de mathématiques. Peu volumineux, comme tous les bons livres que la réflexion a mûris, celui-ci mérita non seulement d'être mis au nombre des plus excellents livres élémentaires, mais encore de tenir une place remarquable parmi les ouvrages d'invention, qui augmentent le domaine de la science par des vérités neuves et importantes. Voici ce qu'en disait, sous ce dernier rapport, l'abbé de Gua, Géomètre de l'Académie des Sciences, en 1741.

« Quoique Newton fût né, dit-il, dans un temps ou l'analyse paraissait déjà presque parfaite, cependant un si grand génie ne pouvait manquer de trouver à y ajouter encore. Il a donné en effet, successivement, dans son Arithmétique universelle : 1°. Une règle très élégante et très belle pour reconnaître les cas où les équations peuvent avoir des diviseurs rationnels, et pour déterminer, dans ces cas, quels polynômes peuvent être ces diviseurs ; 2°. Une autre règle pour reconnaître, dans un grand nombre d'occasions, combien il doit se trouver de racines imaginaires dans une équation quelconque ; une troisième pour déterminer d'une manière nouvelle les limites des équations ; enfin une quatrième pour découvrir en quel cas les équations des degrés pairs peuvent se résoudre en d'autres de degrés inférieurs dont les coefficients ne contiennent que de simples radicaux du premier degré. »

Considérée comme ouvrage élémentaire destiné aux commençants, l'Arithmétique universelle nous paraît encore plus recommandable. C'est un modèle de méthode, de précision, d'élégance : c'en est un dans l'art de généraliser ses idées, dans le choix des problèmes, dans la variété des solutions.
Ce qui embarrasse les commençants en algèbre (et le livre dont il s'agit est un traité de cette science) ce qui, dis-je, est difficile pour eux, ce n'est pas de comprendre, ni de suivre le mécanisme de cette langue jusques dans ses moindres détails, un esprit ordinaire en vient facilement à bout ; c'est de saisir, dans une question, les rapports que les grandeurs ont entre elles, et de les traduire en langage algébrique. On n'a point de règles générales à ce sujet, et il est impossible d'en trouver, parce que les principes d'où dérivent les rapports sont différents dans les problèmes de différents genres. Il n'y a que l'habitude d'envisager ces sortes de questions, de les discuter, de les varier, qui puisse, après beaucoup d'exercice, donner de la facilité dans ces recherches. Aussi Newton semble-t-il s'être proposé principalement de plier les esprits à cette habitude. La moitié de son livre n'a point d'autre objet. Les sujets des questions qu'il présente sont pris dans toutes les parties de nos connaissances auxquelles l'algèbre est applicable : elles sont choisies avec tant de soin, et disposées avec tant d'art, qu'un jeune esprit a besoin de déployer à chaque instant une sagacité nouvelle, et qu'en même temps, à chaque pas, il a le sentiment agréable de l'accroissement de ses forces.
L. LEFÈVRE-GINEAU, membre de l'Institut national, et professeur au Collège de France

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